巧延伸 妙拓展

薛丽萍

课本上的习题，看似很平常，实则具有极大的拓展空间. 我们不能满足于顺利解决习题，而应由此及彼，层层延伸，步步拓展，从而挖掘知识之间的联系，提高解题能力和学习能力. 下面我们就从课本一道习题谈起，一起来探究正方体的展开图给我们带来的联想与拓展.

课本习题 七年级上册苏科版教材129页数学实验室：将一个正方体纸盒沿部分棱剪开展成一个平面图形. 把你得到的平面图形与同学交流.

【分析】 立体图形的展开是培养空间立体感的好方法，既要能凭空想象，又要能动手操作、仔细观察、深入思考.

正方体的平面展开图共11种（那些经旋转或翻转后方向不同但实质相同的图形不重复计算）.

（1） “141”型：

（2） “132”型：

（3） “222”型： （4） “33”型：

变式1：下列图形是正方体的展开图的是（ ）.

【分析】 根据正方体展开图的特点：若同一层最多有四个正方形，则在这四个正方形的两侧应各有一个正方形；正方体展开图中不可能出现“田”字形. 故选项C是正确的.

变式2：图1是一个正方体表面展开图，如果正方体相对的面上标注的值相等，那么x+y=______.

【分析】 在动手操作和观察正方体的11种展开图的过程中可得：正方体的展开图中若出现了“目”字形，则最上面和最下面的正方形是相对的面，如2x与8；若出现了“Z”字形，则头尾两个正方形是相对的面，如y与10.

拓展1：一纸箱制造厂有如图2所示的纸板，想用这种纸板制造棱长为a的正方体纸箱，请你帮助设计. （要求尽量不浪费纸板）

【分析】 题中所给纸板共有12个小正方形拼成，要尽量不浪费纸板，则一张纸板最多可折叠成两个正方体纸箱，即这12个小正方形要尽可能割成两个正方体的平面展示图. 由正方体展开图的特点，可如图3设计分割方法.

拓展2：将如图4的表面带有图案的正方体沿某条棱展开后，得到的图形是（ ）.

【分析】 研究带有图案的正方体的展开图，往往要先观察图案之间的相邻或相对关系，动手折一折、剪一剪、看一看是解决问题的最好的方法. 从正方体上观察可知这三种图案位于正方体的同一个顶点处，即带有图案的3个正方形是两两相邻的，而不是相对的，故选项D是正确的.

拓展3：李明同学准备制作一个正方体纸盒，先用5个大小一样的正方形制作成如图5所示的拼接图形（实线部分），动手折叠后发现少一个正方形，请你帮助李明同学再拼一个正方形，使新拼接成的图形经过折叠后能成为一个正方体盒子. （添加所有符合要求的正方形）

【分析】 展开与折叠是两个步骤相反的过程，要能够折叠成正方体，只需要判断是否是正方体的展开图. 同学们知道展开图中相邻两个正方形必须至少有一条棱是重合的，首先就能够断定添加的正方形只能是图6中1～10位置的正方形. 再由正方体的11种展开图可知，符合要求的正方形只有4个，即1、7、8、9.

拓展4：如图7，在正方形两个相距最远的顶点处逗留着一只苍蝇和一只蜘蛛. 蜘蛛可以沿正方体表面从哪条最短路径爬到苍蝇处？说明你的理由.

【分析】 在立体图形中很难感受到蜘蛛如何爬行才能使路线最短，不妨把立体图形转化为平面图形. 把正方体展开，如图8，在展开图上根据“两点之间，线段最短”，即可画出最短路径. 化立体圆形为平面图形是解决立体图形“最近路径”问题的关键.

我们从课本习题出发，探究了正方体展开图及相关的数学思想，通过变式与拓展，解决“形异而质同”问题. 希望在以后的学习中，同学们能注重课本习题，举一反三，在求变求新中提高解题能力！

（作者单位：江苏省常州市武进区湖塘实验中学）