人字齿行星传动多体动力学建模与分析

刘振州，汪 建，张 俊

(安徽工业大学机械工程学院,安徽马鞍山243032)

人字齿行星传动多体动力学建模与分析

刘振州，汪 建，张 俊

(安徽工业大学机械工程学院,安徽马鞍山243032)

根据人字齿行星传动的结构特点，借助ADAMS建立该类传动的多体动力学模型，对其进行自由振动特性分析。结果表明，当人字齿轮左右两部分结构完全对称时，人字齿行星传动存在中心构件扭转振动、中心构件平移振动和行星轮振动3种典型模式，且3种振动模式的特点与直齿行星传动基本一致。在不考虑传动件结构柔性的情况下，基于多体动力学模型的自由振动分析结果与采用集中参数模型的仿真结果完全一致，表明本文所建模型的正确性，可为后续的参数敏感度分析及动响应分析提供模型依据。

人字齿行星传动；多体动力学；固有特性；自由振动

行星轮系的动力学建模是进行后续模态分析、振动分析、参数灵敏度分析和抑振分析的基础[1-4]。按照建模方法和模型的精细化程度，行星轮系的动力学模型大致可分为集中质量模型、分布质量模型和刚柔耦合模型。其中，集中质量模型因建模简单求解方便而被广泛采用。Kahraman[5]在绝对坐标系下建立了直齿行星传动模型，分析了啮合相位与制造误差、装配误差对系统动力学性能的影响。此后，Lin等[6]在随动坐标系下建立了计入构件平面复合运动的平移-扭转耦合动力学模型，并进一步分析了该类传动的自由振动特性。随后张俊等[7]修正了前人建模中的若干错误，推导了固有频率的解析表达式，更为准确地揭示了直齿行星传动模态特性的一般规律。延续这一思路，学者们进一步研究了行星传动的参数灵敏度[8]、稳态动响应[9]等。

与集中质量模型将轮系处理为弹簧-阻尼-振子系统不同，分布质量模型因能计入系统各构件的柔性而具有较高的计算精度。Parker等[10-11]在考虑齿廓真实几何形状和齿轮副接触基础上建立了行星轮系的有限元/接触模型，研究了运转速度和输入扭矩对系统动态响应的影响。Singh[12]建立了斜齿行星传动三维有限元模型，分析了行星架和齿轮制造误差对系统静态均载系数的影响。

尽管分布质量模型相较于集中质量模型能更真实地反映行星齿轮传动的动力特性，具备更高的分析精度，但该类模型的建立和求解更为费时[13]。人字齿行星传动无论是机械结构还是内部受力均较直齿与斜齿行星传动复杂，因此不易建立人字齿行星传动的分布质量模型。鉴于此，笔者借助ADAMS软件建立人字齿行星传动的多体动力学模型，并进一步对其进行自由振动分析，明确其固有频率和振型特点，从而为后续的动力学分析提供依据。

1 多体动力学建模

人字齿行星传动中各构件间的相对运动关系较复杂，且存在若干虚约束，在建立多体动力学模型时作如下假设：

1)将轮系中各传动件视为具有集中质量的刚体构件，忽略箱体柔性；

2)计入啮合变形和支承变形，将其分别等效为齿轮啮合刚度和轴承支承刚度；

3)忽略运动副的摩擦力，各齿轮副啮合力垂直于理论接触线；

4)设定人字齿轮左右两部分结构完全对称；

5)各行星轮具有相同的质量和刚度特性。

基于以上假设，将人字齿行星传动等效为如图1所示的多刚体系统。图中，各传动件均有3个方向自由度，内、外啮合副处理为线性弹簧，其刚度取为相应啮合副的平均综合啮合刚度(参见GB/T3480—1997人字齿轮平均啮合刚度的计算)。太阳轮、系杆、内齿圈与机体之间的连接用具有3自由度的衬套代替，具体各方向数值计算可参见文献[14]。

内外啮合副等效弹簧接触点的计算：将模型投影到xOy平面如图2(a)所示，基于人字齿行星传动是关于xOy平面的对称结构，取xOy平面一侧为例进行推导，如图2。其中s，r，p分别表示太阳轮、内齿圈及行星轮，为清晰计，图中未画出系杆及退刀槽宽度，只绘出第一个行星轮与内齿圈、太阳轮的内、外啮合。

图中A，B为太阳轮与行星轮之间的外啮合点，C，D为行星轮与内齿圈之间的内啮合点，由几何关系可知：

由以上计算可得A，B，C点的x,y坐标，D点的x,y坐标近似取为(rbr,0)。由图1(b)可求得z轴方向的近似坐标，图中

式中：rbj(j=s,r,p)，代表齿轮构件的基圆半径；rc为系杆的分度圆半径；βb为基圆螺旋角；l为齿宽；μ为退刀槽宽。

按照上述几何关系，可进一步建立人字齿行星传动多体动力学模型，如图3所示，为表达等效弹簧的联接情况，侧视图作透视处理。按照文献[13]中的处理方法，图中将各齿轮构件均用具有等效质量的圆柱体代替，圆柱体的长度为各齿轮构件的齿宽，半径为各齿轮构件的基圆半径；行星架以一定厚度的圆筒代替(圆筒的内、外圆半径平均值为行星轮轴心到系杆几何形心的距离)。取轮系几何中心作为原点，x轴取为水平向右且通过第一个行星轮几何中心，y轴取为垂直向上，z轴由右手定则确定。在该坐标系下轮系的弹性位移为q=(xs,ys,us,xc,yc,uc,xr,yr,ur,x1,y1,u1,...,xn,yn,un)。根据牛顿第二定律，可得系统无阻尼振动微分方程为

其中M，Kb，Km分别为广义质量矩阵、支承刚度矩阵与啮合刚度矩阵。篇幅所限，矩阵的具体元素不详列。

2 动态特性仿真结果与分析

以表1所示的人字齿行星传动系统为例，进行该类传动的振动特性分析。行星轮支承在固定于行星架的行星齿轮轴上，并同时与太阳轮和齿圈啮合。

表1 人字齿行星传动系统计算参数Tab.1 Parameters of DHPGT example system

通过求解系统的特征值问题，获知该类传动的自由振动特性，取系统动力学参数如表1，分别用多体动力学模型与集中参数模型，行星轮数目取为3，4，5时，得到系统各阶固有频率如表2(表中fADAMS，fMATLAB分别表示多体动力学模型、集中参数模型计算得到的结果)。对比表2中的数据发现，2种模型所得结果完全一致。根据特征值的重根数，各构件振型坐标之间的关系可将系统自由振动划分为3种典型模式，即中心构件扭转振动模式(CR)、中心构件平移振动模式(CT)、行星轮振动模式(P)。

表2 人字齿行星传动固有频率Tab.2 Natural frequencies of DHPGT

为直观计，绘出3种典型振动模式的振型示意图(以4行星轮为例)如图4，结合表2及图4，3种典型振动模式的模态特点如下。

1)中心构件扭转振动模式 有6个特征值与此振动模式对应且均为单根，其中一个为零；只存在中心构件的扭转振动而无平移振动，各行星轮具有相同的振动总位移；行星轮个数对各阶扭转振动频率有影响。

2)中心构件平移振动模式 有6个特征值与此振动模式对应且均为2重根；中心构件只有平移振动而无扭转振动；行星轮个数对各阶平移振动频率有影响。

3)行星轮振动模式 中心构件既无平移振动又无扭转振动，且各行星轮具有相同的振动总位移；有3个特征值与此振动模式对应，且只在行星轮个数N＞3时出现，重根数为N-3；固有频率不受行星轮个数的影响。

3 结 论

1)借助ADAMS建立人字齿行星轮系的多体动力学模型，通过模态分析获得系统自由振动特性。当不计入构件结构柔性时，模态分析结果与集中质量模型的求解结果相同，表明本文所建模型可准确预估人字齿行星传动的振动特性。

2)当人字齿轮左右结构对称时，系统存在中心构件扭转振动、中心构件平移振动和行星轮振动3种典型模式，且特点与直齿行星传动的振动模式相同。

3)各振动模式的特点，即中心构件平移振动模式：太阳轮、内齿圈和系杆只有径向位移，转动位移为零；中心构件扭转振动模式：太阳轮、系杆和内齿圈只有转动位移，径向位移为零；行星轮振动模式：太阳轮、内齿圈和系杆的径向位移和转动位移为零。

[1]KahramanA.Natural modes of planetary gear trains[J].Journal of Sound and Vibration,1994,173(1):125-130.

[2]Lin J G,Parker R.Analytical characterization of the unique properties of planetary gear free vibration[J].Journal of Vibration and Acoustics,1999(3):316-321.

[3]张俊，焦阳，宋轶民.斜齿行星传动参数化有限元建模方法[J].安徽工业大学学报：自然科学版,2014,31(3):279-285.

[4]赵永强,李瑰贤,常山，等.两级人字齿行星传动系统的模态跃迁现象[J].吉林大学学报：工学版，2011,41(1):133-138.

[5]KahramanA.Load sharing characteristics of planetary transmissions[J].Mechanism and Machine,Theory,1994,29(8):1151-1165.

[6]Lin J,Parker R G.Analytical characterization of the unique properties of planetary gear free vibration[J].ASME,Journal of Vibration andAcoustics,1999,121(7):316-321.

[7]张俊，宋轶民，张策，等.NGW型直齿行星传动自由振动分析[J].天津大学学报，2010,43(1):90-94.

[8]Lin J,Parker R G.Sensitivity of planetary gears natural frequencies and vibration modes to model parameters[J].Journal of Sound and Vibration,1999,228(1):109-128.

[9]KahramanA.Planetary gear train dynamics[J].Journal of Mechanical Design,2002,38(3):6-9.

[10]Parker R G,Agashe V,Vijayakar S M.Dynamic respond of a planetary gear systemusing a finite element/contact mechanics model[J].ASME,Journal of Mechanical Design,2000,122(9):304-310.

[11]Ambarisha V K,Parker R G.Nonlinear dynamics of planetary gears using analytical and finite element models[J].Journal of Sound and Vibration,2007,302:577-595.

[12]Singh A.Application of a system level model to study the planetary load sharing behavior[J].ASME,Journal of Mechanical Design,2005,127(12):469-476.

[13]张俊,刘先增.斜齿行星传动多体动力学建模与分析[J].振动与冲击，2014(7):11-17.

[14]万长森.滚动轴承的分析方法[M].北京：机械工业出版社，1987:52-64.

责任编辑：何莉

Multibody Dynamic Modeling andAnalysis of Double Helical Planetary Gear Train

LIU Zhenzhou,WANG Jian,ZHANG Jun
(School of Mechanical Engineering,Anhui University of Technology,Ma'anshan 243032,China)

According to the structural features of double helical planetary gear train(DHPGT),a multibody dynamic model for DHPGT was proposed to investigate the free vibration characteristics with the help ofADAMS.The results reveal that when the structure of the herringbone gear is symmetric,the free vibration of DHPGT can be classified into three categories.i.e.,the central components rotational mode,the central components translational mode and the planet mode,which are basically the same with the spur planetary gear train.The simulation results agree well with previous lumped parameter model when neglecting the component flexibilities,which proves the correctness of the proposed multibody dynamic model,thus can provide a modal basis for the parametric sensitivity and dynamic responses analysis.

double helical planetary gear train;multibody dynamic;natural characteristic;free vibration

TH132.425

A

10.3969/j.issn.1671-7872.2015.02.012

2014-12-08

国家自然科学基金项目(51375013，50905122)；安徽省自然科学基金项目(1208085ME64)

刘振州(1990-)，男，江苏连云港人，硕士生，研究方向为机械传动。

张俊(1981-)，男，安徽庐江人，博士，教授，研究方向为机械传动、机械系统动力学和机器人机构学。

1671-7872(2015)-02-0152-05