优化学生规律探索的思维活动过程

高飞

苏教版数学教材将“商不变的规律”正式编在四年级下册“用计算器探索规律”单元，以期在提高学生用计算器计算较大数的乘除法技能的基础上，探索发现乘、除运算中所包含的“积的变化规律”和“商不变的规律”，并初步应用所学规律解决一些计算问题，感受及体验规律学习的实际价值。但谈到用计算器探索“商不变的规律”的教学素材时（如图1），

不难发现，例题编排意图是凭借8400÷40=210，提出“把被除数和除数同时乘或除以一个数（0除外）”的探究要求，从而使学生通过列举试算，初步发现“在除法中，被除数和除数同时乘或除以一个数（0除外），商不变”的现象并以此作为猜想，进而鼓励学生继续举例进行计算验证，最后归纳概括出商不变的规律。主要过程性目标是使学生经历规律探索的一般过程，积累学科探究活动经验。可是，站在学生的视角，探究需求在哪里？为什么要把被除数和除数同时乘或除以一个数，而不是同时加或减去一个数？为什么要强调“同时”？这里“同时”又作何理解？为什么必须是乘或除以同一个数？不同的数行不行？为什么要把0除外？等等。其实，对这些问题的质疑和探索，正是学生经历“商不变的规律”萌发、生长与形成的过程所必须思考及解决的问题。由此可见，学习商不变的规律的“重头戏”不是发现商不变的现象，而是引导学生执“果”索“因”地探究思考“商不变现象客观存在的根本原因是什么？”那么，是组织学生按照教材规定的路径来学习，还是遵循学生的认知活动线索重新设计课堂教学进程？这体现了教师不同的教学价值取向。

教学片段1：在观察和比较等活动中，引发猜想。

1.出示：算一算，比一比，你有什么发现？

（1） 40÷10=     （2） 60÷20=

8÷2=               120÷40=

（3） 9÷3=         （4） 150÷30=

90÷30=           5÷1=

要求学生分组口算出结果之后，教师引导观察与比较：

师：观察这四组算式，你有什么发现？

生：每组算式中商都相等。

四组算式集中呈现“商相等”的共同特点。对学生而言，这是一种强刺激。它既是促使学生深入探究商不变的规律的思维“导火索”，又是引发学生继续思考兴趣的“引擎”。

师：我们知道任何事情发生都是有原因的。有没有人想过：每组算式的商为什么都相等？

全班学生随即沉默下来，陷入了思考之中。

显然，由于学生年龄特征和认知水平的局限，从四组算式中，他们仅仅捕捉到“商相等”的表面现象。换句话说，学生的思维只是停留在知识的表层上，需要教师“站出来”发挥引导者的作用：“我们知道任何事情发生都是有原因的。有没有人想过：每组算式的商为什么都相等？”将学生的思维引向“深水区”，从而透过“现象”探求隐藏其背后的本质。

师：比较每组中上下两道算式的“被除数”“除数”有什么变化？

假如将这四组算式按照一定标准分类，你认为可以分成几类？怎样分？

学生独立思考之后，先小组交流，再全班交流。

生：分成两类：（1）（4）两组为一类;（2）（3）两组为一类。

师：为什么这样分？

生：我发现（1）（4）两组算式中被除数和除数同时变小了;而（2）（3）两组算式中被除数和除数同时变大了。

师：继续观察思考，说说（1）（4）两组算式中被除数和除数，因为什么同时变小？而（2）（3）两组算式中被除数和除数，又因为什么同时变大呢？

生：（1）（4）两组算式中被除数和除数同时除以一个数，所以变小;（2）（3）两组算式中被除数和除数同时乘以一个数，所以变大。

师：能举出实例说一说吗？

（学生回答略）

师：通过这段时间的讨论和交流，你又有什么新发现？

生：被除数和除数同时乘以同一个数，商不变;或被除数和除数同时除以同一个数，商不变。

师：为什么强调同一个数？举例说一说。

（学生回答略）

对于学生而言，从感知到发现每组算式中“被除数和除数同时乘或除以一个数（0除外）”是商不变现象客观存在的根本原因，属于认知上的难点。为了有效突破教学难点，这里分两个层次来教学：第一层次，在引导学生观察比较每组算式中的被除数和除数的变化的基础上，通过分类活动，促使学生初步感知每组算式的基本特征。当学生经过观察、比较、分类和交流等活动时，初步发现“（1）（4）两组算式中被除数和除数同时变小了;而（2）（3）两组算式中被除数和除数同时变大了”，也就迈出了突破教学“瓶颈”的第一步。第二层次，在学生已有的感性认识的基础上，继续引导学生的思维向纵深延伸，从而建立被除数和除数共同变化的表象。“说说（1）（4）两组算式中被除数和除数，因为什么同时变小？而（2）（3）两组算式中被除数和除数，又因为什么同时变大呢？”这一问，又一次激荡起学生思维的涟漪。他们沿着原有的思维路径继续探索前行，利用加、减、乘、除一一试算和思考，进而发现“被除数和除数同时乘或除以一个数（0除外）”与“商不变现象”之间的依存关系，并初步抽象和概括商不变的规律。

教学片段2：在具体实例计算中，验证猜想。

1.引导验证：

师：我们从四组除法算式中发现的除法中蕴含的“商不变的规律”是否可信？这里需要——

生：验证！

出示：已知8400÷40=210，如果被除数和除数同时乘或除以一个数，商有什么变化？endprint

学生自主列举试算（用计算器），之后小组交流，全班交流。

生：8400和40同时乘或除以相同的数，商不变。

师：请你具体说一说。

（学生回答略）

师：自己再找一些例子用计算器计算，而且这些例子要有代表性。比如不仅要包含一、两位数，而且要包含三、四位数等等。看看是否都有这样的规律？能否找出反例？然后，小组交流。

“我们从四组除法算式中发现的除法中蕴含的商不变的规律，是否可信？这里需要——”此时，继续举例计算验证，就成为全体学生共同的心里需求。尤其是在初步验证的基础上，教师提出“选择面要广”“寻找反例”的要求，更能刺激学生的大脑神经，从而引发他们深入思考、踊跃地投入到计算验证活动之中。

2.归纳概括：

师：通过举例验证，你能得出什么结论？

生：在除法中，被除数和除数同时乘或除以一个相同的数，商不变。

师：有没有找到反例？

生：没有！

师：想一想：为什么被除数和除数同时乘或除以相同的数，商不变呢？

生：因为被除数和除数同时发生相同的变化！

通过亲身经历商不变的规律的“猜想——验证——结论”的探究过程，学生从中获得的不仅有数学知识，更有丰富的感知及深切的体验。在此基础上，教师抛出“为什么被除数和除数同时乘或除以相同的数，商不变呢？”一问，从而引领学生适度“触摸”和追寻商不变规律的深层内涵，已然成为可能。当然，受学生知识水平的限制（利用分数和除法之间关系等知识推演），这里的引申“点到为止”，主要是适当提升学生思维概括水平。

3.思辨结论：

师：打开课本读一读“商不变的规律”，和我们概括的有什么不同？

生：有0除外。

师：为什么要0除外呢？

生：0不能作除数。

生：0作除数没有意义。

教学片段3：在实际应用中，巩固延伸。（略）

一般来说，教材为学生的数学学习提供了具有逻辑性、系统性的知识体系。能否把作为思维结果的数学加工成“活动的”、学生自己重新建构的数学，实现知识“再创造”，这既反映出教学设计的指导思想，又反映了教师不同的教学价值观。

一、 突出探索性，培养学生思维能力

比如教学“商不变的规律”。单从知识教学的目标来看，按照教材例题提供的学习线索，也许能够多快好省地探索发现商不变的规律。但是，从发展学生思维能力的角度来看，它却完全屏蔽了从感知到领悟“被除数和除数同时乘或除以一个数（0除外）”与“商不变”之间因果关系的思考过程。如此教学，不仅不利于数学知识的建构，更不能最大限度地发挥“商不变规律”教学的“育人”功能。为此，教师在教学设计时，需要适度拉长教材空间，增强教学的探索性。尤其在学生“首次”感知实例，作出商不变规律的猜测环节，让他们的思维“多飞一会儿”，从而充分领受发现之旅的“沿途风景”。

二、 突显过程性，培养学生思维能力

比如“圆的周长”教学。一般教材侧重点都是引导学生经历圆周率的“猜测——验证——结论”的探究过程。这其中“猜测”环节是探究学习的关键一步。苏教版数学教材五年级下册提供的教学路径是：首先，让学生观察比较三个不同规格的自行车轮滚动一圈的路线长短，在此基础上，引出圆的周长含义;接着，提出“比较三个车轮的直径和周长，你有什么发现？”由此可见，学生仅仅从直观比较中，感性地认识到圆的周长与其直径大小有关。然而，这对帮助学生认识圆的周长和直径之间倍比关系，以及引发他们实验探究活动来说，并没有多少指向性意义。更重要的是，学生失去了一次锻炼思维能力和创新活动的机会。为此，一位教师“匠心独运”凭借图形直观，引导学生多次观察思考，逐层感知和推测圆的周长及其直径之间关系。既收获了知识，又提升了能力，收到了较好的效果。

1.大胆猜测，圆的周长和直径之间有什么关系？

学生根据“两点之间线段最短”的知识经验，初步作出合理判断：圆的周长>2直径。

2.用心推测，圆的周长和直径之间有什么关系？

（1）

学生根据正六边形的边长=圆的半径，以及直径=2半径等知识经验，由正六边形的周长<圆的周长，推导出：圆的周长>3直径。

（2）

学生根据正方形的边长=圆的直径，由正方形的周长（4d）>圆的周长，推导出：圆的周长<4直径。

（3）归纳：3直径<圆的周长<4直径。

案例中，每位学生基于已有的知识和经验，积极参与观察、比较、推理和归纳等活动，亲身经历“圆的周长和直径之间关系”的猜想、推测等探究思考过程，不仅初步认识了圆的周长和直径的倍比关系，为后续实验探究指明了方向，更重要的是，倾听了知识的“萌发”“生长”和“拔节”的声音，提高了数学素养，发展了思维能力。

【责任编辑：陈国庆】endprint