两招两式解“传送带”

郑丽平

传送带问题一直是高中物理课程比较容易出现，且难度系数较大的题型，以其运动过程繁琐、涉及概念的多而著称.尤其是倾斜传送带，如何运动，运动阶段如何区分，能否最终匀速一起运动等等以及其涉及到的多个概念（如痕迹、电能、内能、摩擦力所做的功等）有什么联系、什么区别，如何计算等等问题交织，最终学生谈之色变.作为这样难而涉及知识点全的内容，高中物理课上却甚少将它作为一个专题，除了长期以来的教学习惯，还有就是传送带教学“不易”，本人就传送带问题做一归纳，不尽之处，敬请指正.

传送带问题的考查一般从两个层面上展开（动力学与功能）：

1.动力学

（1）传送带问题一般要分为两个阶段，阶段分割点就是v物与v带相同的时刻，因这一时刻，物体摩擦力的会突变（大小，方向），由动摩擦转为静摩擦，到底物体此后能否跟传送带一起运动？

（2）假如物体能跟传送带一起运动，则说明两者应该具有共同加速度，又由于传送带做匀速运动，a=0，只要物体能够受力平衡即可一起运动.水平传送带，只要静摩檫力=0，在静摩擦力范围内[0， μmg]，故可以如果是倾斜传送带，则应该判断mgsinθ与最大静摩擦力μmgcosθ大小关系.如果mgsinθ<μmgcosθ，则说明如果要受力平衡，只要静摩擦力=mgsinθ，在静摩擦力范围内[0， μmgcosθ]，故可以两者可以一起运动;如果mgsinθ>μmgcosθ，则物块受力不能平衡，不能与传送一起运动.一句以概之，能够一起运动取决于外力能否拉动物块最大静摩擦力.

解题思路 对物块受力分析，明确物体如何运动——v物与v带相同的时刻，注意摩擦力的突变（大小，方向）——做个判断，能否一起运动.

例题1 如图1所示，水平放置的传送带以速度v=2 m/s向右运行，现将一小物体轻轻地放在传送带A端，物体与传送带间的动摩擦因数μ=0.2，若A端与B端相距4 m，则物体由A到B的时间和物体到B端时的速度是（ ）.

A.2.5 s，2 m/s B.1 s，2 m/s

C.2.5 s，4 m/s D.1 s，4 m/s

受力分析：μmg=ma a=2 m/s2.设达到共同速度v=2 m/s时发生的位移s1=v22a=1 m，所用时间t1=va=1 s.

此时距离B端s2=4-s1=4-1=3 m.

此后物体做匀速运动的时间t2=sv2=1.5 s.所以t=t1+t2=2.5 s，

物体最后阶段是匀速，故末速度为2 m/s.

例题2 如图2所示，传送带与地面的倾角θ=37°，从A端到B端的长度为16 m，传送带以v0=10 m/s的速度沿逆时针方向转动.在传送带上端A处无初速地放置一个质量为0.5 kg的物体，它与传送带之间的动摩擦因数为μ=0.5，求物体从A端运动到B端所需的时间是多少？（sin37°=0.6，cos37°=0.8）

解 根据牛顿第二定律：mg

sinθ+μmgcosθ=ma1

物体达到共同速度10 m/s所用的时间t1=va1=1 s.所经过的位移x1=12at2=5 m，在此之后，由于mgsinθ>μmgcosθ，故物体不能与传送带一起运动.根据牛顿第二定律，此时有mgsinθ-μmgcosθ=ma2，设从达到共同速度10 m/s到B所用的时间为t2，根据运动学知识得L-x1=vt2+12， 得t2=1 s，则所用总时间为t=t1+t2=2 s.

2.功与能

（1）系统能量守恒：WF=ΔEK+ΔEP+Q，WF为减少动能或者说是传送带做的功，ΔEK，

ΔEP为传送带上物体的动能、重力势能的变化;Q是由于摩擦产生的内能：Q=f·s相对.s相对的求法：如果传送带和物体方向相同，则s

相对=|s传-s物|，如果传送带和物体方向相反，则s相对=s传+s物.Q只发生在两者相对滑动的过程.s相对称为痕迹长度.

（2）物块所受的摩擦力所做的功Wf ，应该隔离分析.

法1：动能定理

法2：公式法：f·scosθ，应注意物块与传送带一起运动（倾斜传送带），

虽然相对静止，但是仍然有功，因为s是对地位移;但是没有产生Q;同时f也要注意突变性，因此需要分两个阶段分析.相对动能定理，过程分析较为复杂，易出错;但有利于学生思维提高.

注意区分Q与Wf，以倾斜传送带为例，相对静止时Q=0，而Wf仍有值

例题3 如图3所示，传送带与水平面之间的夹角为30°，其上A、B两点的距离为L=5 m，传送带在电动机的带动下以v=1 m/s的速度向上匀速运动，现将一质量为m=10 kg的小物体轻放在传送带上A点，已知小物体与传送带间的动摩擦因数为μ=3/2，在传送带将物体从A点送到B点的过程中，g取10 m/s2.求：

（1）传送带对物体做的功;

（2）电动机做的功.

（1）受力分析，a=μmgcosθ-mgsinθm=2.5 m/s2，物体达到共同的速度，所发生的位移为x1=v22a=0.2m

在此之后由于mgsinθ<μmgcosθ，故可以与传送带以υ=1 m/s一起运动.

法1：从A到B，由动能定理W传-mgLsinθ=12mv2-0

代入可得W传=255 J

法2：传送带对物体做的功，其实也就是摩擦力对物体做的功，

物体匀速向上运动的位移为：x2=L-x1=4.8 m，W传=μmgcosθ·x1+mgsinθ·x2=255 J（注意摩擦力突变）

（2）由功能关系可知，电动机做的功WF=ΔEK+ΔEP+Q.

相对滑动过程中s相=v·va-x1=0.2 m

由功能关系得：

WF=mgLsinθ+12mv2+μmgcos·s相=270 J.