米勒问题

李佳玲

一、教学内容

米勒问题的解答及其应用。

二、教学目标

1.知识与技能

（1）在具体情境中掌握米勒问题的意义，能用它们解决现实问题，体会米勒问题的本质；（2）掌握几种思想：数形结合、将实际问题转化为数学问题、建模思想、分类讨论，能解决实际问题；（3）养成自主探究和合作交流的习惯。

2.过程与方法

（1）经历寻找实际问题中的数学元素，把问题符号化处理，建立数学模型，体会将实际问题转化为数学问题和利用数学知识解决现实问题的一般思路，构建数形结合的数学素养；（2）通过分类寻找解题策略，提高发现问题、提出问题、综合多种知识解决实际问题的能力。

3.情感、态度与价值观

（1）激发学习积极性；（2）培养思维灵活性，体会数学的实用性，体验数学中数与形的有机联系，提高应用数学的意识；（3）认识到数学存在于日常生活中，加深分类讨论与数形结合思想。

三、教学重难点

重点：米勒问题的本质及解决实际问题的一般思路。

难点：从实际问题中抽象出数学问题，综合已学知识解决问题。

四、教学方法

探究、讨论、交流和演练。

五、教学过程设计

1.创设情境，引起认知冲突（2分钟）

师：大家知道欣赏挂在墙上的画时，一般要往前走几步再往后退几步，一直挪到我们觉得把画看得最清楚的地方。如果老师告诉大家，我不用挪来挪去就确切地知道该站在哪，大家信吗？

2.巧妙过渡，指出探究目标（3分钟）

师：大家想不想知道我是怎么做到的？要解决这个问题，首先我们得探讨另一个有趣的问题。大家知道历史上著名的数学家米勒吗？（若学生回答知道，则请知道的学生1和大家分享；若回答不知道或回答不理想，则教师将准备的故事与学生分享。）

（米勒是意大利著名的数学家，但数学家也有解决不了问题的时候，于是1471年他向诺德尔教授提出一个他百思不得其解的问题，这个问题就是今天著名的米勒问题，也即我们要探究的问题。）

3.数形结合，简化数学模型（5分钟）

师：在地球表面什么部位，一根悬杆呈现最长（即可见角最大）？

教师用PPT打出问题，让学生作出图形。教师巡视并从所画图形不同的学生中选2个较有代表性的学生2、3上黑板画，画好后点评图形并让学生2、3用数学语言表述问题。学生作出的图形可能如下：

■

数学语言表述：在已知直线l的同侧有P、Q两点，在直线l上求一点M，使得M对P、Q两点的张角θ最大，即∠PMQ最大。

■

（解释：地球半径很大，相对于杆来说，地球表面可看成平面，就像平时走路时看到的地面是平的，所以在这个问题中我们可把地球表面看成一条直线。）

4.启发提问，激发探究兴趣（2分钟）

师：这个问题在当时是一道难题，但在今天，我们的知识足以解决它，那我们可以帮助米勒解决这个问题吗？（提示考虑切割线定理。）

5.合作交流，引导深入探究（10分钟）

师：问题有没有说那根杆与地球表面呈什么角？既然没说，那我们该怎么办？（让学生前后4人一组。）

可能学生会回答：分类讨论。

师：分类讨论一般是先讨论简单的，再往一般、困难的方向讨论，那米勒问题是否也这样呢？（观察讨论过程，若学生思考不全，可加以点拨，指导学生从简单入手，再深入探究。）

6.分享成果，小组互相补充（5分钟）

师：有没有小组想分享你们的结果？其它小组有没有不同意见或补充的？

7.意犹未尽，继续尝试探究（5分钟）

师：大家很快解决了PQ与直线l平行的情况，但大家还没完全解决问题，PQ与直线l不平行的时候大家分成垂直与不垂直两种情况，但是大家好像不会解答，是吗？我们之前学过圆的性质，知道圆周角比圆外角大，那可否借助圆的这个性质，把∠PMQ放在圆里成为圆周角呢？如果可以，那这个圆周角何时最大呢？我们又怎么确定点M的位置呢？（因势利导，帮助学生用切割线定理解决问题。）

8.画龙点睛，写出解答过程（5分钟）

师：同学们讨论得怎样？（请学生4回答。）你能否上黑板写出完整解答过程呢？（最后教师给出具体解答过程，让学生检查校对。）

9.牛刀小试，巩固提高能力（6分钟）

师：同学们这么厉害，居然把米勒问题完整地解答出来了，要是我们穿越回去，肯定都是数学家，不过现在各位数学家们还要穿越回来，解决我们最开始的问题：一张1.4米高的名画挂在墙上，它的底边高于看画人的眼1.8米。问看画人应站在距墙多远处，看得最清晰？

（学生在练习时教师可说明：解决米勒问题后，大家应该知道最开始老师是怎么确定看画的位置的了吧？以后我们再遇到求最大角或类似的问题，相信大家都能解决了！）

师：那大家就继续帮帮我们的足球健将解决一下射门的问题，大家来看看：如图3，足球场长100米，宽60米，球门长7.2米，有一位左边锋欲射门，应在边AB的何处才使射门角度最大？

■

10.小结升华，完善知识系统（2分钟）

师：同学们，今天我们解决了米勒问题，那大家能否回顾下我们是用什么办法解决的呢？解决了米勒问题后我们可以干什么？

（教师回顾整个课堂环节，学生回答理想时教师一起回答，学生回答不理想时，教师可引导学生回答。）

一、教学内容

米勒问题的解答及其应用。

二、教学目标

1.知识与技能

（1）在具体情境中掌握米勒问题的意义，能用它们解决现实问题，体会米勒问题的本质；（2）掌握几种思想：数形结合、将实际问题转化为数学问题、建模思想、分类讨论，能解决实际问题；（3）养成自主探究和合作交流的习惯。

2.过程与方法

（1）经历寻找实际问题中的数学元素，把问题符号化处理，建立数学模型，体会将实际问题转化为数学问题和利用数学知识解决现实问题的一般思路，构建数形结合的数学素养；（2）通过分类寻找解题策略，提高发现问题、提出问题、综合多种知识解决实际问题的能力。

3.情感、态度与价值观

（1）激发学习积极性；（2）培养思维灵活性，体会数学的实用性，体验数学中数与形的有机联系，提高应用数学的意识；（3）认识到数学存在于日常生活中，加深分类讨论与数形结合思想。

三、教学重难点

重点：米勒问题的本质及解决实际问题的一般思路。

难点：从实际问题中抽象出数学问题，综合已学知识解决问题。

四、教学方法

探究、讨论、交流和演练。

五、教学过程设计

1.创设情境，引起认知冲突（2分钟）

师：大家知道欣赏挂在墙上的画时，一般要往前走几步再往后退几步，一直挪到我们觉得把画看得最清楚的地方。如果老师告诉大家，我不用挪来挪去就确切地知道该站在哪，大家信吗？

2.巧妙过渡，指出探究目标（3分钟）

师：大家想不想知道我是怎么做到的？要解决这个问题，首先我们得探讨另一个有趣的问题。大家知道历史上著名的数学家米勒吗？（若学生回答知道，则请知道的学生1和大家分享；若回答不知道或回答不理想，则教师将准备的故事与学生分享。）

（米勒是意大利著名的数学家，但数学家也有解决不了问题的时候，于是1471年他向诺德尔教授提出一个他百思不得其解的问题，这个问题就是今天著名的米勒问题，也即我们要探究的问题。）

3.数形结合，简化数学模型（5分钟）

师：在地球表面什么部位，一根悬杆呈现最长（即可见角最大）？

教师用PPT打出问题，让学生作出图形。教师巡视并从所画图形不同的学生中选2个较有代表性的学生2、3上黑板画，画好后点评图形并让学生2、3用数学语言表述问题。学生作出的图形可能如下：

■

数学语言表述：在已知直线l的同侧有P、Q两点，在直线l上求一点M，使得M对P、Q两点的张角θ最大，即∠PMQ最大。

■

（解释：地球半径很大，相对于杆来说，地球表面可看成平面，就像平时走路时看到的地面是平的，所以在这个问题中我们可把地球表面看成一条直线。）

4.启发提问，激发探究兴趣（2分钟）

师：这个问题在当时是一道难题，但在今天，我们的知识足以解决它，那我们可以帮助米勒解决这个问题吗？（提示考虑切割线定理。）

5.合作交流，引导深入探究（10分钟）

师：问题有没有说那根杆与地球表面呈什么角？既然没说，那我们该怎么办？（让学生前后4人一组。）

可能学生会回答：分类讨论。

师：分类讨论一般是先讨论简单的，再往一般、困难的方向讨论，那米勒问题是否也这样呢？（观察讨论过程，若学生思考不全，可加以点拨，指导学生从简单入手，再深入探究。）

6.分享成果，小组互相补充（5分钟）

师：有没有小组想分享你们的结果？其它小组有没有不同意见或补充的？

7.意犹未尽，继续尝试探究（5分钟）

师：大家很快解决了PQ与直线l平行的情况，但大家还没完全解决问题，PQ与直线l不平行的时候大家分成垂直与不垂直两种情况，但是大家好像不会解答，是吗？我们之前学过圆的性质，知道圆周角比圆外角大，那可否借助圆的这个性质，把∠PMQ放在圆里成为圆周角呢？如果可以，那这个圆周角何时最大呢？我们又怎么确定点M的位置呢？（因势利导，帮助学生用切割线定理解决问题。）

8.画龙点睛，写出解答过程（5分钟）

师：同学们讨论得怎样？（请学生4回答。）你能否上黑板写出完整解答过程呢？（最后教师给出具体解答过程，让学生检查校对。）

9.牛刀小试，巩固提高能力（6分钟）

师：同学们这么厉害，居然把米勒问题完整地解答出来了，要是我们穿越回去，肯定都是数学家，不过现在各位数学家们还要穿越回来，解决我们最开始的问题：一张1.4米高的名画挂在墙上，它的底边高于看画人的眼1.8米。问看画人应站在距墙多远处，看得最清晰？

（学生在练习时教师可说明：解决米勒问题后，大家应该知道最开始老师是怎么确定看画的位置的了吧？以后我们再遇到求最大角或类似的问题，相信大家都能解决了！）

师：那大家就继续帮帮我们的足球健将解决一下射门的问题，大家来看看：如图3，足球场长100米，宽60米，球门长7.2米，有一位左边锋欲射门，应在边AB的何处才使射门角度最大？

■

10.小结升华，完善知识系统（2分钟）

师：同学们，今天我们解决了米勒问题，那大家能否回顾下我们是用什么办法解决的呢？解决了米勒问题后我们可以干什么？

（教师回顾整个课堂环节，学生回答理想时教师一起回答，学生回答不理想时，教师可引导学生回答。）

一、教学内容

米勒问题的解答及其应用。

二、教学目标

1.知识与技能

（1）在具体情境中掌握米勒问题的意义，能用它们解决现实问题，体会米勒问题的本质；（2）掌握几种思想：数形结合、将实际问题转化为数学问题、建模思想、分类讨论，能解决实际问题；（3）养成自主探究和合作交流的习惯。

2.过程与方法

（1）经历寻找实际问题中的数学元素，把问题符号化处理，建立数学模型，体会将实际问题转化为数学问题和利用数学知识解决现实问题的一般思路，构建数形结合的数学素养；（2）通过分类寻找解题策略，提高发现问题、提出问题、综合多种知识解决实际问题的能力。

3.情感、态度与价值观

（1）激发学习积极性；（2）培养思维灵活性，体会数学的实用性，体验数学中数与形的有机联系，提高应用数学的意识；（3）认识到数学存在于日常生活中，加深分类讨论与数形结合思想。

三、教学重难点

重点：米勒问题的本质及解决实际问题的一般思路。

难点：从实际问题中抽象出数学问题，综合已学知识解决问题。

四、教学方法

探究、讨论、交流和演练。

五、教学过程设计

1.创设情境，引起认知冲突（2分钟）

师：大家知道欣赏挂在墙上的画时，一般要往前走几步再往后退几步，一直挪到我们觉得把画看得最清楚的地方。如果老师告诉大家，我不用挪来挪去就确切地知道该站在哪，大家信吗？

2.巧妙过渡，指出探究目标（3分钟）

师：大家想不想知道我是怎么做到的？要解决这个问题，首先我们得探讨另一个有趣的问题。大家知道历史上著名的数学家米勒吗？（若学生回答知道，则请知道的学生1和大家分享；若回答不知道或回答不理想，则教师将准备的故事与学生分享。）

（米勒是意大利著名的数学家，但数学家也有解决不了问题的时候，于是1471年他向诺德尔教授提出一个他百思不得其解的问题，这个问题就是今天著名的米勒问题，也即我们要探究的问题。）

3.数形结合，简化数学模型（5分钟）

师：在地球表面什么部位，一根悬杆呈现最长（即可见角最大）？

教师用PPT打出问题，让学生作出图形。教师巡视并从所画图形不同的学生中选2个较有代表性的学生2、3上黑板画，画好后点评图形并让学生2、3用数学语言表述问题。学生作出的图形可能如下：

■

数学语言表述：在已知直线l的同侧有P、Q两点，在直线l上求一点M，使得M对P、Q两点的张角θ最大，即∠PMQ最大。

■

（解释：地球半径很大，相对于杆来说，地球表面可看成平面，就像平时走路时看到的地面是平的，所以在这个问题中我们可把地球表面看成一条直线。）

4.启发提问，激发探究兴趣（2分钟）

师：这个问题在当时是一道难题，但在今天，我们的知识足以解决它，那我们可以帮助米勒解决这个问题吗？（提示考虑切割线定理。）

5.合作交流，引导深入探究（10分钟）

师：问题有没有说那根杆与地球表面呈什么角？既然没说，那我们该怎么办？（让学生前后4人一组。）

可能学生会回答：分类讨论。

师：分类讨论一般是先讨论简单的，再往一般、困难的方向讨论，那米勒问题是否也这样呢？（观察讨论过程，若学生思考不全，可加以点拨，指导学生从简单入手，再深入探究。）

6.分享成果，小组互相补充（5分钟）

师：有没有小组想分享你们的结果？其它小组有没有不同意见或补充的？

7.意犹未尽，继续尝试探究（5分钟）

师：大家很快解决了PQ与直线l平行的情况，但大家还没完全解决问题，PQ与直线l不平行的时候大家分成垂直与不垂直两种情况，但是大家好像不会解答，是吗？我们之前学过圆的性质，知道圆周角比圆外角大，那可否借助圆的这个性质，把∠PMQ放在圆里成为圆周角呢？如果可以，那这个圆周角何时最大呢？我们又怎么确定点M的位置呢？（因势利导，帮助学生用切割线定理解决问题。）

8.画龙点睛，写出解答过程（5分钟）

师：同学们讨论得怎样？（请学生4回答。）你能否上黑板写出完整解答过程呢？（最后教师给出具体解答过程，让学生检查校对。）

9.牛刀小试，巩固提高能力（6分钟）

师：同学们这么厉害，居然把米勒问题完整地解答出来了，要是我们穿越回去，肯定都是数学家，不过现在各位数学家们还要穿越回来，解决我们最开始的问题：一张1.4米高的名画挂在墙上，它的底边高于看画人的眼1.8米。问看画人应站在距墙多远处，看得最清晰？

（学生在练习时教师可说明：解决米勒问题后，大家应该知道最开始老师是怎么确定看画的位置的了吧？以后我们再遇到求最大角或类似的问题，相信大家都能解决了！）

师：那大家就继续帮帮我们的足球健将解决一下射门的问题，大家来看看：如图3，足球场长100米，宽60米，球门长7.2米，有一位左边锋欲射门，应在边AB的何处才使射门角度最大？

■

10.小结升华，完善知识系统（2分钟）

师：同学们，今天我们解决了米勒问题，那大家能否回顾下我们是用什么办法解决的呢？解决了米勒问题后我们可以干什么？

（教师回顾整个课堂环节，学生回答理想时教师一起回答，学生回答不理想时，教师可引导学生回答。）