基于无偏灰色马尔可夫链的吉林省降水量预测

张 茜，梁秀娟，杜 川

吉林大学环境与资源学院 长春 130021

0 引言

降水量指从天空降落到地面上的液态或固态（经融化后）水未经蒸发、渗透、流失，而在水平面上积聚的深度。降雨经过下垫面的调蓄作用产生径流，降雨、径流是水资源循环中的两个核心环节，其大小直接影响农业灌溉、河道航运、水土保持等方面［1］。对于吉林省这样以农业为主产业的地区，准确的降水量预测是合理调整种植结构、提高产量、降低气象灾害的最佳途径。

国内外有很多关于降水量预测的方法：肖长来等［2］采用模糊均生函数残差模型对吉林省西部降水量进行了预报，数据证明这是一种理想而实用的方法；吴春勇等［3］采用频谱分析以及自回归模型对挠力河进行了降水量预报，该方法利用傅里叶函数展开理论建立模型，简单易懂、计算速度快、精度较高，但仍存在一定的缺点和不足，如傅里叶函数存在吉布斯效应，使时间序列在极值处拟合较差；夏乐天等［4］采用加权马尔可夫链对郑州市的降水状况进行了预报，但其仅能预测降雨的丰枯状态，不能计算准确数值；Vahid Nourani等［5］采用基于神经网络的小波分析法对Ligvanchai流域降水量进行预测，结果表明预测效果与时间序列长度有关，大样本容量会提高预报的准确性；李生彪［6］运用无偏灰色模糊马尔可夫链对甘肃省人均GDP进行了预测，其结果的准确性和合理性明显优于传统的灰色马尔可夫模型。

因历史资料所限，大多数研究者只对一个雨量站的降水情况进行了预测，而笔者选用了吉林省分布在各市8个雨量站的长系列资料，利用无偏灰色马尔可夫链的方法，不仅纵向地进行了降水量的预报，还将结果进行横向分析，得出全省的降水量时空分布变化特征，并且讨论历史数据波动性与预报精度的关系，目的是提高农业经济效益、提高水资源利用率、合理进行水资源调度。

1 研究区概况

吉林省位于中国东北中部，东经122°-131°、北纬41°-46°，面积18.74万km2。吉林省是河源省份，处于东北地区主要江河的上、中游地带，省内有5条河流（松花江、鸭绿江、图们江、辽河、绥芬河）直接入海；地貌形态差异明显，地势由东南向西北倾斜，呈现明显的东南高、西北低的特征；以中部大黑山为界，可分为东部山地和中西部平原两大地貌区；东部山地分为长白山中山低山区和低山丘陵区，中西部平原分为中部高平原区和西部低平原区。全省多年平均日照时数为2 259～3 016h，年平均降水量为400～600mm。

2 数据来源及研究方法

2.1 数据来源

笔者选取吉林省8个地级市具有代表性的雨量站，分别为白城市（白城站）、松原市（乾安站）、长春市（长春站）、吉林市（蛟河站）、延边自治州（延吉站）、四平市（四平站）、通化市（通化站）和白山市（靖宇站），各雨量站的分布位置如图1所示。数据为1957 -2010年平均降水量资料，其中1957 -2000年44a的时间序列为空间样本，2001 -2010年10 a的时间序列为检验样本。

图1 吉林省代表性雨量站分布图Fig.1 Representative precipitation station in Jilin Province

2.2 研究方法

2.2.1 无偏灰色模型

灰色系统是指信息不完全的系统，灰色系统理论以信息不完全系统的行为表现、行为内涵、行为关系、行为环境的层次性、动态性、信息性、量化性为主要目的［7］。灰色理论由邓聚龙教授［8］在1982年首度提出，而后得到了广泛的应用。灰色模型（grey model，GM）使用的是微分方程的动态建模方法，常用的GM是一个一阶单变量的线性微分方程模型，它区别于一般的预测方法，是一种在“贫”信息下针对连续时间序列建模的思路［9］。

对于原始数据序列x（0）＝（x（0）（1），x（0）（2），…，x（0）（n）），利用该数据序列建立无偏 GM（1，1）模型［10－11］，步骤如下：

1）对原始数据进行一阶累加后，形成数列

2）确定数据矩阵B，Yn：

3）最小二乘估计一阶线性微分方程的待估参数α，μ为

4）计算无偏GM（1，1）模型的参数b，A，对呈现指数变化趋势的原始数据序列

作一次累加生成序列

按传统方法建模可得

进而求得以参数α，μ表示的b，A的估计量：

5）建立原始数据序列模型：

其中，当0＜k＜n时其为原始数据序列的拟合值，k≥n时为原始数据序列的预测值。

与传统 GM（1，1）模型相比，无偏 GM（1，1）模型不存在传统GM（1，1）模型所固有的偏差，因而也就消除了传统GM（1，1）模型在原始数据序列增长率较大时的失效现象［12］，其应用范围较传统GM（1，1）模型广泛。此外，无偏GM（1，1）模型无需进行累减还原，简化了建模步骤，提高了模型的计算速度。

2.2.2 灰色马尔可夫链

马尔可夫过程的定义如下：若随机过程X（t）满足

则X（t）被称为马尔可夫过程（马氏过程）。公式（9）右端的条件分布函数

称为马尔可夫过程从时刻tn状态Xn转移到时刻tn＋k状态Xn＋k的概率，简称转移概率。

从定义知，在tn时刻所处状态已知的条件下，马尔可夫过程在时刻tn＋k（k＞0）所处的状态只与其在tn时刻所处状态有关，而与其在tn时刻以前所处的状态无关。这种特性称为马尔可夫过程的无后效性（马氏性）。另外可以证明，马尔可夫过程的统计特性完全由它的初始分布和转移概率确定［13］。

马尔可夫链预测是一种常用的方法，它指对于一系列相依的随机变量，利用马尔可夫链对无偏灰色模型预报值的残差做改进。其基本步骤可概括如下：

1）设原始数据的预报值为，状态⊗i表示原始数据序列相对于预测值的偏离程度，即误差大小，计算误差序列的均值和均方差s，将其划分为m个状态，则任意状态区间的表达式为

式中，⊗i1，⊗i2分别表示误差区间的最小取值与最大取值。

2）根据已建立的分级标准确定各时刻误差序列值所处的状态。

3）计算得到不同步长的马尔可夫状态转移频数矩阵，利用公式求转移概率Pij（m），从而得到转移概率矩阵。式中，fij为第i状态经一步转移 为j状态的频数。

4）利用χ2检验法进行“马氏性”检验。

5）未来状态⊗i和转移概率Pij（m）确定之后，也就确定了预测误差的变动区间［⊗i1，⊗i2］，则预测值可按公式

计算。

6）对比预测值与实际观测值，计算相对误差，评价预测效果。

3 结果分析与讨论

3.1 应用无偏灰色模型进行预测

以吉林市（蛟河站）降水量的预测为例介绍无偏灰色马尔可夫链的应用。首先依据灰色原理利用Matlab编程，根据1957 -2000年降水量预报2002-2010年的降水量，计算结果见表1。

表1 蛟河站降水量预测结果及误差Table 1 Results and error of predication of precipitation in Jiaohe station

由预测结果可知，利用灰色模型（GM（1，1））仅能判断吉林市降水量多年呈递减趋势，预报结果相对误差较大。因此不能直接利用该方法进行预报，考虑用马尔可夫链对误差进行改进。

首先对原始数据进行χ2检验，发现其符合“马氏性”；然后计算预测误差，其均值为19.57，均方差为124.94；再对误差进行状态分级，依据分级标准（表2）确定2001 -2010年预测误差值所处状态，分别为1，4，3，2，3，2，4，3，2，5；一步状态转移矩阵P1的第i行第j列元素表示由状态i经一步转移至状态j的概率，根据公式（12）计算可得。

此时便可根据公式（13），依据2001年的无偏灰色预测值及误差状态预报2002年的降水量；以此类推，可分别计算出2003 -2010年的降水量。计算结果见表1。

表2 误差状态分级标准Table 2 Error status classification standard

通过计算，可得文中所选取的8个代表性雨量站2002 -2010年降水量预测情况，见图2。

3.2 分析与讨论

通过灰色模型预测结果可知：白城、乾安、长春、蛟河、四平、通化6个地区降水量多年呈递减趋势，减幅 分 别 为 0.23%、0.09%、0.24%、1.01%、0.51%、0.54%；延吉、靖宇2个地区降水量多年呈递增趋势，增幅分别为2.60%、0.54%。其主要原因为：延吉与靖宇位于吉林省东南部低山丘陵区，其地势较高，地形起伏较大，水系发育，河流众多；东南部为入海河流的发源地，水量较大，有利于水汽蒸发输送，使气块能够抬升并凝结，在小范围的水气循环中更易于降水的形成。

单纯应用灰色模型预测误差较大，通过马尔可夫链的改进后，误差明显减小，大大提高了预测精度，使预测结果接近实测数值。笔者将预测精度等级分为4类：好、合格、勉强、不合格，其对应的相对误差（绝对值）分别为0.00～0.05，0.05～0.10，0.10～0.20，≥0.20。表3为各测站预测结果的统计情况，计算得知仅17%的预测结果为不合格，因此无偏灰色马尔可夫链适用于吉林省各地降水量的预报。

图2 2002 -2010年降雨量预测情况Fig.2 Predication of precipitation in 2002－2010

将8个测站的均方差与误差（需取绝对值）均值进行归一化处理，见图3，可见二者变化趋势具有很强的一致性；同时利用SPSS统计分析软件做相关性分析，采用Spearman分析方法计算得到相关系数为0.738，显著水平0.037（小于0.050可以接受），说明二者呈正相关，即时间序列的波动性越大预测所产生的误差越大，这就要求预测对象具有过程平稳、等均值的特点［14］。

表3 各测站预测等级年数统计Table 3 Statistical date of predicting level of precipitation station

图3 均方差与误差均值变化趋势图Fig.3 Trend of mean square error and the error of the mean value

4 结论与建议

1）通过灰色模型对降水量变化趋势的预测可知，在2002 -2010年这9年中，吉林省中西部地区降水量呈递减趋势，东部地区呈递增趋势，但变幅不大。

2）在宏观趋势预测方面，无偏灰色模型一定程度上消除了传统模型本身固有的灰色偏差。在微观波动预测方面，无偏灰色马尔可夫模型更具有抗干扰性。经分析，无偏灰色马尔可夫法适用于吉林省降水量的预测，精度较灰色模型法高。

3）当降水量历史数据波动较大时预报精度会降低，因此扩大样本容量或对历史数据进行筛选、处理能一定程度上提高预报效果。

4）对未来降水量进行预报时，可以根据已有历史数据，重新选取样本进行模型构建，重构无偏灰色马尔可夫链转移概率矩阵，达到长期的预测目的，从而为吉林省防洪抗旱工作确定方向。

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