Boussinesq-Burgers方程的达布变换及其计算机机械化实现

李拔萃

（中共辽宁省抚顺市委党校 公共管理教研室，辽宁 抚顺 113006）

Boussinesq-Burgers方程的达布变换及其计算机机械化实现

李拔萃

（中共辽宁省抚顺市委党校 公共管理教研室，辽宁 抚顺 113006）

Boussinesq-Burgers方程是孤立子理论中的一个重要的方程，在物理学中有许多应用。本文构造出Boussinesq-Burgers方程的一个新的达布变换。利用这个达布变换，在符号计算软件Maple的帮助下，可以得到该方程新的孤子解。

Boussinesq-Burgers方程；达布变换；符号计算软件；孤子解

孤立子理论在自然科学的众多领域中扮演着非常重要的角色。一方面它在量子场论、粒子物理、凝聚态物理、流体物理、等离子体物理和非线性光学等物理学的各个分支及数学、生物学、化学、通信等各自然科学领域得到了广泛的应用；另一方面它极大地促进了一些传统数学理论的发展，为非线性偏微分方程提供了求解显示解的方法。孤立子理论中构造非线性偏微分方程精确解的方法有齐次平衡法、Tanh函数法、反散射方法、双线性变换法、李群法和达布变换法等等[1-6]。其中达布变换法是寻找孤子解的一种有力工具[7-9]。本文考虑重要的Boussinesq-Burgers方程，构造出一个新的达布变换，利用这个达布变换在符号计算软件Maple的帮助下以获得Boussinesq- Burgers方程新的孤子解。

2 Boussinesq-Burgers方程的达布变换

Boussinesq-Burgers方程

考虑如下谱问题的Lax对

其中u和v是两个位势，λ是谱参数。

3 Boussinesq Burgers方程的孤立子解

已证明的定理表明变换(4)式把旧的谱问题(2)-(3)式变换成了相同的谱问题(7)-(8)式。因此若(u,v)是Boussinesq-Burgers方程的一组解，则由变换(15)式确定的也是Boussinesq-Burgers方程的解。

现在取Boussinesq-Burgers方程(1)的一组平凡解u=0，v=-1作为种子代入到Lax对(2)-(3)式中，可求得其两个基本解

再由(10)式可以求得a，c，d。最后根据(15)式得到Boussinesq-Burgers方程的一组新的精确解

4 总结

本文通过构造Boussinesq-Burgers方程一个新的达布变换，并利用这个达布变换在符号计算软件Maple的帮助下获得了该方程的新的孤子解。这些解不仅是利用其它方法所得不到的，也是其它文献中所没有的，而且有重要的物理意义，可以合理地解释相关的自然现象，很好地描述各种物理现象，比如振动、传播波等。

[1] 古超豪,胡和生,周子翔.孤立子理论的达布变换及其几何应用[M].上海:上海科学技术出版社,1999:55-59.

[2] 李志斌.非线性数学物理方程的行波解[M].北京:科学出版社,2007:2-7.

[3] 范恩贵.可积系统与计算机代数[M].北京:科学出版社,2004: 105-107.

[4] Yufeng Zhang, Zhonglong Zhao, Guangming Wang. On generating linear and nonlinear integrable systems with variable coefficients[J]. Applied Mathematics and Computation, 2014, 244 (2) 672–682.

[5] ZHANG Yu-Feng, Hon-Wah Tam. Generation of Nonlinear Evolution Equations by Reductions of the Self-Dual Yang–Mills Equations[J]. Commun. Theor. Phys., 2014, 61 (2): 203-206.

[6] Bacui Li, Yufeng Zhang. Explicit and exact travelling wave solutions for Konopelchenko-Dubrovsky equation[J]. Chaos, Solitons and Fractals, 2008, 38(4): 1202-1208.

[7] Fan E G. Solving Kadomtsev-Petviashvili Equation via a New Decomposition and Darboux Transformation[J]. Commun. Theor. Phys., 2010, 37(2): 145-148.

[8] Li Y S, Zhang J E. Darboux transformations of classical Boussinesq system and its multi-soliton solutions[J]. Physics Letters A, 2010, 284(3): 253-258.

[9] Yan Z Y, Zhang H Q. New Auto-Darboux Transformation and Explicit Analytic Solutions for the Generalized KdV Equation with External Force Term[J]. Journal of Mathematical Research & Exposition, 2001, 21(1): 323-328.

（责任编辑、校对：赵光峰）

Darboux Transformation for the Boussinesq-Burgers Equation and Computerized Mechanization

LI Ba-cui

(Department of Public Management, Party School of CPC Fushun Municipal Committee, Fushun 113006, China)

Boussinesq-Burgers equation is a significant equation in soliton theory. There are many applications in physics. In this paper, we construct a new Darboux transformation for the Boussinesq-Burgers equation. By means of this Darboux transformation and with the aid of symbolic computation software, many new solitary solutions are obtained.

Boussinesq-Burgers equation; Darboux transformation; symbolic computation software; solitary solution

O175.29

A

1009-9115(2015)02-0010-03

10.3969/j.issn.1009-9115.2015.02.003

2015-03-05

李拔萃（1983-），女，辽宁抚顺人，硕士，讲师，研究方向为孤立子理论 数学机械化。