Filter在非线性规划解中的应用

郑雪莲

（山东工商学院数学与信息科学学院，山东 烟台264005)

本文考虑如下形式的非线性最优化问题：

其中f（x）：R→R，ci（x）：R→R，i∈I都是连续可微的实值函数。对于任意x∈Rn，I（x）＝{i∈I｜ci（x）＝Ψ（x）}，其中Ψ：Rn→R，Ψ（x）＝max{ci（x），搜索方向由如下的线性方程组来计算，

解为（d0k，λ0k），其中Hk∈Rn×n是对称矩阵

解为（dk，λk），其中

本文假设下列条件始终成立：

A1对任意x∈Rn，向量组{▽ci（x），i∈I（x）}是线性无关的，产生的迭代序列{xk}包含在一个紧致凸集S中。

A2设在KKT点x*处，对应的乘子向量为λ*，并且二阶充分条件与严格互补松弛条件成立。

证明 由引理1，对充分大的k，dk＝。再由(LS1)和(LS3)可得

对任意的i∈I（x*），有

因为方程组的系数矩阵非奇异，所以引理的结论是正确的。

下面，我们给出本文的主要结果：

证明 对i∈II（x*），当k充分大时，由ci（xk）＜0且→0，可得ci

对i∈I（x*），利用泰勒公式

再由(LS3)及引理2可得

因为v∈（2，3），故当k充分大时，由引理1可知ci（xk＋）≤0。综上所述，当k充分大时，h（c（xk＋））＝0。

［1］R.Fletcher and S.Leyffer.Nonlinear programming without a penalty function[R].Technical Report NA/171,Department of Mathematics,University of Dundee,Scotland to appear in Mathematical Programming,1997.

［2］C.M.Chin.A local convergence theory of a filter line search method for nonlinear programming[J].Numerical Optimization Report,Department of Statistics,University of Oxford,England,2002.

［3］A.Wachter and L.T.Biegler.Line search filter methods for nonlinear programming:Local convergence[J].Technical report,Department of Chemical Engineering,Carnegic Mellon University,2004.

［4］高自友,贺国平,吴方.任意初始点下的序列线性方程组算法[J].中国科学(A辑),1997,27(1):24-33.