罗必达法则求极限的应用及误区

于河

摘 要：

通过例题展示了罗必达法则求极限的重要应用，并说明了罗必达法则在使用过程中与其他方法的配合及多种方法的灵活运用。同时指出了罗必达法则的不足之处——会失效，及罗必达法则失效时的方法选择问题。

关键词：

罗必达法则;应用;不足

中图分类号：

G4

文献标识码：A

文章编号：16723198（2014）23014302

在求00型与∞∞型未定式的极限中，罗必达法则可谓立下了汗马功劳。它不仅简化了求未定式极限的方法，也使得很多复杂的未定式极限问题得解。但对于某些问题看似可以用罗必达法则解答的，最后却走入了死胡同里。说明罗必达法则在解决未定式极限的问题上不是万能的，也有不足之处。本文将通过相关例题带大家领略罗必达法则的奇妙之处，并寻找解决其不足之处的方法。

1 罗必达法则的应用

学过高等数学的人都知道，罗必达法则是用导数的方法来求未定式极限的非常重要的定理。它是针对00型和∞∞型未定式的求解方法。下面举例说明罗必达法则的使用方法。

例1 求limx→1x3-3x+2x3-x2-x+1（00型未定式，使用罗必达法则求解）

解：原式=limx→13x2-33x2-2x-1（还是00型未定式，继续使用罗必达法则）

=limx→16x6x-2（代入求极限）

=32

说明：罗必达法则可以在求极限的过程中反复使用。

例2 求limx→0+lncotxlnx （∞∞型未定式，使用罗必达法则求解）

解：limx→0+lncotxlnx=limx→0+1cotx·（-1sin2x）1x   （整理）

=-limx→0+xsinxcosx

=-limx→0+xsinx·limx→0+1cosx （分离出特殊极限）

=-1

例3 求limx→0+3x-3sin3x（1-cosx）ln（1+2x）

解：当x→0时，1-cosx～12x2，ln（1-2x）～2x，

故 limx→03x-sin3x（1-cosx）ln（1+2x）（先利用等价无穷小量代换将函数简化）

=limx→03x-sin3xx3（再用罗比达法则解答）

=limx→03-3cos3x3x2（再次使用罗比达法则）

=limx→03sin3x2x=92

说明：在使用罗必达法则的过程中，可以通过化简并灵活运用各种求极限的方法简化运算。

例4 求limx→+∞xneλx （n为正整数，λ>0）

解：反复应用洛必达法则n次，得

原式=limx→+∞nxn-1λeλx

=limx→+∞n（n-1）xn-2λ2eλx

=……

=limx→+∞n！λneλx=0

说明：对于比较抽象的问题，应该通过观察发现其特点，从而选择正确的方法。

对于其他类型的未定式，比如0·∞型，∞-∞型，00，1∞，∞0型，我们可以转化为00型与∞∞型未定式来解答。

例5 求limx→+∞x-2ex （0·∞型）

解：limx→+∞x-2ex

=limx→+∞exx2         （变成∞∞型未定式）

=limx→+∞ex2x=limx→+∞ex2     （使用罗必达法则两次）

=+∞.

例6 求 limx→π2（secx-tanx） （∞-∞型）

解：limx→π2（secx-tanx）

=limx→π2（1cosx-sinxcosx）=limx→π21-sinxcosx  （变形为00型未定式）

=limx→π2-cosx-sinx=01=0      （使用罗必达法则）

2 罗必达法则使用的误区

在使用罗必达法则求解未定式极限时，必须明确其使

用条件，否则会发生错误。

例7 求limx→+∞x2-x-1x3+x+1

错解：limx→+∞x2-x-1x3+x+1   （∞∞型未定式）

=limx→+∞2x-13x2+1    （∞∞型未定式）

=limx→+∞26x      （不再是∞∞型未定式，继续使用了罗必达法则）

=limx→+∞06=0

正解：limx→+∞x2-x-1x3+x+1   （∞∞型未定式）

=limx→+∞2x-13x2+1    （∞∞型未定式）

=limx→+∞26x（不再是∞∞型未定式，不再使用罗必达法则）

=0

洛必达法则是充分条件而非必要条件，即极限limf′xg′x存在只是limfxgx存在的充分而非必要条件，极限limf′xg′x不存在，不能断定极限limfxgx也不存在。所以，罗必达法则又不是万能的。

例8 求limx→+∞x+sinxx-cosx  （∞∞型）

错解：limx→+∞x+sinxx-cosx  （∞∞型未定式，使用罗必达法则）

=limx→+∞1+cosx1+sinx （振荡型无极限，罗必达法则失效）

正解：limx→+∞x+sinxx-cosx

=limx→+∞1+sinxx1-cosx

=1

例9 求

limx→+∞x2sin1xsinx （00型未定式）

错解：limx→+∞x2sin1xsinx=limx→02xsin1x-cos1xcosx，此式振荡无极限，故洛必达法则失效。

正解：limx→0x2sin1xsinx=limx→0（xsinx·xsin1x）=limx→0xsin1xlimx→0sinxx

=01=0

由此可见罗必达法则不是万能的。当利用罗必达法则求极限时，除了要逐步验证条件外，还要根据所求极限的特点，结合其它的极限求法，保证计算的简捷性与准确性。

参考文献

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