渗透学法，让学生的思维枝繁叶茂——以“向量加法运算及其几何意义”为例

☉浙江省宁波市鄞州高级中学 叶琪飞

渗透学法，让学生的思维枝繁叶茂
——以“向量加法运算及其几何意义”为例

☉浙江省宁波市鄞州高级中学 叶琪飞

中国教育科学研究院教育综合改革实验区“第三届高质量课堂展示活动”于2015年1月5日～6日在重庆举行.来自全国各综合改革实验区的领导专家和老师共450余人参加会议，这次“第三届高质量课堂展示活动”为期两天，全国八个教育综合改革实验区高中数学优秀教师展示了各区域的生态课堂、智慧课堂、文化课堂、卓越课堂、幸福课堂、品质课堂、生动课堂等各具特色的课堂模式，部分课堂为同课异构，充分体现了实验区的成果和特色.由实验区的8位高中数学教研员组成的评委团现场打分，笔者执教的“向量加法运算及其几何意义”排名第一，获得特等奖.现将其整理，与同行分享.

向量是近代数学中重要和基本的数学概念，它是“沟通代数、几何、三角的一种工具”，其工具作用主要体现在向量的运算方面，向量的加法运算是向量运算的基础.平面向量的加法运算是通过类比数的加法，以位移的合成、速度的合力等两个物理模型为背景引入的.向量的加法不同于数的加法，运算中包含大小与方向两个方面，向量加法的法则是通过画图得到的，从这个角度来看，研究向量加法是学生学习过程中的一种突破.是学习向量的减法、数乘及平面向量的坐标运算等内容的知识基础，为进一步理解其他的数学运算（如函数、映射、变换、矩阵的运算等）创造了条件，向量的加法在这里起着承上启下的作用.通过不断与数进行类比，学习向量加法及其几何性质，充分体现了类比思想在研究问题过程中的重要作用.

一、通过类比，确定任务

1.教学片断呈现

“同学们，你们在十几年的数学学习过程中，始终都跟两类对象打交道：数与形.对数的学习，我们不妨一起来梳理一下，经历以下内容：数的概念；数的运算；数的运算规律；数的运算应用举例.模仿对数的学习，请设计对向量的学习清单.

2.评析与思考

荷兰著名数学家弗赖登塔尔在《作为教育任务的数学》中说：“数学是充满联系的，不要教孤立的片段，应该教联系的材料.”可将对平面向量的学习类比于数的学习，学生在十几年对数的学习过程中，其流程极具程序化：概念—运算—运算律—应用举例，将类比这一思维方式贯穿课堂始终，引领全局，一气呵成，一个好的课堂结构应该是站在知识系统的高度引领学生的认知结构，将类比这种方法深入学生内心，进行现场组织，这样能为学生的可持续发展提供源源不断的源泉.

二、概念同化，重在迁移

1.教学片断呈现

引入1：这次来重庆笔者有两种计划，从地图上看：第一种计划从宁波出发途径北京到重庆，第二种计划是直接从宁波到重庆（展示中国地图）.这是物理背景中位移的合成，第一种计划中两次位移的结果与第二次一次位移的结果相同，物理中把后一次位移称为前两次位移的和，去掉物理背景，我们可以视其两个向量的和.

引入2：到了重庆自己肯定要到朝天门码头看看，朝天门码头在长江与嘉陵江的交汇处，夜景非常漂亮，如果乘上一艘船观赏两岸的风景更是一大美事.数的加法启发我们，从运算的角度看，船实际的行驶速度v可以认为是与船在静水中的速度v1和水流的速度v2的和.

2.评析与思考

上公开课要接地气，贴近学生实际，才能产生共鸣，学生对向量这个概念并不陌生，完全没必要推倒重来，在物理学科中，位移的合成，速度、力的合成都是向量加法的物理模型，在矢量的合成中学生对三角形法则与平行四边形法则了然于心，掌握得很熟练.那数学为什么还要学习向量呢？相比矢量，向量更具有一般性和普适性，向量的起点可以随意，只要方向和长度确定，可以自由平行移动，数学中对两向量加法把握住原有知识的生长点，老师要做的工作只需要唤醒.

三、植入探究，碰撞思维

1.教学片断

呈现教师用两个实物向量演示，反复强调“首尾连，共起点”.再摆弄两个道具向量，如果两个向量共线，和向量有没有？共线时平行四边形法则没有了和向量.三角形法则还是有和向量，因此它的“口诀”可以借用到共线中探究，作同向共线和反向共线的和向量时要求每个向量的起点和终点标上大写字母，便于说明和向量是在哪里.第一、二组作同向共线和向量，第三、四组作反向共线和向量，自己完成后把另外两组的任务也完成好，教师巡视.

请两位学生在实物投影仪上展示.教师小结，补充说明.强调借用三角形法则的“口诀”——首尾连，起点指向终点.小组讨论内容大于形式，创造性地调动小组长和组员的学习积极性，教师提问，前后4人一组，分组交流，了解学生思考问题的进展过程，鼓励学生在学习了两种求和方法的认知基础上，通过作图展示突破思维的障碍，学习小组展示成果，学生在合作探究中得出结论：（a+b）+c=a+（b+c）.教师让学生明确探究途径是使用加法法则作图研究，并且作图需要设计，选择理想的方法，清晰表述证明过程，学生通过合作交流、自主探究，通过画图动手验证，完成对相关运算律的证明.

2.评析与思考

新课程改革倡导自主、探究、合作，要求改善学生的学习方式.本节课有对向量的运算法则、运算律的合作探究和分组讨论，学生经历知识的发现过程，感受解决问题的喜悦，教师在这个过程中作为参与者、引导者、合作者，充分体现了教师的主导作用和学生的主体作用.

四、数学建模，应用举例

1.教学片断呈现

在引入的时候，笔者向大家展示了朝天门码头下游的其中一艘船的速度合成，下面笔者加入了一些具体数据，看看大家学以致用的能力.

长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮渡进行运输.一艘船从长江南岸A点出发，以km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时江水的速度为向东2km/h.

（1）试用向量表示江水速度、船速及船的实际航行的速度；

（2）求船实际航行速度的大小与方向（.用与江水速度间的夹角表示）.

2.评析与思考

培养学生的数学建模能力，以及数学的应用意识.上课的引入情境不能上课伊始一用了之，然后束之高阁，在课中最好有个呼应作用，本课例中的应用切合引入问题背景，学生的数学学习过程是一个持续的“无疑—有疑—无疑”的动态循环和提高超越过程.要培养学生提出问题的能力，而应该多次使用.

五、概念延伸，文化引领

1.教学片断呈现

这节课之后，你还想做些怎么样的探究对所学内容进行小结，为实际应用打下基础.通过开放型问题，拓展学生的视野，提高学生的探究意识.同学们，向量加法运算是向量运算中最基本的一种运算，向量和的求作方法同学们也必须掌握，而“和”是中国文化的特征向量，也是我们所追求的最高境界，我们现在在学海中遨游，要使我们自己的速度与风速、洋流的速度合起来的和速度达到最大，用今天学习的平行四边形法则知道，只要方向尽可能一致时，实际的速度会更快些.最后祝愿大家在今后的学习中乘风破浪，利用一切有利因素，坚持不懈，到达理想的彼岸，谢谢大家！

2.评析与思考

数学课堂要体现数学的文化价值，做到数学知识与数学文化的巧妙融合，做到“润物细无声”，虽不能将课程三维目标承载在一堂课上，但如果每堂课不分重点课程目标，那课程目标又从何谈起？从问题提出到问题解决都竭力把探究问题的主动权交给学生，让学生操作实验、直观感知、自主探索、合作交流，使学生全面参与、全员参与、全程参与，真正确立其主体地位.而教师作为数学学习的组织者、引导者、合作者，要及时给予点拨和纠正.

注重学科间的贯通，推进扎实，创意新颖，充分调动了学生的思维积极性，并立足于小组合作及小组负责人检视指导组员等方法，有效挖掘了学生的自主学习潜力，为高中数学的生动课堂教学做出了极具意义的探索.

1.石志群.“练习”不一定就是给“练”的［J］.中学数学月刊，2011（7）.

2.叶琪飞.浅论变式教学的有效性［J］.中学数学（上），2012（5）.

3.章建跃.中学数学课改的十个论题［J］.中学数学教学参考（上），2010（3）.

4.赵绪昌.浅谈数学课堂教学中的等待［J］.中学数学（上），2011（6）.F