MATLAB在函数极限定义教学中的应用

【摘要】函数的极限定义在高等数学的学习中非常重要，但是因为函数的极限定义比较抽象，学生不好理解，matlab绘图可以帮助我们更直观理解极限的定义。

【关键词】matlab  极限  应用

【中图分类号】G420 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2014）10-0030-01

函数极限的定义在高等数学学习中非常重要，但是函数极限的定义比较抽象，在教学过程中学生难以理解，尤其是二元函数极限的定义更是教学中的难点，我们在教学中用matlab绘图来帮助学生进行理解。我们从一元函数出发，用matlab先研究一元函数极限的定义再研究二元函数极限的定义。

1.一元函数极限的定义：

定义1[1]： 设函数y=f（x）在x0点附近有定义，若当x无限接近于x0时，函数f（x）的值无限接近于常数A，则称当x趋于x0时，f（x）以A为极限。记为f（x）=A。

定义2[1]： 设在f（x）在x0的某空心邻域内（x0）有定义，若存在一个常数A，>0，当0<|x-x0|<？啄时，都有|f（x）-A|<？啄，称函数f（x）在点x0有极限，A称为f（x）在点x0的极限，记为f（x）=A 。

对于函数定义的讲解，我们用一个例子在说明。

例1.3x+1=4

我们结合matlab作出图形来看这个例子。

x=0.96：0.00001：1.04;y1=3*x+1;y2=4;

y3=4+0.1;y4=4-0.1;y5=4+0.05;y6=4-0.05;

y7=4+0.01;y8=4-0.01;

plot（x，y1，'k'，x，y2，'b'，x，y3，'r'，x，y4，'r'，x，y5，'g'，x，y6，'g'，x，y7，'m'，x，y8，'m'）

从图上可以看到极限定义1的描述，离1越接近，函数值到y=4的距离就越小，并且要多小就多小。为了衡量距离越来越小，可以用|f（x）-4|越来越小来衡量，反过来，可以给定一个越来越小的距离，离1越近的点属于越小的距离区间。这就是定义2的描述。用matlab作图可以帮助我们理解函数极限的定义2，在图上我们可以看到，先给一个距离0.1，两个红线之间的点到蓝线的距离都<0.1，再给一个距离0.05，两个绿线之间的点到蓝色线的距离都<0.05，最后给一个距离0.01，两个品红线之间的点到蓝色线的距离都<0.01，也就是离x=1越近点的其函数值f（x）=3x+1离y=4的距离越小，也就是越来越接近y=4，要多接近就能多接近，这就是我们函数在一点处极限的定义。

我们还可以形象点讲解。在讲解的时候可以引一个从A地到B地的例子，坐火车从A地到B地，我们可以说自己离B地越来越近，所以B为我们的极限，也可以先画出一个个距离标志，我们坐火车的时候可以说我们离B地有500km，随着时间的推移，我们离B地有100km，50km，10km，5km，1km，300m，10m，0m。也就是随着时间的推移，我们离B的距离越来越小。

2.二元函數极限的定义：

在二元函数极限定义里，学生最大的问题是二元函数的图形想象不出，没有图形，极限的概念学生更是理解不了，我们试着用一元函数类似的方法来讲解。

例2.z=在（0，0）点附近的变化趋势？

用matlab 绘图：

t=0：pi/20：2*pi;r=0：pi/20：pi/2;

[r，t]=meshgrid（r，t）;

x1=sin（r）.*cos（t）;y1=sin（r）.*sin（t）;

z1=cos（r）;surf（x1，y1，z1）;

hold on

x2=-1：0.01：1;y2=-1：0.01：1;

[X2，Y2]=meshgrid（x2，y2）;

z2=ones（size（x2））;Z2=meshgrid（z2）;

surf（X2，Y2，Z2）

利用这个图我们可以解释二元函数极限的定义：在xoy平面上的点（x，y）无限的接近（0，0）时，其对应的曲面上的点（x，y，）无限的接近z=1这个平面，也就是说该点的函数值到平面z=1的距离越来越小，这与一元函数的极限定义是类似的。

定义3[1]：设二元函数z=f（x，y）在点p0（x0，y0）的某个领域（p0，）内有定义，如果（p0，）内任意一点P（x，y）沿任何路径，无限趋近p0（x0，y0）时，函数f（x，y）都无限接近一个常数A，则称A为函数f（x，y）在P（x，y）→p0（x0，y0）时的极限，记作：f（x，y）=A。

定义4[2]：？坌？着>0，？埚？啄>0，当0<<，|f（x）-A|<？着，则称函数f（x，y）在P（x，y）→p0（x0，y0）时的极限，记作：f（x，y）=A。

我们用matlab继续绘图，从图形上我们就可以看到定义4的描述。

参考文献：

[1]李彬主编.医科高等数学[M].北京：北京邮电大学出版社，2010.8，6-7;113-114

[2]同济大学数学系编.高等数学（第六版下册）[M].北京：高等教育出版社，2007，6（2011，8重印）.58-59

[3]王正林，刘明编著.精通matlab7[M].北京：电子工业出版社，2006

作者简介：

赵志芳（1981-），女，汉族，山西省稷山县人，讲师，硕士，主要从事高等数学教育研究。