雨滴下落加速度图像研究

柏露枝 姚文友

（北郊高级中学，江苏 常州 213031）

有关研究表明，雨滴在空中下落的过程中，速度v较小时，雨滴受到空气阻力f与下落的速度v成正比，即f＝kv；速度v较大时，雨滴受到空气阻力f与下落速度v的二次方成正比，即f＝kv2.对此，笔者对雨滴在重力和空气阻力作用下下落加速度随时间变化的图像进行了研究.

1 雨滴下落速度较小的过程

雨滴下落速度较小时，雨滴受到的阻力f＝kv.根据牛顿第二定律有mg－f＝ma，即

此式两边对时间求导

对此式两边积分，并代入初始条件t＝0时，a＝g得

由图可见，雨滴下落速度较小时f＝kv，下落加速度随时间的增大呈指数衰减，且加速度随时间的变化率越来越小.

图1

2 雨滴下落速度较大的过程

雨滴下落速度较大时，雨滴受到的阻力f＝kv2.根据牛顿第二定律有

此式两边对时间求导

图2

图3

因此，在雨滴下落速度较大的过程中，雨滴加速度随时间的变化图像，如图3所示.由图像可见，雨滴下落的加速度随时间而单调减小，但是加速度随时间的变化率先增大后减小.

将（1）式两边对v求导得

复习资料中有这样一道题：已知雨滴在空中运动时所受空气阻力f＝kr2v2，其中k为比例系数，r为雨滴半径，v为其运动速率.t＝0时，雨滴由静止开始下落，加速度用a表示.落地前雨滴已做匀速运动，速率为v0.下列图像（图4）中不正确的是

图4

原答案：（D），此题出处很多，而且都认为雨滴下落过程受到空气阻力与下落速度的二次方成正比时，加速度随时间的变化图像都如图4（A）.通过上述的分析可见，雨滴下落过程受到空气阻力与速度的一次方成正比，雨滴下落加速度随时间按指数衰减，即雨滴下落加速度图像如图1；雨滴下落过程受到空气阻力与下落速度的二次方成正比，雨滴下落加速度随时间的变化率先增大后减小，即雨滴下落加速度图像如图3.显然，“联考”中的图像（A）对雨滴下落受阻力与速度的一次方成正比是正确的，而对阻力与速度的二次方成正比就是错误的.此问题应引起大家的注意.