例析函数问题的两种解题方法和技巧

吕木火

在解决数函数问题时，通过对问题的已知条件和结论作深入恰当的分析，利用函数性质或利用赋值法（特殊值法）、代换法、变形法去构建函数模型，筑起解决问题的桥梁，可以使得问题简明快捷地得以解决.

一、函数性质解题法

函数的性质是研究函数问题的核心，一定要注意：①对性质的理解；②对性质的灵活运用；③特别要注意函数的周期性和函数图象的对称性.

函数的周期性：f（x+a）=f（x）说明函数f（x）的周期T=a（a≠0）.若f（x+a）=-f（x），则f（x）的周期T=2a；若f（x+a）=1f（x），则f（x）的周期T=2a；

若f（x+a）=-1f（x），则f（x）的周期T=2a；若f（x+a）=f（x+b）（a≠b），则f（x）的周期T=|a-b|.

函数的对称性：f（a+x）=f（a-x）f（2a-x）=f（x）f（2a+x）=f（-x），说明函数f（x）的图象关于直线x=a对称；f（a+x）=-f（a-x）f（2a-x）=-f（x）f（2a+x）=-f（-x），说明函数f（x）的图象关于点（a，0）中心对称；f（a+x）=-f（b-x），说明函数f（x）的图象关于点（a+b2，0）中心对称；f（a+x）=2b-f（a-x），说明函数f（x）的图象关于点（a，b）中心对称.

函数性质的模型特征还有一些，不再列举，对于函数性质的题目，注意向模型特征转化.

例1设函数f（x）对任意x∈R都有f（x+3）=-1f（x），且x∈[1，3]时，f（x）=2x，则f（2012）= .

解析f（x+3）=-1f（x）T=6，∵2012=335×6+2，∴f（2012）=f（335×6+2）=f（2）=2×2=4.

答案：4

例2若f（x）的图象关于点（-34，0）对称，且满足f（x）=-f（x+32），f（-1）=1，f（0）=-2，则f（1）+f（2）+…+f（2011）= .

解析因为f（x）的图象关于点（-34，0）对称，∴f（-34+x）=-f（-34-x），可以有f（-x）=-f（x-32），从f（x）=-f（x+32），知f（-x）=-f（-x+32），∴f（x-32）=f（-x+32）=f[-（x-32）]，∴f（x）为偶函数.又从f（x）=-f（x+32），知f（x）的周期为3，f（1）+f（2）+f（3）=0，f（1）+f（2）+…+f（2011）=670×0+1=1.

答案：1

二、抽象函数模型解题法

在我们遇到的函数问题中，给出函数的若干性质，但不给函数的具体表达式，去研究函数另外一些性质的问题.尽管课本例题较少，但高考中仍有大量出现，这类问题我们称为抽象型函数问题，解答时有一定难度，对于这一类问题的模型思想就是认真审题，利用赋值法（特殊值法）、代换法、变形法去构建函数模型，再根据所给的条件求解，有时通过赋值法得到一些结果，对这些结果分析、归纳寻找规律，猜想结果求解.

例3设函数f（x）（x∈R）为奇函数，f（1）=12，f（x+2）=f（x）+f（2），则f（5）= .

解析我们可以根据条件变形处理：

f（1）=f（-1+2）=f（-1）+f（2）=-f（1）+f（2），∴f（2）=2f（1）=1.

f（5）=f（3+2）=f（3）+f（2）=f（1+2）+f（2）

=f（1）+2f（2）=52 .

答案：52

点评本题也可使用构建函数的办法：根据所给条件设f（x）=12x，∴f（5）=52.

例4已知函数g（x）≠0，它满足：对任意的x，y∈R， 都有g（x+y）=g（x）g（y），且当x>0时，g（x）>1，（1）求g（0）的值；（2）求证：g（x-y）=g（x）g（y）；（3）判断g（x）的单调性，并证明.

解析根据所给条件，构建函数模型，g（x）=ax，又由于x>0时，g（x）>1知a>1，故猜想g（0）=1，g（x）为单调递增函数，但由于此题为解答题，不能仅凭猜想求解，应有严谨解答过程.

答案：（1）解：设x>0且令y=0，

则g（x+0）=g（x）g（0），即g（x）=g（x）g（0），又g（x）≠0，∴g（0）=1.

（2）证明：g（x）=g（x-y+y）=g（x-y）g（y），又g（y）≠0，∴g（x）g（y）=g（x-y）.

（3）解任取x1，x2∈R且x10时，g（x）>1”得g（x2）g（x1）>1 ①.又∵g（x1）=g（x12+x12）=g（x12）g（x12）=[g（x12）]2≥0，而g（x）≠0，∴[g（x12）]2>0，∴g（x1）>0.由①得g（x2）>g（x1），故g（x）是R上的单调递增函数.

注意：①从g（x2）g（x1）>1不能说g（x2）>g（x1），必须先证明g（x1）>0才可以；

②不能用赋值法解（证）解答题，要注意问题的一般性.

在解决数函数问题时，通过对问题的已知条件和结论作深入恰当的分析，利用函数性质或利用赋值法（特殊值法）、代换法、变形法去构建函数模型，筑起解决问题的桥梁，可以使得问题简明快捷地得以解决.

一、函数性质解题法

函数的性质是研究函数问题的核心，一定要注意：①对性质的理解；②对性质的灵活运用；③特别要注意函数的周期性和函数图象的对称性.

函数的周期性：f（x+a）=f（x）说明函数f（x）的周期T=a（a≠0）.若f（x+a）=-f（x），则f（x）的周期T=2a；若f（x+a）=1f（x），则f（x）的周期T=2a；

若f（x+a）=-1f（x），则f（x）的周期T=2a；若f（x+a）=f（x+b）（a≠b），则f（x）的周期T=|a-b|.

函数的对称性：f（a+x）=f（a-x）f（2a-x）=f（x）f（2a+x）=f（-x），说明函数f（x）的图象关于直线x=a对称；f（a+x）=-f（a-x）f（2a-x）=-f（x）f（2a+x）=-f（-x），说明函数f（x）的图象关于点（a，0）中心对称；f（a+x）=-f（b-x），说明函数f（x）的图象关于点（a+b2，0）中心对称；f（a+x）=2b-f（a-x），说明函数f（x）的图象关于点（a，b）中心对称.

函数性质的模型特征还有一些，不再列举，对于函数性质的题目，注意向模型特征转化.

例1设函数f（x）对任意x∈R都有f（x+3）=-1f（x），且x∈[1，3]时，f（x）=2x，则f（2012）= .

解析f（x+3）=-1f（x）T=6，∵2012=335×6+2，∴f（2012）=f（335×6+2）=f（2）=2×2=4.

答案：4

例2若f（x）的图象关于点（-34，0）对称，且满足f（x）=-f（x+32），f（-1）=1，f（0）=-2，则f（1）+f（2）+…+f（2011）= .

解析因为f（x）的图象关于点（-34，0）对称，∴f（-34+x）=-f（-34-x），可以有f（-x）=-f（x-32），从f（x）=-f（x+32），知f（-x）=-f（-x+32），∴f（x-32）=f（-x+32）=f[-（x-32）]，∴f（x）为偶函数.又从f（x）=-f（x+32），知f（x）的周期为3，f（1）+f（2）+f（3）=0，f（1）+f（2）+…+f（2011）=670×0+1=1.

答案：1

二、抽象函数模型解题法

在我们遇到的函数问题中，给出函数的若干性质，但不给函数的具体表达式，去研究函数另外一些性质的问题.尽管课本例题较少，但高考中仍有大量出现，这类问题我们称为抽象型函数问题，解答时有一定难度，对于这一类问题的模型思想就是认真审题，利用赋值法（特殊值法）、代换法、变形法去构建函数模型，再根据所给的条件求解，有时通过赋值法得到一些结果，对这些结果分析、归纳寻找规律，猜想结果求解.

例3设函数f（x）（x∈R）为奇函数，f（1）=12，f（x+2）=f（x）+f（2），则f（5）= .

解析我们可以根据条件变形处理：

f（1）=f（-1+2）=f（-1）+f（2）=-f（1）+f（2），∴f（2）=2f（1）=1.

f（5）=f（3+2）=f（3）+f（2）=f（1+2）+f（2）

=f（1）+2f（2）=52 .

答案：52

点评本题也可使用构建函数的办法：根据所给条件设f（x）=12x，∴f（5）=52.

例4已知函数g（x）≠0，它满足：对任意的x，y∈R， 都有g（x+y）=g（x）g（y），且当x>0时，g（x）>1，（1）求g（0）的值；（2）求证：g（x-y）=g（x）g（y）；（3）判断g（x）的单调性，并证明.

解析根据所给条件，构建函数模型，g（x）=ax，又由于x>0时，g（x）>1知a>1，故猜想g（0）=1，g（x）为单调递增函数，但由于此题为解答题，不能仅凭猜想求解，应有严谨解答过程.

答案：（1）解：设x>0且令y=0，

则g（x+0）=g（x）g（0），即g（x）=g（x）g（0），又g（x）≠0，∴g（0）=1.

（2）证明：g（x）=g（x-y+y）=g（x-y）g（y），又g（y）≠0，∴g（x）g（y）=g（x-y）.

（3）解任取x1，x2∈R且x10时，g（x）>1”得g（x2）g（x1）>1 ①.又∵g（x1）=g（x12+x12）=g（x12）g（x12）=[g（x12）]2≥0，而g（x）≠0，∴[g（x12）]2>0，∴g（x1）>0.由①得g（x2）>g（x1），故g（x）是R上的单调递增函数.

注意：①从g（x2）g（x1）>1不能说g（x2）>g（x1），必须先证明g（x1）>0才可以；

②不能用赋值法解（证）解答题，要注意问题的一般性.

在解决数函数问题时，通过对问题的已知条件和结论作深入恰当的分析，利用函数性质或利用赋值法（特殊值法）、代换法、变形法去构建函数模型，筑起解决问题的桥梁，可以使得问题简明快捷地得以解决.

一、函数性质解题法

函数的性质是研究函数问题的核心，一定要注意：①对性质的理解；②对性质的灵活运用；③特别要注意函数的周期性和函数图象的对称性.

函数的周期性：f（x+a）=f（x）说明函数f（x）的周期T=a（a≠0）.若f（x+a）=-f（x），则f（x）的周期T=2a；若f（x+a）=1f（x），则f（x）的周期T=2a；

若f（x+a）=-1f（x），则f（x）的周期T=2a；若f（x+a）=f（x+b）（a≠b），则f（x）的周期T=|a-b|.

函数的对称性：f（a+x）=f（a-x）f（2a-x）=f（x）f（2a+x）=f（-x），说明函数f（x）的图象关于直线x=a对称；f（a+x）=-f（a-x）f（2a-x）=-f（x）f（2a+x）=-f（-x），说明函数f（x）的图象关于点（a，0）中心对称；f（a+x）=-f（b-x），说明函数f（x）的图象关于点（a+b2，0）中心对称；f（a+x）=2b-f（a-x），说明函数f（x）的图象关于点（a，b）中心对称.

函数性质的模型特征还有一些，不再列举，对于函数性质的题目，注意向模型特征转化.

例1设函数f（x）对任意x∈R都有f（x+3）=-1f（x），且x∈[1，3]时，f（x）=2x，则f（2012）= .

解析f（x+3）=-1f（x）T=6，∵2012=335×6+2，∴f（2012）=f（335×6+2）=f（2）=2×2=4.

答案：4

例2若f（x）的图象关于点（-34，0）对称，且满足f（x）=-f（x+32），f（-1）=1，f（0）=-2，则f（1）+f（2）+…+f（2011）= .

解析因为f（x）的图象关于点（-34，0）对称，∴f（-34+x）=-f（-34-x），可以有f（-x）=-f（x-32），从f（x）=-f（x+32），知f（-x）=-f（-x+32），∴f（x-32）=f（-x+32）=f[-（x-32）]，∴f（x）为偶函数.又从f（x）=-f（x+32），知f（x）的周期为3，f（1）+f（2）+f（3）=0，f（1）+f（2）+…+f（2011）=670×0+1=1.

答案：1

二、抽象函数模型解题法

在我们遇到的函数问题中，给出函数的若干性质，但不给函数的具体表达式，去研究函数另外一些性质的问题.尽管课本例题较少，但高考中仍有大量出现，这类问题我们称为抽象型函数问题，解答时有一定难度，对于这一类问题的模型思想就是认真审题，利用赋值法（特殊值法）、代换法、变形法去构建函数模型，再根据所给的条件求解，有时通过赋值法得到一些结果，对这些结果分析、归纳寻找规律，猜想结果求解.

例3设函数f（x）（x∈R）为奇函数，f（1）=12，f（x+2）=f（x）+f（2），则f（5）= .

解析我们可以根据条件变形处理：

f（1）=f（-1+2）=f（-1）+f（2）=-f（1）+f（2），∴f（2）=2f（1）=1.

f（5）=f（3+2）=f（3）+f（2）=f（1+2）+f（2）

=f（1）+2f（2）=52 .

答案：52

点评本题也可使用构建函数的办法：根据所给条件设f（x）=12x，∴f（5）=52.

例4已知函数g（x）≠0，它满足：对任意的x，y∈R， 都有g（x+y）=g（x）g（y），且当x>0时，g（x）>1，（1）求g（0）的值；（2）求证：g（x-y）=g（x）g（y）；（3）判断g（x）的单调性，并证明.

解析根据所给条件，构建函数模型，g（x）=ax，又由于x>0时，g（x）>1知a>1，故猜想g（0）=1，g（x）为单调递增函数，但由于此题为解答题，不能仅凭猜想求解，应有严谨解答过程.

答案：（1）解：设x>0且令y=0，

则g（x+0）=g（x）g（0），即g（x）=g（x）g（0），又g（x）≠0，∴g（0）=1.

（2）证明：g（x）=g（x-y+y）=g（x-y）g（y），又g（y）≠0，∴g（x）g（y）=g（x-y）.

（3）解任取x1，x2∈R且x10时，g（x）>1”得g（x2）g（x1）>1 ①.又∵g（x1）=g（x12+x12）=g（x12）g（x12）=[g（x12）]2≥0，而g（x）≠0，∴[g（x12）]2>0，∴g（x1）>0.由①得g（x2）>g（x1），故g（x）是R上的单调递增函数.

注意：①从g（x2）g（x1）>1不能说g（x2）>g（x1），必须先证明g（x1）>0才可以；

②不能用赋值法解（证）解答题，要注意问题的一般性.