高中数学必修1中难点概念启发式教学策略*

陈静安+方丽

数学概念是反映现实世界空间形式与数量关系本质属性的思维形式[1]。高中数学必修1处于初中到高中的过渡阶段，是整个高中数学学习的基础。其内容包括：集合、函数概念与基本初等函数I（指数函数、对数函数、幂函数），函数与方程、方程的根与函数的零点、函数模型及其应用。这意味着高中数学必修1绝大部分时间在讨论函数及相关概念，而且三分之二的概念直接以函数为前概念或定义项，由此可见函数概念在高一数学教学中的重要地位。

针对数学概念的学习与教学，有研究者将学生普遍感到难学、老师感到难教的概念称为难点概念。阮晓明、王琴文等通过调查研究指出高中数学教师和学生教与学的十大难点概念，其中，师生共同认定的难点概念为以下六个[2]：函数、反函数、球面距离、二面角、反正弦函数、参数方程。所以，函数概念既是高中学生数学学习的难点，也是教师教学的难点，因此成为高一数学教学研究的重点。不仅如此，纵观整个高中数学以致大学数学，函数作为刻画变量与运动的数学模型是贯穿始终的一条主线，因此既是数学教学的重点也是分析和解决问题的一种重要思想方法。

事实上，函数概念教学的研究一直是数学教学研究的课题。总体看，研究者分别从函数概念的形成，函数概念的思想、演变，图式理论、APOS理论等不同层面对函数概念教学进行了研究[3]，但尚未从函数概念教学的难点深入分析研究。下面结合《高中数学课程标准》的要求，探究数学概念的启发式教学策略，旨在为突破数学难点概念教学的瓶颈提供一种视角。

一、《普通高中数学课程标准》对启发式教学的要求

《普通高中数学课程标准》在基本理念中指出：高中数学课程应该返璞归真，努力揭示数学概念、法则、结论的发展过程和本质。通过典型例子的分析和学生自主探索活动，使学生理解数学概念、结论逐步形成的过程，体会蕴涵在其中的数学思想方法，追寻数学发展的历史足迹，把数学的学术形态转化为学生易于接受的教育形态。这就要求教师在数学教学过程中，要实施启发式教学，要激发学生的数学学习兴趣、充分发挥其学习主体的作用，使学生的学习过程成为在教师引导下的“再创造”过程。

二、数学概念启发式教学策略构建

1.创设情境、激发动机，发挥典型范例的意象表征作用

数学概念学习是一种有意识的思维活动，具有高度的抽象性和逻辑的严密性要求，需要学生较强的内在动机的驱使与推动，才能坚持下来和达到良好的学习效果。由于先入为主的心理机制，概念教学中第一个或第一组恰当例子的引入常常具有意象表征的作用。如高一映射概念的教学，有人通过一组贴近学生生活的实例来引人映射的概念，其一是给学生指定座位（一对一的样本），其二是给住校生安排宿舍（多对应一的样本），由此启发学生对映射本质属性的分析、抽象与概括，引领学生能动、自然地建构映射概念。这种来自学生熟悉的生活实际、易激发学生学习兴趣动机的典型范例，对抽象的概念教学既意义清晰又简洁明了，具有事半功倍之效。所以，概念教学的导入环节，应注重创设和引入贴近学生实际、简洁明了、典型的样本范例，以引发学生的问题意识、抓住学生的注意力、激发学生的学习动机，从而高效引领学生对它所表征的抽象概念的认知、理解和掌握。事实上，随着学段的升高，数学概念变得越来越抽象，理解也越来越困难，如果教学中对这类范例的积极意义认识不足，不善于运用范例来进行概念教学，或轻视范例的这种意象表征作用，只关注概念的形式化定义与分析，不仅会极大地增加学生概念认知、理解和记忆的难度，而且会削弱学生数学学习的热情。

2.忆旧迎新、分步设问，搭建思维的脚手架

根据概念定义的规则，定义由定义项、被定义项和定义联项三要素构成。其中，定义项必须是已被定义过的概念。换言之，新概念的获得是在已有认知结构的基础上进行的，并依赖认知结构中原有的相关概念、通过新旧概念之间发生联系而实现。所以，概念教学中，教师要透彻理解所教概念的本质和来龙去脉，按照概念建构与发展的逻辑递进轨迹，从学生的认知水平及规律出发，先复习定义项中涉及的已有概念、后导入新课;之后进行分层次、有梯度的分步设问与递进启发，以帮助学生弄清概念的来龙去脉及新旧概念之间的联系与区别。“尤其是核心概念的教学，常常需要教师‘不惜力、不惜时，费一番周折”[5]，切忌照本宣科、生搬硬套的“空降式”教学。例如高中函数概念教学，为突破教学中的上述难点，帮助学生理解再次学习函数概念的必要性，弄清高初中函数概念的区别与联系，在复习导入环节，依据高中函数概念建构依赖于初中函数概念、自变量因变量等已有概念，可创设如下分层次、递进式的问题串，为新知识的建构搭建思维的脚手架：（1）我们生活的世界充满着变化，还记得初中数学刻画变化的知识是什么？你能举几个例子吗？（2）判断它们是不是函数的依据是什么？初中函数概念是怎么说的？它涉及几个变量？它们的变量所属的集合有哪些异同点？（3）y=1是函数吗？

3.时间等待、适时点拨，先辨析本质属性后建构概念

数学概念课的主旋律是让学生参与概念本质特征的概括活动。而本质属性的概括基于学生的认知，体现了由具体到抽象的升华，这既是概念教学的重点，往往也是概念教学的难点。为了突破这一难点，概念教学应力求返璞归真，使学生自然地实现概念的形成[5]。换言之，数学概念教学应尽可能从具体实例出发，而不是从抽象定义开始。数学学习心理学也启示我们，本质属性的探索是应用分析、比较、抽象、概括等思维方法，对所研究对象的具体实例去粗取精、去伪存真、由表及里、由此及彼的加工和改造过程，它不是一蹴而就的，需要花一些时间。所以，在引领学生感悟、辨析这类事物所独有而其他事物所没有的本质特征的过程中，教师不仅要通过分层次、递进式的问题串启发学生观察、分析、比较，还要在启发提问后留给学生必要的思考时间与空间，让学生进行辨析、抽象、概括，做必要的时间等待。

4.设计变式、巩固运用，例题教学先分析后解答

“举一反三”是数学启发式教学的目的之一。概念建构后，接下来就要围绕概念精心选择或创设样本全面的典型例题，再一次运用和发挥典型范例的意象表征作用，启发学生辨析、判断、巩固、运用，达到变式拓展、触类旁通、掌握概念的目标。尤其是要注重设计和应用“形同质异、形变质同”的问题，教学中要借助分层次、递进式的问题串，带领学生对例题进行审题、分析，启发学生质疑辨析本质属性，从中发展学生举一反三、触类旁通、透过现象看本质的能力，实现概念学习由抽象到具体的第二次螺旋上升。

三、启发式教学的关键是合理设置课堂提问

启发式教学的宗旨是激发学生探索知识的欲望，发展学生自己解惑、释疑、创新的能力。研究表明，实施启发式教学的关键在于课堂教学提问策略的应用，分层次、问题串式的提问是实施启发式教学最重要而有效的教学策略。为使分层次、问题串式的提问具有启发性，要注意提问的针对性和恰当难度，要以学生的原有知识为基础、在学生的最近发展区内;提问要有层次和梯度，考虑大多数学生的认知水平，使学生跳一跳、够得着;注重在教学重点、难点、关键处设问，切实揭示教材或者学生学习活动的实际矛盾，形成问题串;提问要精心设计、表达简洁明确，避免事无巨细、无的放矢;要恰当运用提问的方式，如正问、逆问、追问、填空式提问等，提高提问的效率。总之，无论进行哪一种类型和方式的提问，提问前对于问什么、怎样问、问哪些学生一定要心中有数、精心准备，切忌盲目、随意地发问。

参考文献

[1] 陈静安，黄永明.数学课程标准与学科教学.江苏：南京师范大学出版社，2012.

[2] 阮晓明，王琴.高中数学十大难点概念的调查研究.数学教育学报，2012（5）.

[3] 乔石.数学启发式教学研究.陕西：陕西师范大学，2011.

[4] 欧慧谋.高中函数概念的教学策略研究——基于数学多元表征学习视角.广西：广西师范大学，2012.

[5] 章建跃，陶维林.注重学生思维参与和感悟的函数概念教学（续）.数学通报，2009（7）.

【责任编辑  郭振玲】