基于马尔科夫链的食糖价格趋势预测模型

摘 要：以马尔科夫链为基础，利用区间估计建立食糖价格变化趋势的数学模型，通过引入0、变异系数、标准差及方差作为临界值，确定价格落在各区间的概率，缩小了预测范围，预测结果与实际情况相符。结论为马尔科夫链应用的扩展提供一定的理论依据，并为食糖价格趋势的预测提供了参考。

关键词：马尔科夫链；食糖价格；转移概率

中图分类号：F224；F323.7 文献标志码：A 文章编号：1673-291X（2014）29-0140-03

食糖是全球基础农产品之一，在国际农产品贸易中，食糖是15 种农副产品中价格波动程度最大的商品，一直备受各国政府关注[1]。作为全球最大的食糖生产、消费国之一，中国的食糖产业仍处于弱势地位。我国的食糖产业主要分布在经济欠发达地区，是一些地方财政收入的主要来源，产业的发展与千万糖农的生计息息相关。以中国糖都广西为例，从事糖科蔗种植的总计近2 000万农民、56个县（市、区），其中21个县的一半财政收入源自糖业税收，全区49个贫困县中有36个贫困县的农民依靠糖科蔗生产来解决生计问题。食糖是城乡居民的生活必需品，其价格弹性很小，产量的小幅波动就会引起食糖价格的剧烈变化。近几年，我国食糖需求量快速增长，而食糖生产波动呈周期性，导致食糖价格极其不稳定，对糖农和制糖企业的发展造成不利的影响[2]。因此，在世界经济疲软和农副产品价格暴跌的大环境下，如何确保食糖市场的稳定是当前亟须解决的问题。本文运用马尔科夫预测法，通过对食糖价格不同状态之间转移概率的研究，运用转移概率矩阵技术预测食糖价格波动及变化趋势，对我国食糖产业的稳定发展具有一定的现实意义。

一、理论概述与模型的建立

（一）马尔科夫链的定义

马尔科夫链是一种随机序列，它具有离散性和无后效性[3]。假设状态编号为1，2，…，N，当随机序列在tn时刻所处的状态为已知时，其在另一时刻时所处状态的概率特性与序列在tm时刻之前的状态无关，而只与其在tm时刻所处的状态i有关。对于随机序列{Xn，n≥0}，若对任意正整数m>2，0≤t1

如果序列满足以上条件，则可用马尔科夫链研究其状态变化过程，对未来状态转移的各种可能性进行预测[4]。

（二）马尔科夫链预测模型的建立

记xn为时刻tn时预测对象所处的状态，用下式表示在tn时刻预测对象处于第i个状态上，有：

在下一时刻tn+1转变成第j个状态的可能性，又称为状态i经一步转移到状态j的概率，即一步转移概率。将pij按照顺序排列构成一个矩阵，即转移概率矩阵

类似地可导出多步转移概率。若预测对象在t0时刻处于状态i，在tn时刻处于状态j，这种转移的可能性的数量指标即n步转移概率，可理解为预测对象从状态i经过n步转移至状态j的概率，记为

则

为n步转移概率矩阵。对于n步转移概率有

以上公式为切普曼·柯尔莫哥洛夫方程式，即马尔科夫预测模型。转移概率矩阵具有如下性质：

（1），即每个元素都是非负的；

（2），即矩阵每行的元素之和都等于1。

Xn表示某一食糖价格第期的价格，记，本文设定状态空间为E，且E={-1，0，1}，分别代表降、平、升三种状态。则价格在状态空间内的变化一共有9种可能，分别为-1→-1（持续下降），-1→0（先降后平），-1→1（先降后升），0→-1（先平后降），0→0（持续平稳），0→1（先平后升），-1→1（先升后降），1→0（先升后平），1→1（持续上升）。

为了更好地观测食糖价格的状态变化，本文引入各个状态之间的临界值，用变量来表示。鉴于不同的食糖价格的变化情况各异，在进行区间估计时，不能以单一的常数作为临界值，因此将0、σ（变异系数）、σ（标准差）、σ2（方差）分别作为临界值Z来划分区间[5]。不同临界值下的区间划分见表1。

（三）马氏检验

对于随机序列{Xn，n≥0}，以Fij表示从状态i经过一步转移到状态j的次数，Sj表示一步转移概率矩阵中各列之和除以各行各列的总和所得的值，则

同时，

当n的取值较大时，服从自由度为（n-1）2的χ2分布。选定置信度α，通过查表得到χ2

α（（n-1）2）的值，当χ2>χ2

α（（n-1）2）时，可认为{Xn，n≥0}具有马氏性，否则认为该序列不是马尔科夫链。

二、食糖价格未来变化趋势的预测

以原糖价格为例，连续观察2013年6月24日至2013年10月10日起连续70期的原糖价格波动情况，利用马尔科夫链预测模型预测第71期的价格变化趋势，原始数据见表2。

（一）马氏检验

将以上70期的原始数据导入SPSS17.0进行计算，得到统计量χ2=11.600。给定显著水平α=0.05，经过查表可知分为点的值χ2（4）=9.488，由于χ2>χ2（4），因此原始数据具有马氏性，可利用马尔科夫链进行预测。

（二）临界值的确定

为了确定原糖价格波动幅度的概率，需要进行区间估计。分别采用0、σ、σ2σ作为临界值Z来进行区间估计。据此，将连续70期的原糖价格样本进行统计处理，在SPSS17.0求出样本标准差σ=0.55，样本方差σ2=0.30，变异系数σ=0.03。分别将0、σ、σ2σ赋值给临界值Z，以此来进行区间估计。

（三）价格变化的转移概率矩阵

对表2中的样本进行分析，依据已建立的模型来确定每期价格所处的状态，得到70期价格状态转移情况。分别计算出-1→-1、-1→0、-1→1、0→-1、0→0、0→1、1→-1、1→0与1→1 这9种情况发生的次数，构造一步转移概率矩阵P；以第70期作为初始状态，算出初始状态向量p（0）。P和p（0）皆因临界值Z取值的变化而有所不同，经计算，分别得出不同的P与p（0）：

当Z=0时，；

当X=σ时，；

当Z=σ2时，；

当Z=σ时，。

对应的初始状态向量P0乘以一次转移概率矩阵P即得到预测的概率。则第一次转移的概率矩阵为

P（1）=p（0）×P

经计算得出第一次转移的预测概率，见表3。

（四）预测结果分析

当临界值Z=0时，初始状态为1，转移概率矩阵为（0.2188，

0.1563，0.6250），说明新一期的原糖价格先升后降的概率为0.2188，先升后平的概率为0.1563，持续上升的概率为0.625。结果说明原糖价格在第71期有很大的可能会上涨。当临界值Z=0.55时，初始状态为0，此时的转移概率矩阵为（0，1，0），说明原糖价格变化区间在[-0.55，0.55）的概率为1。说明第71期原糖价格上升幅度不会超过0.55。当临界值Z=0.30时，

初始状态为0，此时的转移概率矩阵为（0.0313，0.9375，

0.0313），说明原糖价格变化范围在（-∞，-0.30）及[0.30，∞）的概率都为0.0313，而变化范围在[-0.30，0.30）的概率为0.9375。结果说明第71期原糖价格上升幅度有极大的可能不会超过0.3。当临界值Z=0.03时，初始状态为1，转移概率矩阵为（0.2000，

0.3333，0.4667），说明原糖价格变化范围在（-∞，-0.30）的概率是0.2，价格变化范围在[-0.30，0.30）的概率是0.3333，价格变化范围在[0.30，∞）的概率为0.4667。结果说明，第71期的原糖价格的上升幅度有较大的可能会大于或等于0.03。

结合以上分析，第71期原糖价格将呈现上升的状态，上升的幅度在[-0.30，0.30）区间之内。而事实上第71期，即2013年10月10日的原糖价格为18.88美分/磅，较上期的上升幅度为0.2，预测结果与实际情况吻合。

三、结论

本文利用马尔科夫链，在连续观察原糖价格的基础上，运用动态数学模型预测原糖价格未来的波动状况，并通过引入临界值，使用区间估计确定价格落在各区间的概率，缩小预测范围，预测结果与实际情况一致。

虽然马尔科夫链可以在一定概率程度上反映食糖价格的走势，但由于食糖市场存在着大量的不确定因素，如宏观经济因素、市场因素、产业因素等，这些因素可能导致预测结果难以形成大概率事件，预测出的某期价格波动可能会出现偏差，因此概率仅仅作为决策的参考。此外，转移概率矩阵并非长期不变的，使用大样本并非提高预测结果的准确率的途径，适当的样本数也是预测成功的关键。

参考文献：

[1] 魏振祥，刘国良.入世后中美食糖价格联动效应动态变化的实证研究——基于2002—2012年中美食糖价格数据[J].北京工商大

学学报：社会科学版，2012，27（4）：117-122.

[2] 张谐韵.我国食糖价格波动趋势及预测——基于GARCH模型的分析[J].价格理论与实践，2012，（10）：52-53.

[3] 夏莉，黄正洪.马尔可夫链在股票价格预测中的应用[J].商业研究，2003，（10）：62-65.

[4] 冯文权.经济预测与决策技术[M].成都：电子科技大学出版社，1989.

[5] 蒋蓉华，李升泽.用Delphi实现基于马氏链的股票走势分析技术的研究[J].商业研究，2008，（3）：207-211.

[责任编辑 王 佳]

α（（n-1）2）的值，当χ2>χ2

α（（n-1）2）时，可认为{Xn，n≥0}具有马氏性，否则认为该序列不是马尔科夫链。

二、食糖价格未来变化趋势的预测

以原糖价格为例，连续观察2013年6月24日至2013年10月10日起连续70期的原糖价格波动情况，利用马尔科夫链预测模型预测第71期的价格变化趋势，原始数据见表2。

（一）马氏检验

将以上70期的原始数据导入SPSS17.0进行计算，得到统计量χ2=11.600。给定显著水平α=0.05，经过查表可知分为点的值χ2（4）=9.488，由于χ2>χ2（4），因此原始数据具有马氏性，可利用马尔科夫链进行预测。

（二）临界值的确定

为了确定原糖价格波动幅度的概率，需要进行区间估计。分别采用0、σ、σ2σ作为临界值Z来进行区间估计。据此，将连续70期的原糖价格样本进行统计处理，在SPSS17.0求出样本标准差σ=0.55，样本方差σ2=0.30，变异系数σ=0.03。分别将0、σ、σ2σ赋值给临界值Z，以此来进行区间估计。

（三）价格变化的转移概率矩阵

对表2中的样本进行分析，依据已建立的模型来确定每期价格所处的状态，得到70期价格状态转移情况。分别计算出-1→-1、-1→0、-1→1、0→-1、0→0、0→1、1→-1、1→0与1→1 这9种情况发生的次数，构造一步转移概率矩阵P；以第70期作为初始状态，算出初始状态向量p（0）。P和p（0）皆因临界值Z取值的变化而有所不同，经计算，分别得出不同的P与p（0）：

当Z=0时，；

当X=σ时，；

当Z=σ2时，；

当Z=σ时，。

对应的初始状态向量P0乘以一次转移概率矩阵P即得到预测的概率。则第一次转移的概率矩阵为

P（1）=p（0）×P

经计算得出第一次转移的预测概率，见表3。

（四）预测结果分析

当临界值Z=0时，初始状态为1，转移概率矩阵为（0.2188，

0.1563，0.6250），说明新一期的原糖价格先升后降的概率为0.2188，先升后平的概率为0.1563，持续上升的概率为0.625。结果说明原糖价格在第71期有很大的可能会上涨。当临界值Z=0.55时，初始状态为0，此时的转移概率矩阵为（0，1，0），说明原糖价格变化区间在[-0.55，0.55）的概率为1。说明第71期原糖价格上升幅度不会超过0.55。当临界值Z=0.30时，

初始状态为0，此时的转移概率矩阵为（0.0313，0.9375，

0.0313），说明原糖价格变化范围在（-∞，-0.30）及[0.30，∞）的概率都为0.0313，而变化范围在[-0.30，0.30）的概率为0.9375。结果说明第71期原糖价格上升幅度有极大的可能不会超过0.3。当临界值Z=0.03时，初始状态为1，转移概率矩阵为（0.2000，

0.3333，0.4667），说明原糖价格变化范围在（-∞，-0.30）的概率是0.2，价格变化范围在[-0.30，0.30）的概率是0.3333，价格变化范围在[0.30，∞）的概率为0.4667。结果说明，第71期的原糖价格的上升幅度有较大的可能会大于或等于0.03。

结合以上分析，第71期原糖价格将呈现上升的状态，上升的幅度在[-0.30，0.30）区间之内。而事实上第71期，即2013年10月10日的原糖价格为18.88美分/磅，较上期的上升幅度为0.2，预测结果与实际情况吻合。

三、结论

本文利用马尔科夫链，在连续观察原糖价格的基础上，运用动态数学模型预测原糖价格未来的波动状况，并通过引入临界值，使用区间估计确定价格落在各区间的概率，缩小预测范围，预测结果与实际情况一致。

虽然马尔科夫链可以在一定概率程度上反映食糖价格的走势，但由于食糖市场存在着大量的不确定因素，如宏观经济因素、市场因素、产业因素等，这些因素可能导致预测结果难以形成大概率事件，预测出的某期价格波动可能会出现偏差，因此概率仅仅作为决策的参考。此外，转移概率矩阵并非长期不变的，使用大样本并非提高预测结果的准确率的途径，适当的样本数也是预测成功的关键。

参考文献：

[1] 魏振祥，刘国良.入世后中美食糖价格联动效应动态变化的实证研究——基于2002—2012年中美食糖价格数据[J].北京工商大

学学报：社会科学版，2012，27（4）：117-122.

[2] 张谐韵.我国食糖价格波动趋势及预测——基于GARCH模型的分析[J].价格理论与实践，2012，（10）：52-53.

[3] 夏莉，黄正洪.马尔可夫链在股票价格预测中的应用[J].商业研究，2003，（10）：62-65.

[4] 冯文权.经济预测与决策技术[M].成都：电子科技大学出版社，1989.

[5] 蒋蓉华，李升泽.用Delphi实现基于马氏链的股票走势分析技术的研究[J].商业研究，2008，（3）：207-211.

[责任编辑 王 佳]

α（（n-1）2）的值，当χ2>χ2

α（（n-1）2）时，可认为{Xn，n≥0}具有马氏性，否则认为该序列不是马尔科夫链。

二、食糖价格未来变化趋势的预测

以原糖价格为例，连续观察2013年6月24日至2013年10月10日起连续70期的原糖价格波动情况，利用马尔科夫链预测模型预测第71期的价格变化趋势，原始数据见表2。

（一）马氏检验

将以上70期的原始数据导入SPSS17.0进行计算，得到统计量χ2=11.600。给定显著水平α=0.05，经过查表可知分为点的值χ2（4）=9.488，由于χ2>χ2（4），因此原始数据具有马氏性，可利用马尔科夫链进行预测。

（二）临界值的确定

为了确定原糖价格波动幅度的概率，需要进行区间估计。分别采用0、σ、σ2σ作为临界值Z来进行区间估计。据此，将连续70期的原糖价格样本进行统计处理，在SPSS17.0求出样本标准差σ=0.55，样本方差σ2=0.30，变异系数σ=0.03。分别将0、σ、σ2σ赋值给临界值Z，以此来进行区间估计。

（三）价格变化的转移概率矩阵

对表2中的样本进行分析，依据已建立的模型来确定每期价格所处的状态，得到70期价格状态转移情况。分别计算出-1→-1、-1→0、-1→1、0→-1、0→0、0→1、1→-1、1→0与1→1 这9种情况发生的次数，构造一步转移概率矩阵P；以第70期作为初始状态，算出初始状态向量p（0）。P和p（0）皆因临界值Z取值的变化而有所不同，经计算，分别得出不同的P与p（0）：

当Z=0时，；

当X=σ时，；

当Z=σ2时，；

当Z=σ时，。

对应的初始状态向量P0乘以一次转移概率矩阵P即得到预测的概率。则第一次转移的概率矩阵为

P（1）=p（0）×P

经计算得出第一次转移的预测概率，见表3。

（四）预测结果分析

当临界值Z=0时，初始状态为1，转移概率矩阵为（0.2188，

0.1563，0.6250），说明新一期的原糖价格先升后降的概率为0.2188，先升后平的概率为0.1563，持续上升的概率为0.625。结果说明原糖价格在第71期有很大的可能会上涨。当临界值Z=0.55时，初始状态为0，此时的转移概率矩阵为（0，1，0），说明原糖价格变化区间在[-0.55，0.55）的概率为1。说明第71期原糖价格上升幅度不会超过0.55。当临界值Z=0.30时，

初始状态为0，此时的转移概率矩阵为（0.0313，0.9375，

0.0313），说明原糖价格变化范围在（-∞，-0.30）及[0.30，∞）的概率都为0.0313，而变化范围在[-0.30，0.30）的概率为0.9375。结果说明第71期原糖价格上升幅度有极大的可能不会超过0.3。当临界值Z=0.03时，初始状态为1，转移概率矩阵为（0.2000，

0.3333，0.4667），说明原糖价格变化范围在（-∞，-0.30）的概率是0.2，价格变化范围在[-0.30，0.30）的概率是0.3333，价格变化范围在[0.30，∞）的概率为0.4667。结果说明，第71期的原糖价格的上升幅度有较大的可能会大于或等于0.03。

结合以上分析，第71期原糖价格将呈现上升的状态，上升的幅度在[-0.30，0.30）区间之内。而事实上第71期，即2013年10月10日的原糖价格为18.88美分/磅，较上期的上升幅度为0.2，预测结果与实际情况吻合。

三、结论

本文利用马尔科夫链，在连续观察原糖价格的基础上，运用动态数学模型预测原糖价格未来的波动状况，并通过引入临界值，使用区间估计确定价格落在各区间的概率，缩小预测范围，预测结果与实际情况一致。

虽然马尔科夫链可以在一定概率程度上反映食糖价格的走势，但由于食糖市场存在着大量的不确定因素，如宏观经济因素、市场因素、产业因素等，这些因素可能导致预测结果难以形成大概率事件，预测出的某期价格波动可能会出现偏差，因此概率仅仅作为决策的参考。此外，转移概率矩阵并非长期不变的，使用大样本并非提高预测结果的准确率的途径，适当的样本数也是预测成功的关键。

参考文献：

[1] 魏振祥，刘国良.入世后中美食糖价格联动效应动态变化的实证研究——基于2002—2012年中美食糖价格数据[J].北京工商大

学学报：社会科学版，2012，27（4）：117-122.

[2] 张谐韵.我国食糖价格波动趋势及预测——基于GARCH模型的分析[J].价格理论与实践，2012，（10）：52-53.

[3] 夏莉，黄正洪.马尔可夫链在股票价格预测中的应用[J].商业研究，2003，（10）：62-65.

[4] 冯文权.经济预测与决策技术[M].成都：电子科技大学出版社，1989.

[5] 蒋蓉华，李升泽.用Delphi实现基于马氏链的股票走势分析技术的研究[J].商业研究，2008，（3）：207-211.

[责任编辑 王 佳]