基于非齐次泊松过程的航空装备FFOP预计

杨 科，许连虎

（中国空空导弹研究院，河南 洛阳 471009）

基于非齐次泊松过程的航空装备FFOP预计

杨 科，许连虎

（中国空空导弹研究院，河南 洛阳 471009）

对于可修复产品，无故障工作期（FFOP）与无维修工作期（MFOP）存在紧密联系。依据泊松理论，故障率函数具有浴盆曲线特征的故障发生过程需要用非齐次泊松过程进行描述。首先介绍了FFOP的概念及其国内外技术发展历程；继而，利用基于修正的Weibull分布函数构建的浴盆曲线故障率函数，对故障率具有浴盆曲线特征的装备提出了FFOP预计方法，并通过案例说明了预计方法的可行性。最后，分析了装备FFOP与基于MFOP的装备维修策略的关系，认为装备FFOP的确定应综合权衡可靠性/安全性和维护成本。

无故障工作期，无维修工作期，泊松过程，浴盆曲线，可靠性

0 引言

随着信息化技术、制造工艺水平的快速发展，新一代航空装备集成化、信息化、综合化的特点日益突出。为应对战场复杂信息化环境、极端自然环境和工作条件，要求装备必须满足高可靠性、易维护、好保障目标，从整体提升装备的战备完好性与任务成功性。无故障工作期（Failure Free Operating Period，FFOP）被定义为产品不会发生任何故障的时间。对于新一代航空装备而言，具备一定的无故障工作期是达到提升装备战备完好性和任务成功性目标的必要保证。FFOP与装备维修策略的制定及维护费用也有紧密联系，因此，进行航空装备FFOP预计，为装备维护保障计划的确定提供支持，对降低装备的运行成本具有十分重要的意义。

根据泊松理论，泊松过程能够描述实际生活或自然界中随机事件的发生［1］，对大多产品的故障发生也有适用性。针对故障服从指数分布的产品，其故障率被认为常数，则寿命周期内的故障事件的发生可以用齐次泊松过程描述［6］。然而，由于某些产品在交付之前因受到环境应力筛选有效性的限制或是其本身特点决定，其故障率仍具有浴盆曲线特征，因此，需要用非齐次泊松过程来描述其故障的随机发生。

本文首先介绍FFOP的概念及国内外技术发展历程，然后利用基于修正的Weibull分布函数构建的浴盆曲线故障率函数，提出基于非齐次泊松过程的FFOP预计方法，继而利用该FFOP预计方法对某航空装备的FFOP进行预计，并分析预防维修策略对装备FFOP的影响。

1 FFOP介绍

FFOP概念最早源于美国空军颁布的军用规范MIL-A-87244《航空电子设备完整性大纲要求》［2］，即FFOP内不允许故障但允许维修活动，可以认为FFOP是一系列免维修工作期的集合［3］。其通常作为耐久性参数与1996年英国国防部提出的免维修工作期（Maintenance Free Operating Period，MFOP）结合度量产品的耐久性。

国外有大量文献关于无故障工作期/免维修工作期（F/M-FOP）概念的阐述以及适用场合的分析，事实证明其对装备维修策略的确定有显著帮助。对于可修复的产品，FFOP、MFOP及其平均故障间隔时间（Mean Time to Failure，MTBF）其实具有内在的联系，如文献［3］将MFOP与MTBF进行了对比分析，并研究了基于任务可靠度和更新理论的MFOP预计方法。产品的故障通常可理解为有限区间内的离散事件，文献［4-6］基于此假设，利用统计方法估计产品存在某固定长度MFOP的概率。

国内近年来也开展了基于MFOP的维修方案研究及FFOP预计方法研究，如文献［7］阐述了MFOP的产生背景、概念、内涵及应用情况，提出了获取MFOP的获取思路，总结了实现MFOP的方法和技术途径，并给出相关MFOP应用研究的建议；文献［8］进行了故障服从齐次泊松过程情况的FFOP预计方法研究，并在典型机电产品上的应用验证了所提方法的合理性；而文献［9］则开展了基于浴盆曲线故障率函数的FFOP预计方法研究，说明了FFOP与MTBF的区别，提出了服从非齐次泊松过程的预计模型和预计步骤，并分析计算不同维修策略下的装备FFOP预计值。

2 FFOP预计

2.1 预计方法

依据MIL-A-87244，当产品发生故障的概率达到2%时，则认为所经历时间为该产品的FFOP。但对于某些产品，其故障率密度函数满足如图1所示的曲线，得到的FFOP很短。从而需要进行定期的预防维护，使产品在使用之前修复如新，以降低故障发生概率，这对于可靠性/安全性要求高的产品来说显得很有必要。

前面已提到MFOP与FFOP联系紧密，认为FFOP是一系列MFOP的集合。在此假定在时间区间［0，L］内，银行VIP服务系统的免维修工作周期为s，此系统在周期s内最多只为3位客户提供服务，若在s时间段有多于3位客户出现，即认为系统过载（故障），则系统的FFOP为s的概率为P{n［t，t+ s］≤3}，n［t，t+s］为s时间段内的客户数量。若使产品在工作期［0，L］内无过载（故障）工作，则需在每次故障之前即刻进行维护并恢复到“完好”状态。此外，对于一个升降系统同样适用，假设该系统免维修工作期s内限定的升降次数为100次，若在s内超过限定的升降次数，则系统会出现异常。因此，只要在限定升降次数内，及时对系统进行维护即可避免故障发生。

FFOP要求在［0，L］内系统无故障运行，为此就需要在故障发生前及时维修至完好状态。由于一次维修工作期只能解决一次随机故障，随机故障的发生次数与维护次数一致，即第i次和第i+1次维修之间的间隔时间si，i+1小于第i次和第i+1次实际故障间隔时间Si，i+1。若在工作期［0，L］内出现n次故障，规定的MFOPi，i+1=si，i+1，则存在时间为L的FFOP的概率表示为

式中：n为故障次数。

对于大多数产品，其故障率函数类似浴盆曲线，故障率并非常值，则寿命周期内随机故障的发生必须用非齐次泊松过程描述。基于非齐次泊松过程的FFOP预计方法有如下假设：①故障事件的发生服从泊松过程；②故障率函数为浴盆曲线；③FFOP内允许固定周期的计划维修，产品修复如新；④一个MFOP内不允许有任何影响产品正常运行的故障事件，且一次维护只能处理一次随机故障。

2.2 浴盆曲线故障率函数

文献［10］已基于修正的Weibull分布函数给出具有浴盆曲线特征的故障密度函数，形式如下，

对应的可靠度函数为

故障率函数为

式中：α，β，γ均为以上函数中的未知参数。

经过验证，以上故障率函数的曲线明显呈浴盆曲线特性，可以描述分布特征为浴盆曲线的产品故障率［9］。

2.3 预计过程

当产品故障不服从指数分布，即故障率非常值时，其寿命周期内发生的故障服从非齐次泊松过程，基于非齐次泊松过程的FFOP存在概率的计算公式为［9］

式中：r为允许的维护次数，λ（t）则需要在FFOP预计之前根据式（2）～式（4）求得。

FFOP的预计过程如图2所示。

首先设定初始参数，包括初始维护次数r=1、FFOP为L的置信度P*FFOP和MFOP。按照图2方法，随着维护次数的递增，得到的最大维护次数r满足式（6），FFOP的估计区间估计由式（7）获得。

3 案例

作为一种可靠性度量或者理念，MFOP可用于多个领域，为此考虑既然是一系列MFOP集合的FFOP也应有较为广泛的应用。飞机及其机载武器系统等可靠性要求高、维护费用高的装备，FFOP的预计对其维修策略的制定可以提供很好的支持。本文以某机载武器系统为例，进行FFOP预计方法的应用和不同MFOP对装备FFOP的影响。

根据某型机载武器系统寿命试验获得的数据进行FFOP预计，表1为18套样本的寿命试验数据，其中ti为故障前时间（Time to Failure，TTF），F（ti）是由平均秩次法得到的故障概率值［11］，Lnt和ln（ln（1-ln（1-F（t））））供后续参数估计使用。

用式（2）描述该产品的故障分布函数，然后采用极大似然参数估计法构造的似然函数为［10］，

式中：n为样本数量，0＜i≤n。

对式（8）未知参数α，β，γ求偏导，分别得到式（8）～式（10），

为保证结果精确性，首先利用图形估计方法［10］对α，β，γ进行初步估计，得到确定极大似然参数估计的初值α=358.117 6，β=0.715 2，γ=0.002 7，然后利用数值解析工具求得 α=373.498 6，β=0.965 0，γ= 0.003 8，带入式（2）和式（3），得到：

通过对表1数据进行数据分析，根据式（12）得到的故障率函数曲线如图3所示，可知该产品的故障率函数具有浴盆曲线特征，即可用非齐次泊松过程描述其故障发生。

根据MTBF的定义，利用式（12）求得该产品的MTBF为171.3 h。经过了解该产品在外场的使用情况，确定其MFOP为16 h。按照图2的FFOP预计过程，将式（11）带入式（5），则在P*FFOP=0.9的规定条件下，得到不同维护次数对应的PFFOP和FFOP，具体计算结果见表2。

从表2可以看出在一定的维护次数下该产品的FFOP为112 h，明显低于其MTBF统计值。

对于不同MFOP，置信度P*FFOP=0.9，得到该产品对应的最大维护次数和FFOP，见表3。

从表3可以看出，随着MFOP的增多会使得FFOP=0。而当MFOP=13 h左右时，FFOP与该产品MTBF最为接近，要求的维护次数在10～15次之间。由此可见，MFOP不能过大或者太小，过大会造成FFOP不存在，太小虽然能够得到所希望的FFOP，但维护次数较多造成维修成本加大。因此，通过合理的制定装备维修策略来确定其MFOP，对保证装备较高的FFOP有直接影响。

4 结束语

基于非齐次泊松过程的航空装备FFOP预计方法，能够用于故障随机发生服从非齐次泊松过程，且故障率函数具有浴盆曲线特征的装备，通过FFOP的预计对装备预防性维修策略的制定能够提供积极的指导作用。

在工程中对复杂装备来说，通常认为其故障服从指数分布，即当其故障率确定时，其MTBF肯定为一定值。但实际上由于多种因素的制约，装备在交付后其故障率函数仍具有浴盆曲线特征，从而造成其FFOP随MFOP的变化而改变，略大的MFOP会造成FFOP不存在，过小的MFOP会带来难以接受的维护成本。因此，在确定装备FFOP时应综合考虑维护成本与可靠性/安全性要求，来满足实际工程应用需求。

此外，需要注意的是装备MFOP的实现受到可靠性设计、预防性维修和故障预测与健康管理等技术水平的制约，因此，需要为提升装备的实际作战效能，仍需要加大这些技术的工程应用研究。

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［5］Warrington L，Jeffery A，Davis J N.Modeling of Maintenance，within Discrete Event Simulation［C］//Proceedings of Annual Reliability and Maintainability Symposium，2002: 260-265.

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Research on FFOP Prediction Approach of the Aviation Arm Based on Inhomogeneous Poisson Process

YANG Ke，XU Lian-hu
（AVIC China Airborne Missile Academy，Luoyang 471009，China）

Failure Free Operating Period（FFOP）was connected with Maintenance Free Operating Period（MFOP）compactly towards the repairable product.The failure event of the arm should be modeled with inhomogeneous Poisson process，whose failure rate function is shaped like a bathtub curve.Firstly，the concept and the technology developing course of FFOP are introduced.Then，the FFOP prediction process is developed by the bathtub shaped failure rate function which is modeled based on modified Weibull distribution function.The accuracy of method is verified through case. Furthermore，the relationship between FFOP and maintenance strategy based on MFOP is illustrated. FFOP should be decided by weighing up reliability/safety and maintenance cost.

failure free operating period，maintenance free operating period，poisson process，bathtub curve，reliability

TP114.3

A

1002-0640（2015）09-0072-05

2014-08-09

2014-09-18

杨 科（1987- ），男，河南济源人，硕士研究生，工程师。研究方向：可靠性系统工程。