对多混沌映射图像加密算法的分析与改进

刘祝华，袁 文

（江西师范大学 物理与通信电子学院，江西 南昌330022）

0 引 言

近年来，图像加密技术越来越重要，学者设计出了众多图像加密算法［1］，而混沌系统由于其对初始条件和参数的敏感性及类噪声特性，被广泛应用到数字图像加密算法设计中［2］。基于低维混沌的图像加密算法具有混沌序列计算简单的优点，但计算机的有限精度会使混沌序列出现短周期的问题，且密钥空间较小，导致算法的安全性不高［3－6］。与低维混沌相比，高维混沌具有更加复杂的动力学行为和更好的随机性，因此，许多研究者提出了各种基于超混沌的图像加密算法［7，8］，但高维混沌系统计算的复杂性却限制了其在实时环境下的应用。采用多个低维混沌相复合构建加密算法，可以避免高维混沌计算复杂的问题，同时又可以解决低维混沌动力学特性简单和密钥空间小的问题［9］，因此，越来越受到研究者的关注［10－14］。

郭晓丛等［10］提出了一种基于多混沌映射的图像加密算法，采用3个低维混沌映射生成3个与图像大小相等的混沌序列，视作空间中某点的坐标，再按空间直角坐标系中2点的距离公式，求解与图像对应像素点坐标值的距离，并作为加密因子。该算法生成加密因子的思路比较新颖，且采用多混沌映射，密钥空间大，但也存在安全隐患。本文分析了该算法存在的缺陷，并在安全性上给出了改进措施，提出了一种自适应多混沌分块图像加密算法。理论分析与实验结果表明，改进算法安全性高，且加密速度快。

1 原算法分析

1.1 原算法设计思路概述

对于M×N 的图像I，由二维Logistic映射生成2个长度为M×N 的混沌序列，并取小数点后13至15位，对256取模，得序列X1、Y1，由X1、Y1异或得序列L1。以相同的方法，由Hénon 映射生成序列L2，由Ikeda 映射生成序列L3。

把L1、L2和L3视作空间上点P 的坐标，则P 点的坐标为P（x，y，z），其中x ∈L1，y ∈L2，z∈L3。把图像I看成同一平面内的M×N 个质点，每个质点的坐标为Q（i，j，0），其中i∈［1，M］，j∈［1，N］。由空间中两点距离平方公式生成加密因子

式中：mod为取模运算。

原图像I向左循环移动一列，向上循环移动一行得Icr，并和加密因子异或得到密文图像Bi，j＝Icri，j⊕Ri，j。

1.2 原算法设计缺陷

首先，对于大小为M×N 的图像I，每个像素点的坐标值（i，j）是固定的。因此，加密因子Ri，j只与混沌映射的参数及初始值有关，因此，对于同样大小的图像，当混沌映射的参数及初始值相同时，生成的加密因子是完全相同的，这使得算法极容易被选择明文攻击［5－6］。其次，加密因子直接与图像明文异或，不存在扩散过程，明文敏感性极差，极易受到差分攻击。

1.3 原算法破译

使用选择明文攻击对原算法进行破译。所谓选择明文攻击是指攻击者有机会使用到加密系统，因此可选择一些明文，并产生相应的密文，通过分析明、密文对破译算法。为了破译原算法，选择与待破译密文大小M×N 相等的3个特殊明文矩阵A1、A2及A3。其中，A1为全0矩阵，A2、A3形式如下

由 （2）式可知，A2每一行的元素是相等的，而A3每一列的元素是相等的。使用文献 ［10］算法对矩阵Al，l∈［1，3］加密，得到密文矩阵

由于A1为全0矩阵，因此也为全0矩阵，根据式（3）不难破译得到加密因子Ri，j＝B1，i，j。A2经列循环移动会保持不变，因此，Acr2与只经过行循环移动的结果是相同的，根据式 （3），

选择3个特殊明文矩阵

使用文献 ［10］算法，获得对应的密文矩阵为

由上述分析可知，加密因子R＝B1，而

可见，文献 ［10］算法安全性很低。

2 改进的加密算法

针对文献 ［10］算法存在的缺陷，提出如下改进措施：首先，改进加密因子的生成方法，使图像中每个质点的坐标与图像明、密文相关联，使生成的加密因子会因图像的不同而不同；其次，改进加密公式，除异或运算外引入算术运算，且使密文与明文、加密因子及相邻密文相关；最后，使用明、密文对混沌映射的参数及初始值进行扰动，使算法做到 “一图一密”。

2.1 替代与扩散

对于上半部分图像序列IUi，按式 （4）对每个像素进行替代与扩散

在生成加密因子RUi时，使用tent映射

为提高算法安全性，在生成XUi、YUi和ZUi时，使用扰动因子t0、t1，按式 （9）、式 （10）和式 （11）分别对tent映射、kent映射和cubic映射的参数及初始值进行扰动

其中，k1至k7为算法密钥，扰动因子t0由下半部分图像序列的代入，t1由代入。

2.2 加密步骤

加密密钥为k0至k8。其中，k0为各混沌映射迭代首部分舍去个数，k1至k7为各混沌映射的参数和初始值，k8为加密轮次，加密步骤如下：

步骤1 输入大小为M×N 的图像I，M 为偶数 （若不满足，可对最后一行复制延拓）；

步骤2 使用密钥k0、k1至k7，按2.1节方法对图像进行替代与扩散；

步骤3 判断是否达到k8次的加密次数，若达到，则加密结束，否则将加密结果作为输入图像转至步骤2。

解密是加密的逆过程。密文图像分为上、下子块并转换成密文序列，按

实现每个密文像素的反扩散与反替代。其中，Ci为密文序列，Di为解密后的序列。

3 实验结果与分析

实验中使用1024×1024 的256 色Lena 图，在Matlab7.6环境下仿真测试，密钥k0＝100，k1＝0.992，k2＝0.002，k3＝0.422，k4＝0.012，k5＝3.554，k6＝2.564，k7＝0.011，k8＝2，与文献 ［10］和文献 ［14］算法进行了比较。其中，文献 ［14］使用三维类仿射对图像的像素位置及像素值进行置乱，并按扩散、替代、再扩散的方式对图像加密，每个像素替代时都要进行多混沌映射耦合方式的选择。

3.1 抗统计攻击性能分析

使用改进算法对Lena图进行2轮加密，效果如图1所示，密文图像与原始明文图像的视觉效果完全不同。

图1 Lena图加密效果

图2给出了原始图像和密文图像的直方图。由图2可知，原Lena图的像素值分布非常不均匀，但加密后密文图像的像素值呈平坦且均匀的分布，说明密文像素取各种可能值的概率趋于相等。也可用信息熵来度量图像中灰度值的分布情况［14］，对于256级的灰度图，信息熵最大值为8。原Lena图像信息熵为7.219391，以上述初始密钥为起始值，按0.000001步长，连续微调密钥k4及k7100次，加密后密文图像信息熵如图3 所示，均大于7.99980，而计算信息熵均值为7.999843，非常接近最大值8，调整其他密钥可得到类似的结果。以同样的方法，计算文献 ［10］密文 图像信息熵均值为7.989682，而文献 ［14］ 为7.992915，均小于本文改进算法。从直方图及信息熵分析可知，本文改进算法的密文图像灰度分布十分均匀，能有效抵御统计攻击。

图2 Lena图加密前后直方图

图3 Lena图加密后信息熵

3.2 相关性分析

按文献 ［14］方法计算图像中水平、垂直及对角相邻像素的相关系数rxy，若rxy越接近于1，则相邻像素相关性越高，越接近于0，则相关性越低。

图4 相邻像素相关性

原Lena图像水平相邻像素相关系数为0.990671，垂直为0.995407，对角为0.985479。在初始密钥基础上，按0.000001步长，连续微调k1和k3100次，得到密文图像相邻像素相关性如图4所示，密文图像3个方向的相关系数最大值均不超过0.0030，而最小达到3.663405×10－8，微调其他密钥可得到类似结果。以同样的方法，对文献［10］和文献 ［14］算法的密钥进行微调，并计算本文改进算法、文献 ［10］算法和文献 ［14］算法密文图像3 个方向相关系数的均值如表1所示。从表1可知，本文算法密文图像3个方向相关系数的均值都为最小，且非常接近于0，表明本文算法在两轮加密的基础上，虽然没有使用置乱操作，也能很好地破坏相邻像素的相关性，使密文有很好的随机性分布。

表1 相邻像素相关系数均值

3.3 差分性能分析

好的加密算法应该对明文变化非常敏感，而且这种敏感性越强，抗差分攻击的能力就越强。像素变化率NPCR和像素平均强度变化率UACI是衡量这种敏感性的2个重要指标，其定义可参见文献 ［5］。

随机选取原Lena图某一像素，共计100次，使其像素值加1，计算出NPCR和UACI如图5所示，可以看出NPCR均大于0.99595，而UACI均大于0.3340，即明文1个像素的微小变化会导致密文99.595%以上像素的变化，而变化的强度在33.40%以上，这表明算法的明文敏感性很强，有很好的抗差分攻击能力。为便于比较，计算NPCR均值为0.996102，UACI均值为0.334588。以同样的方法求得文献［14］算 法NPCR均值为0.990203，UACI均值为0.331201，均小于本文改进算法。而文献 ［10］算法由于不存在扩散过程，因此，明文1个像素的变化只会导致密文1个像素的变化，NPCR和UACI均趋于0，无法抵御差分攻击。

图5 差分性能分析

3.4 密钥空间分析

本文改进算法使用3个混沌映射，共有k1至k77个密钥，若每个密钥使用16位十进制实数表示 （包括1位整数和15位小数），则密钥空间为1016×7＝10112，若考虑混沌映射迭代舍去数k0取3位十进制整数，加密轮次k8取1位十进制数，则密钥空间可达10116。可见，本文改进算法具有巨大的密钥空间，能很好地抵御穷举攻击。

3.5 密钥敏感性分析

一个好的加密算法应该对密钥的变化非常敏感。2 个具有微小差异的加密密钥，应该产生完全不同的密文图像；同样，2个具有微小差异的解密密钥，对同一密文的解密结果也应该完全不同。

图6 Lena图解密密钥敏感性测试

解密实验时，分别对密钥k2、k5、k6进行微调 （加上10－15），解密结果如图6所示，可见微小的密钥变化都会导致错误的解密结果。表2列出了微调k2、k5、k6后解密结果之间的NPCR与UACI，结果表明错误的解密结果之间也完全不同，算法具有很强的解密密钥敏感性，微调其他密钥可得到类似结果。

加密实验时，分别微调密钥k3、k7（加上10－15）。表3列出了初始密钥密文、微调k3及微调k7后密文之间的NPCR与UACI，结果表明加密密钥的微小变化会使密文图像截然不同，算法对加密密钥同样非常敏感，其他密钥的微小变化也可得到类似结果。

表2 解密密钥敏感性

表3 加密密钥敏感性

3.6 执行效率

实验用PC机硬件配置为Intel酷睿i5 双核2.4 GHz处理器，4 G 内存，750 G 硬盘，软件运行环境为windows 7，Matlab7.6。利用本文改进算法对一幅256×256的8位灰度图像进行一轮像素替代与扩散，平均加密时间约为0.021s。文献 ［14］算法在相同实验环境下，对同一图像进行一轮加密，平均时间约为0.149s，远高于本文算法。主要原因是文献 ［14］在像素替代与扩散之前，使用了三维类仿射变换对图像像素位置和像素值进行置乱，增加了加密时间，同时像素替代与扩散是分开的，并按扩散、替代、再扩散的顺序进行，而且每个像素的替代都要进行混沌耦合方式的选择，增加了算法的复杂度和执行时间。

4 结束语

文献 ［10］算法存在设计上的缺陷，容易受到选择明文攻击及差分攻击。因此，提出了改进措施，对图像进行分块加密，使用对方块信息扰动多个混沌映射，并结合对方块信息生成加密因子，使用加密因子和相邻密文对明文进行替代与扩散。分析及实验结果表明改进算法很好地克服了原算法的设计缺陷，具有更高的安全性，且执行效率高。下一步将结合并行加密模型，研究在兼顾安全性的情况下如何进一步提高算法的执行效率。

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