随钻测井正演数值模拟方法

王莎莎

(中国石油大学胜利学院 基础科学学院,山东 东营 257000)

随钻测井正演数值模拟方法

王莎莎

(中国石油大学胜利学院 基础科学学院,山东 东营 257000)

随钻测井技术由于其实时测量的优越性在油田勘探开发领域具有广泛应用前景,对随钻测井响应的正演数值模拟是进行测井资料解释和地层对比评价的理论基础,对测井作业具有很大指导作用。常用的正演数值计算方法有:有限元法、有限差分法、蒙特卡罗法、数值模式匹配法及积分方程法等。

随钻测井;有限元法;数值模式匹配法

目前,我国石油勘探开发工业所面临的情况越来越复杂,主要开发那些规模小、物性差的油藏。这种情况下,随钻测井因其具有地质导向功能和实时测量技术，成为测井作业最好的方法之一。随钻测井技术的发展促进了相应数值模拟方法的开发，常用的数值模拟方法可以分为三类:(1)数值方法,如有限元法;(2)半数值半解析方法,如数值模式匹配法;(3)解析方法，如积分方程法。本文分别从方法原理、优缺点方面介绍了几种常用的数值模拟计算方法。

1 有限元法

有限元法(FEM)是一种求解微分方程近似解的数值方法,早在1943年由Courant 提出,最先用于力学方面的分析,直到20世纪70年代才被推广用于电磁场分析。80年代,新型有限元法即矢量有限元法被提出,能更方便地模拟目标的几何边界和介质特性,被广泛应用于微波器件分析、电磁辐射和电磁散射等许多研究领域。

有限元法是以变分原理及加权余量法为基础进行计算的数值方法,基本原理是:求解时将整个问题区域分解成多个简单的子区域(有限元),在子区域中的未知量用具有未知系数的简单的插值函数来表示,这样无限个自由度的求解问题就转化为有限个自由度的求解问题,然后可以基于变分原理或Galerkin方法得到一个大型线性稀疏矩阵,最后求解整个方程组就能得到原问题的解。有限元法是最早用于测井领域的数值模拟方法之一。张中庆[1]利用矢量有限元法并采用解释图版对不同地层中的随钻测井响应进行了研究,给出了地层视电导率和介电常数两个参量,并分析了地层参数对测井响应的影响。

有限元法算法比较简单,而且对复杂的问题模型适用性也比较好,尤其在感应测井、电磁波测井在水平井和倾斜井中的情况特别有效。但对于比较复杂的地层模型,节点处未知量较多,就会导致计算量大、计算效率比较低的问题,所以选用这种方法前,要先判断该模型是否适合使用这种方法。

2 有限差分法

有限差分法(FDM)是发展最早的数值计算方法之一,在1966年Yee提出交错网格有限差分之后开始被广泛应用,并且由于20世纪90年代时Berenger提出了完全匹配层吸收边界条件,其模拟效果明显改善,从而得到了更广泛的应用。最初,有限差分法在频率域和时间域问题中被用得较多,但是近年来由于更适合频域计算的有限元法和积分方程法的发展,有限差分法则主要用于时间域,即时间域有限差分法(FDTD),这种方法被广泛用于电路、天线、雷达等电磁领域。

有限差分法的基本原理是用有限个离散点(节点)构成的网格来代替连续的定解区域，具体方法是：用在网格上定义的离散变量的函数来近似连续定解区域上连续变量的函数；用差商来代替原方程和定解条件中的微商，用无限项和来代替积分，于是原微分方程就近似地变为代数方程组，也就是得到一个有限差分方程组，通过求解这个方程组就可以得到原问题在节点上的近似解；然后再利用插值方法就可以得到原问题在整个离散区域上的近似解。有限差分法在随钻电磁波测井数值模拟领域的应用非常广泛。杨震、范宜仁、解茜草[2- 4]等分别应用有限差分法研究了各向异性地层中不同随钻电磁波测井响应特性，为测井解释工作提供了理论基础。

有限差分方法简单,编程比较容易实现,差分后形成线性方程组也比较容易求解,而且适用于各种类型的介质。但由于有限差分法应用于复杂模型时,网格划分非常复杂,计算量大大增加,而且可能出现不收敛的情况。另外目前有限差分法的精度一般都是2阶精度,无法大幅度提高其精度,这对一些精度要求较高的问题无法适用。

3 蒙特卡罗法

蒙特卡罗法(随机抽样法或统计试验方法),最先出现于1777年法国数学家布丰用投针实验求圆周率π的方法,在20世纪40年代由乌拉姆和 冯·诺伊曼正式提出。事实上,蒙特卡罗法是在计算机上实现数字模拟实验的一种方法,目前国际上最常用的模拟程序是MNCP(Monte Carlo Neutron and Photo Transport code)。近年来,计算机技术的发展推动了蒙特卡罗法在计算物理学、核物理学和金融工程学等领域广泛的应用。

蒙特卡罗法是一种以概率统计理论为基础的数值计算方法,其基本原理是:在所要求解的问题恰好是某种随机事件出现的概率或某个随机变量的期望值时,通过一种“实验”方法使这种事件出现的频率等于这一随机事件出现的概率或这个随机变量的某些数字特征,这样就可以得到问题的解。蒙特卡罗法在随钻核测井中应用非常广泛。朱頔、张锋[5- 6]等分别用蒙特卡罗法研究了随钻脉冲中子测井、随钻能谱测井及随钻密度测井的测井响应特性。

蒙特卡罗法给出的是概率结果,不仅能够给出可能发生的情况,而且能够给出各种情况发生的概率值。这种方法适应性非常强,对各种形状的问题适用性都非常好。另外,这种方法的收敛性是概率意义下的收敛,所以问题复杂性增加对其收敛速度的影响不大,而且也能节省存储单元,对计算机的要求相对低一些,应用性更强。

4 数值模式匹配法

数值模式匹配法(NMM),是最常用的一种半数值半解析的混合算法。1982年,Pudensi等在研究电磁散射问题时,结合有限元法与波模的概念提出了这种混合计算方法。20世纪80年代中期,Chew等采用径向的数值模式匹配法研究了非均匀介质的电磁散射问题,并在交流电法测井数值模拟中使用了这种算法。

数值模式匹配法的基本原理是:在一维(例如纵向)形成数值本征模式解,而在另一维(例如径向)形成透射矩阵和反射矩阵,利用递推矩阵法求出解析解,再将数值解和解析解结合,就可以得到整个问题的解。因此,它能够应用于纵向有任意多个分层而每层又具有任意多个径向柱面分层的非均匀介质中的电磁场分析,而且是目前高频随钻电磁波测井响应模拟中计算效率最高的方法之一或者说是针对二维问题计算效率最高的方法。朱柯斌[7]等用数值模式匹配法研究了随钻测井的测井响应特性,并解决了钻杆内信号传输速率低的问题。

数值模式匹配法得到的解是一维解析解和一维数值解的结合,这不仅大大减少了数值模拟的计算量,而且提高了求解速度及精度。但是当分层较多时,计算会大幅增加,而且对不规则的复杂地层模型适用性较低。

5 积分方程法

积分方程法是一种解析方法,由Abel在19世纪二十年代初提出。Abel在研究质点力学问题时,导出了Abel方程,最早给出了积分方程的模型。自从1968年Harrington 提出矩量法的概念后,积分方程法得到了快速发展,并被广泛地应用到求解电磁散射和电磁辐射问题中。

积分方程法的主要思想是对麦克斯韦方程的微分形式进行一系列的变换,并借助洛伦兹矢量、标量势以及格林函数,最终得到一个关于总电场的第二类 Fredholm 积分方程。即将电磁参数异常区域进行行剖分离散,得到一个线性积分方程组,并将其写成矩阵形式,通过对矩阵的求解得到异常体内各离散单元的场值,这样不考虑异常体存在时的背景场和异常体产生的散射场相加即可得到总场。彭笠、张旭等[8-9]采用积分方程法计算了随钻测井中不同地层模型的测井响应。

积分方程法是求解问题模型的精确解,对复杂地层模型适用性不强，因此多用于验证混合法或数值法的正确性。

6 结束语

综上所述,随钻测井正演数值模拟方法多种多样,各有优缺点,求解时要根据所要计算的问题模型,选择合适的数值计算方法,数值模拟才能更准确、高效,更好地进行测井解释工作。

[1] 张中庆, 庞兵强.随钻电磁波测井数据处理新方法[J].吉林大学学报:地球科学版,2014,44(5):1720-1726.

[2] 杨震, 范宜仁, 文艺,等.三维频率域随钻电磁波测井数值模拟[J].地球物理学进展,2009,24(5):1833-1838.

[3] 解茜草, 赵志峰.随钻电磁波测井响应时域有限差分数值模拟[J].计量与测试技术,2014,41(8):1-3.

[4] 范宜仁, 李虎, 胡云云,等.倾斜各向异性地层随钻电磁波响应模拟[J].电波科学学报, 2013,28(5): 994-998.

[5] 朱頔, 孙建孟, 杨锦舟.随钻密度测井间隙对探测器晶体影响的蒙特卡罗模拟[J].测井技术, 2011,35(4): 319-324.

[6] 张锋, 袁超, 刘军涛,等.随钻脉冲中子-伽马密度测井响应数值模拟[J].地球科学——中国地质大学学报, 2013,38(5):1116-1120.

[7] 朱柯斌.随钻电测井中的宽带信号传输方法及宽带测井方法研究[D].成都: 电子科技大学,2013:11-22.

[8] 彭笠.基于积分方程法的电法测井响应数值计算研究[D].成都: 电子科技大学,2012:8-22.

[9] 张旭.随钻电磁波电阻率测量仪器数值模拟方法研究[D].青岛: 中国石油大学(华东), 2010:7-18.

[责任编辑] 王 巍

2015-06-03

王莎莎(1986—),女,山东东营人,中国石油大学胜利学院基础科学学院助教,主要从事随钻测井数值模拟方法研究。

10.3969/j.issn.1673-5935.2015.03.008

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1673-5935(2015)03- 0026- 02