基于修正RNG k-ε模型的叶片泵非设计工况数值模拟

任 嘉，张 瑶，沈正帆

(中国舰船研究设计中心，湖北 武汉430064)

0 引 言

流体机械中的湍流是一种高度复杂的非稳态三维流动［1］。特别是对于非标准工况下流体机械的流场计算，由于流动状态十分复杂，各种分离流、二次流、旋涡流使得用数值模拟手段预测其流场状态更加困难。为准确模拟出非设计工况下通用流体机械的内流场，选择合适的湍流模型，并对其进行相应修正以提高数值预测精度至关重要。已有很多实验证明，RNG k-ε［2］模型能较好地模拟具有强曲率影响的湍流分离流动，是工程湍流计算中具有很好的应用前景且值得推广的一种模式［3-5］。目前，对RNG k-ε 模型的修正主要集中在涡粘性系数Cμ上。

Leschziner和Rodi 认为，流线曲率对切应力和正应力进而对湍流耗散结构均有不可忽视的影响，而Cμ作为常数，反映不出这种变化，因而有必要对模型系数Cμ进行修正［6］。Masamichi 通过相关实验也证实，对于平板边界层、圆管内流和圆柱尾流，Cμ值的差别很大［7］。陈庆光结合模型系数Cμ的一种修正表达式和一种改进的近壁处理方法，将RNG k-ε 模式推广应用于冲击射流场的数值模拟，结果表明改进模型对滞止区附近的湍动能分布有较高的预测精度［8］。王少平考虑了附加曲率应变率对模型系数Cμ的影响，提出了一种新的两方程湍流模型，将模型应用于后台阶湍流分离流动和180°强曲率弯道内的分离流动，均获得了令人满意的结果［6］。

本文通过对RNG k-ε 模型中的涡粘性系数Cμ进行修正，将其与流场湍流脉动动能和湍流耗散率的变化相关联，得到了修正RNG k-ε 模型。为验证修正模型的有效性，分别应用修正RNG 模型和原始RNG 模型，数值模拟了一叶片离心泵的内部流动，得到了其在全流量区间内的扬程、效率曲线及内部流场分布，通过比较改进前后RNG 湍流模型的数值计算结果，并与实验结果进行对比，可以得出修正RNG 模型能更准确预测出非设计工况下叶片泵的流场特性。

1 控制方程及湍流模型

1.1 控制方程

基于RNG k-ε 湍流模型的稳态、三维不可压缩，湍流流动控制方程为:

连续性方程:

湍流脉动动能方程:

动量方程:

湍流耗散率方程:

其中，涡粘系数和生成项分别为:

Cε1，Cε2，Cμ，σk，σε都为模型常数，其取值为:σk=0.7179;σε=0.7179;η0=4.38;β=0.012。(其中。

1.2 修正RNG k- ε 模型

本文基于以上的Cμ改进式来提高RNG k-ε 湍流模型的预测精度，在倪汉根［9］的推导中，由于假定的形式，即在-uv 中已经包括了(∂U/∂y+∂V/∂x)的影响。同时，由于，所以k和ε 也间接包括了(∂U/∂y+∂V/∂x)的影响，故可在Cμ中舍弃(∂U/∂y+∂V/∂x)项，而采用下面更为简捷的改进式:

其中α1≈0.254，α2≈0.132。α1和α2为选取了湍流平板边界层、圆管内流和圆柱尾流场中相关的实验数据，采用最小二乘法拟合确定的常数。

由此，修正后的RNG k-ε 模型系数与原始模型系数对比如表1所示。

表1 RNG 模型与修正RNG 模型系数值Tab.1 Turbulence constant of original and improved RNG model

2 修正RNG k-ε 模型在叶片泵中的应用

2.1 几何模型及数值模拟方法

为验证修正RNG k-ε 湍流模型的有效性，针对一叶片泵包括吸入管、叶轮、导叶、蜗壳在内的全流道进行了数值模拟，如图1所示。其中，叶片泵的基本参数如表2所示。

模型采用的是三维、非结构化六面体网格，整个流道的网格节点总数为56 万个，单元总数为165万个。对流项的离散采用了二阶精度格式，收敛残差设置为10-4。

边界条件的设置为:进口给定质量流量条件，出口给定平均静压，固体壁面为无滑移边界条件。在此模型的计算中，有3 个动静交界面，分别是蜗壳和导叶的交接面，导叶和叶轮的交接面，叶轮和吸入导管的交接面。

图1 叶片泵几何模型Fig.1 Numerical model of centrifugal pump

表2 叶片泵主要几何参数Tab.2 Specification of centrifugal pump

2.2 数值计算结果

2.2.1 扬程计算结果对比

修正RNG k-ε 与原始RNG 模型计算所得扬程曲线与实验结果的对比如图2所示，扬程相对误差计算结果对比如图3所示。

由图2 中泵的实验扬程曲线可知，此叶片泵外特性曲线在Q/Qd∈(0.815，0.955)范围内呈现出明显的双驼峰非稳定区域。由于在此非稳定区域内扬程波动大，流动极不稳定，数值模拟的难度很大，故能否对非稳定区域的扬程预测准确，是衡量湍流模型优劣的主要指标。

由图2和图3 可知，不同模型计算所得流量扬程曲线和实验曲线的趋势基本一致。在远离设计点区域Q/Qd∈(0.73，0.815)内，原始RNG 模型和修正RNG 模型计算扬程值接近，相对误差均在3%以内。在接近设计点区域Q/Qd∈(0.955，1.07)内，原始RNG 模型结果要略优于修正后的RNG 模型，两者相差不大，相对误差范围都在6% ～8.5%之间。在双驼峰非稳定区Q/Qd∈(0.815，0.955)，原始RNG 模型虽然模拟出了扬程的变动趋势，出现了一个小的波峰，但误差很大，在这部分区域的平均误差为9.18%。修正后RNG 模型的计算结果与原始RNG 模型相比，有显著改善，不仅扬程值更接近于实验值，且很好的预测出了此区域内的波动趋势，波峰明显，此区域内的平均误差为7.14%，由此说明修正后的RNG k-ε 具有更高的预测精度。

图2 修正RNG k-ε 模型与RNG 模型计算扬程曲线对比Fig.2 Comparison of head curve calculated with original and improved RNG k-ε model

图3 修正RNG k-ε 模型与RNG 模型计算扬程相对误差对比Fig.3 Comparison of head curve error calculated with original and improved RNG k-ε model

2.2.2 叶轮效率计算结果对比

修正RNG k-ε 与原始RNG 模型计算所得叶轮效率曲线对比如图4所示。由图4 可知，修正RNG模型与原始RNG 模型的效率值均随流量的增加而增大，在达到设计工况后，效率值趋于平稳。在小流量Q/Qd∈(0.73，0.815)和接近设计工况Q/Qd∈(0.955，1.07)区域范围内，修正RNG 模型与原始模型的效率计算结果相差不大。在扬程驼峰区域Q/Qd∈(0.815，0.955)内，修正RNG 模型所得效率要显著高于原始RNG 模型。由此也说明，修正RNG模型对流场预测精度的改善主要体现在双驼峰非稳定区域内。

图4 修正RNG k-ε 模型与RNG 模型计算的效率曲线对比图Fig.4 Comparison of efficiency curve calculated with original and improved RNG k-ε model

2.2.3 内部流动评价与分析

由图2和图3 可知，Q/Qd=0.9 时，是修正RNG 模型的扬程计算值与原始RNG 模型值差别最大的流量点。这时，改进模型对扬程的数值预测准确度大大提高，对扬程的修正最为明显，故选取此流量点为典型的内部流动分析对象。

修正RNG k-ε 与原始RNG 模型计算所得径向面上叶轮和导叶的流线图分别如图5 ～图6所示。由图5可知，采用原始RNG 模型计算的叶轮流场，叶轮出口速度沿圆周分布不均，叶轮右上部的速度与左下部相比，要明显的偏小。在叶轮出口速度小的区域，流体进入到导叶后，由于流道扩张，速度降低，压力增加，在逆压下如果进口速度很小就有可能引起回流。这由图6 中由原始RNG 模型计算的导叶流场也可以看出，在导叶右上部，即叶轮出口速度偏小的区域，出现显著的回流，所以原始RNG 模型的计算扬程值也偏小。

另一方面，由图5 可知采用修正RNG 模型计算的叶轮流场，叶轮出口速度沿圆周均匀分布，所以导叶进口的速度分布也很均匀，在导叶内不容易发生回流。这由图6 中由改进RNG 模型计算所得导叶流场也可以看出，导叶内流场分布均匀，只在2 个导叶流道内有很小的回流，流动情况大大改善，因此由改进RNG 模型计算的扬程值更接近实验值。

图5 改进RNG k-ε 模型与RNG 模型叶轮流线对比图Fig.5 Comparison of impeller streamlines calculated with original and improved RNG k-ε model

图6 改进RNG k-ε 模型与RNG 模型导叶流线对比图Fig.6 Comparison of guide vane streamlines calculated with original and improved RNG k-ε model

修正RNG k-ε 与原始RNG 模型计算所得径向面上蜗壳流线图如图7所示。从图中可以看出，原始RNG 模型计算的蜗壳流场，在蜗壳出口处有明显的回流，造成很大部分的能量耗散，从而使得计算扬程值误差很大。而用修正RNG 模型计算的蜗壳流场，在蜗壳出口处无回流，流态良好，所以计算扬程误差显著减小。另一方面，由于此工况点与标准工况Q/Qd=0.9，已经很接近设计工况，不应该在导叶和蜗壳中出现如原始RNG 模型结果所示明显的回流，所以，改进模型的计算结果更为合理，外特性值也更接近实验值。所以，改进RNG 模型可以更准确的模拟非标准工况下的不稳定流动。

图7 改进RNG k-ε 模型与RNG 模型蜗壳流线对比图Fig.7 Comparison of volute streamlines calculated with original and improved RNG k-ε model

3 结 语

为提高RNG k-ε 湍流模型对非设计工况下叶片泵内流场的预测性能，采用将涡粘性系数Cμ与湍流脉动动能和湍流耗散率的变化相关联的方法，对RNG k-ε 模型进行了修正。用此修正模型和原始RNG 模型对一叶片泵内流场分别进行了数值模拟，通过比较其扬程、效率曲线计算结果和典型工况下的内部流场流线分布，可已得到以下结论:

1)2 种湍流模型计算的流量扬程曲线和实验扬程曲线的趋势基本一致。

2)在非标准工况下的双驼峰非稳定区域，原始RNG 模型计算扬程值误差较大，而修正RNG 模型的计算结果在此区域内有显著改善，不仅扬程计算误差明显减小，且很好的预测出了此区域内的扬程波动趋势。

3)修正RNG k-ε 湍流模型能克服非设计工况下流动不稳定，分离流动严重的特点，较准确的预测叶片泵的外特性，可以提高对叶片泵非设计工况下流场的预测精度。

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