类比推理在高中数学教学实践中的应用研究

幸垂燕

一、类比推理的概念及现实意义

类比推理是一种认知活动，它能够根据两个或两类对象之间的相似属性进行推理和判断，是人类认知的核心.它能够帮助人们形成新的概念，将已学过的知识和概念迁移到新的情境中，形成适合当下情景需要的理论概念、问题和解决问题的方式.在数学知识的学习中主要是依赖归纳和类比推理来得出结论、证明思路.目前我国很多高中生在归纳和类比推理能力方面还很欠缺，不能很好地根据前提条件预测结果，也不能很好地根据结果推出原因.在新一轮数学课改中，合情推理第一次作为专题内容——“推理与证明”进入高中新课程教材中（选修系列1-2和选修系列2-2）.对学生进行类比推理能力的培养，有助于提高学生创新能力的发展，适应当下国家发展对创新性人才的需求.因此，将推理能力融入到高中数学教学过程中就具有了十分重要的现实意义.

二、类比推理在高中数学教学中的具体应用

（一）数学概念形成过程中的应用

数学概念是数学知识体系的基础，是理论性的数学知识，需要学生理解并记忆.虽然数学概念并不是数学知识的全部，在教材中的分布也比较分散，但是它们之间也存在一定的相似性和内在联系.因此，教师应该积极地引入类比推理，在教学过程中，帮助学生掌握和区分不同概念，形成完整的数学理论知识体系.比如在二面角概念的教学中教师就可以引入角的概念类比推理出二面角的概念，如表1.

在高中数学等比数列相关知识的教学时，教师可以先带领学生复习等差数列的相关知识，然后将“差”和“比”的概念进行对比，帮助学生了解两者之间的区别，再鼓励学生将等差数列替换为等比数列，鼓励学生根据自己的理解给出等比数列的概念.在充分了解学生对等比数列的理解以后，再根据学生理解的不足和疑问，进行分析，给出科学的等比数列的概念，然后给学生足够的时间去思考这两类数列的联系与区别，明白“差”与“比”概念的区别，从而掌握等比数列的相关知识.在这个旧知识-类比-新知识的过程中，建立起学生类比推理的思维，实现类比推理能力的提高.

（二） 知识整合中的应用

数学知识中有很多概念系统，即一类概念中存在多个子概念，它们之间既相互联系又相互区别，这时教师就可以教运用类比推理来进行知识的归纳整合.比如在学习向量知识的时，教师就可以从共线向量、共面向量和空间向量这三个知识点入手，采用循序渐进的教学方法，先介绍共线向量的相关知识；再运用类比推理，帮助学生学习和掌握平面向量；最后再推及空间向量，在这个过程中尤其要注意三种向量之间的区别.在完成这样的类比过程之后，教师还要帮助学生进行共线向量、平面向量、空间向量三者之间的对比归纳异同和联系，整合大脑中有关向量的所有知识，形成一个较完整的向量知识体系.另外，在更大范围和更高层面的数学知识整合过程中，类比推理也能起到非常重要的作用，提高知识整合的效率.比如，在高中几何有关扇形面积公式学习之后，要注意总结多种空间几何体面积计算相关知识的复习和总结，比如圆柱、棱锥的表面积就是各个面的面积之和，圆柱就需要知道上下两个面的面积公式（S=πr2，r为圆的半径）以及圆周的面积计算公式（圆周面积为S=L·h，圆周长L=2πR，h为圆柱体高），圆柱面积就是两者之和.同上，棱锥就要知道底面积和周围各个面的面积.采用类比教学的方法带领学生复习棱柱、圆柱、圆锥、圆台、球体的表面积，将它们的计算公式进行归纳总结，加深学生的理解和联想记忆，用类比的方式强化对知识的整合.

（三） 提出问题中的应用

高中数学新课标要求学生不仅要掌握知识还要善于思考，在思考中发现自己所掌握的知识中存在的联系、问题和疑惑，这样学生就能向老师提出问题，帮助加深对知识的理解和内化程度.比如在集合概念的学习中，将子集和空集的概念都交给学生以后，让学生去思考集合、子集、空集三者之间的关系，然后组织学生进行讨论，有学生就会思考空集是不是集合的子集呢？当学生提出这样的问题的时候，教师就可以教学生运用类比推理解决疑惑了.同时，向学生提出有关生活中的集合概念，让学生进行思考解答，比如以学校为例，采用年级、班级、学生性别进行分类，分别找出这几个集合中的相关子集，这样才能够加深对知识点的区分和理解，帮助形成课堂与生活实际有机结合的完整知识体系.

（四）解决问题中的应用

在数学解题中教师通常会让学生总结题型和解题方法，以达到举一反三的目的，这就是类比推理在数学问题解决中的运用.类比推理不仅是概念到概念间的推理，也是解题思路和解题方法间的推理.比如在几何学习中，教师可以将对平面数学问题的解题思路展示给学生，并逐步将解题思路引入到空间问题的解决中，并在这个过程中不断地进行类比，帮助学生理解和形成空间问题解决的思路和方法.鼓励学生运用类比推理来解决高中数学问题，不仅可以突出问题的本质，帮助学生找到解决问题的方法和途径，还可以培养学生的发散思维和创造能力.

比如在学习圆锥体的体积时，教师在分析了圆柱体和圆锥体的关系后，再带领学生复习圆柱体体积运算公式：圆柱体体积=底面积×高（即V=S·h，S：圆柱体底面积；h：圆柱体高），由此引导学生分析得出圆锥体体积公式：V=1/3S·h，S：圆椎体底面积，h：圆锥体高.最后给出一个圆锥体的模型，要求学生根据已知数据求解该圆锥体的体积，并鼓励学生在现实生活中寻找圆锥体的事物，通过实际的测量圆的半径和圆锥体的高，运用所学公式进行体积计算，这样将学生的课堂学习与实际生活充分联系起来，提高学生解决实际问题的能力，增强数学学习的兴趣.

一、类比推理的概念及现实意义

类比推理是一种认知活动，它能够根据两个或两类对象之间的相似属性进行推理和判断，是人类认知的核心.它能够帮助人们形成新的概念，将已学过的知识和概念迁移到新的情境中，形成适合当下情景需要的理论概念、问题和解决问题的方式.在数学知识的学习中主要是依赖归纳和类比推理来得出结论、证明思路.目前我国很多高中生在归纳和类比推理能力方面还很欠缺，不能很好地根据前提条件预测结果，也不能很好地根据结果推出原因.在新一轮数学课改中，合情推理第一次作为专题内容——“推理与证明”进入高中新课程教材中（选修系列1-2和选修系列2-2）.对学生进行类比推理能力的培养，有助于提高学生创新能力的发展，适应当下国家发展对创新性人才的需求.因此，将推理能力融入到高中数学教学过程中就具有了十分重要的现实意义.

二、类比推理在高中数学教学中的具体应用

（一）数学概念形成过程中的应用

数学概念是数学知识体系的基础，是理论性的数学知识，需要学生理解并记忆.虽然数学概念并不是数学知识的全部，在教材中的分布也比较分散，但是它们之间也存在一定的相似性和内在联系.因此，教师应该积极地引入类比推理，在教学过程中，帮助学生掌握和区分不同概念，形成完整的数学理论知识体系.比如在二面角概念的教学中教师就可以引入角的概念类比推理出二面角的概念，如表1.

在高中数学等比数列相关知识的教学时，教师可以先带领学生复习等差数列的相关知识，然后将“差”和“比”的概念进行对比，帮助学生了解两者之间的区别，再鼓励学生将等差数列替换为等比数列，鼓励学生根据自己的理解给出等比数列的概念.在充分了解学生对等比数列的理解以后，再根据学生理解的不足和疑问，进行分析，给出科学的等比数列的概念，然后给学生足够的时间去思考这两类数列的联系与区别，明白“差”与“比”概念的区别，从而掌握等比数列的相关知识.在这个旧知识-类比-新知识的过程中，建立起学生类比推理的思维，实现类比推理能力的提高.

（二） 知识整合中的应用

数学知识中有很多概念系统，即一类概念中存在多个子概念，它们之间既相互联系又相互区别，这时教师就可以教运用类比推理来进行知识的归纳整合.比如在学习向量知识的时，教师就可以从共线向量、共面向量和空间向量这三个知识点入手，采用循序渐进的教学方法，先介绍共线向量的相关知识；再运用类比推理，帮助学生学习和掌握平面向量；最后再推及空间向量，在这个过程中尤其要注意三种向量之间的区别.在完成这样的类比过程之后，教师还要帮助学生进行共线向量、平面向量、空间向量三者之间的对比归纳异同和联系，整合大脑中有关向量的所有知识，形成一个较完整的向量知识体系.另外，在更大范围和更高层面的数学知识整合过程中，类比推理也能起到非常重要的作用，提高知识整合的效率.比如，在高中几何有关扇形面积公式学习之后，要注意总结多种空间几何体面积计算相关知识的复习和总结，比如圆柱、棱锥的表面积就是各个面的面积之和，圆柱就需要知道上下两个面的面积公式（S=πr2，r为圆的半径）以及圆周的面积计算公式（圆周面积为S=L·h，圆周长L=2πR，h为圆柱体高），圆柱面积就是两者之和.同上，棱锥就要知道底面积和周围各个面的面积.采用类比教学的方法带领学生复习棱柱、圆柱、圆锥、圆台、球体的表面积，将它们的计算公式进行归纳总结，加深学生的理解和联想记忆，用类比的方式强化对知识的整合.

（三） 提出问题中的应用

高中数学新课标要求学生不仅要掌握知识还要善于思考，在思考中发现自己所掌握的知识中存在的联系、问题和疑惑，这样学生就能向老师提出问题，帮助加深对知识的理解和内化程度.比如在集合概念的学习中，将子集和空集的概念都交给学生以后，让学生去思考集合、子集、空集三者之间的关系，然后组织学生进行讨论，有学生就会思考空集是不是集合的子集呢？当学生提出这样的问题的时候，教师就可以教学生运用类比推理解决疑惑了.同时，向学生提出有关生活中的集合概念，让学生进行思考解答，比如以学校为例，采用年级、班级、学生性别进行分类，分别找出这几个集合中的相关子集，这样才能够加深对知识点的区分和理解，帮助形成课堂与生活实际有机结合的完整知识体系.

（四）解决问题中的应用

在数学解题中教师通常会让学生总结题型和解题方法，以达到举一反三的目的，这就是类比推理在数学问题解决中的运用.类比推理不仅是概念到概念间的推理，也是解题思路和解题方法间的推理.比如在几何学习中，教师可以将对平面数学问题的解题思路展示给学生，并逐步将解题思路引入到空间问题的解决中，并在这个过程中不断地进行类比，帮助学生理解和形成空间问题解决的思路和方法.鼓励学生运用类比推理来解决高中数学问题，不仅可以突出问题的本质，帮助学生找到解决问题的方法和途径，还可以培养学生的发散思维和创造能力.

比如在学习圆锥体的体积时，教师在分析了圆柱体和圆锥体的关系后，再带领学生复习圆柱体体积运算公式：圆柱体体积=底面积×高（即V=S·h，S：圆柱体底面积；h：圆柱体高），由此引导学生分析得出圆锥体体积公式：V=1/3S·h，S：圆椎体底面积，h：圆锥体高.最后给出一个圆锥体的模型，要求学生根据已知数据求解该圆锥体的体积，并鼓励学生在现实生活中寻找圆锥体的事物，通过实际的测量圆的半径和圆锥体的高，运用所学公式进行体积计算，这样将学生的课堂学习与实际生活充分联系起来，提高学生解决实际问题的能力，增强数学学习的兴趣.

一、类比推理的概念及现实意义

类比推理是一种认知活动，它能够根据两个或两类对象之间的相似属性进行推理和判断，是人类认知的核心.它能够帮助人们形成新的概念，将已学过的知识和概念迁移到新的情境中，形成适合当下情景需要的理论概念、问题和解决问题的方式.在数学知识的学习中主要是依赖归纳和类比推理来得出结论、证明思路.目前我国很多高中生在归纳和类比推理能力方面还很欠缺，不能很好地根据前提条件预测结果，也不能很好地根据结果推出原因.在新一轮数学课改中，合情推理第一次作为专题内容——“推理与证明”进入高中新课程教材中（选修系列1-2和选修系列2-2）.对学生进行类比推理能力的培养，有助于提高学生创新能力的发展，适应当下国家发展对创新性人才的需求.因此，将推理能力融入到高中数学教学过程中就具有了十分重要的现实意义.

二、类比推理在高中数学教学中的具体应用

（一）数学概念形成过程中的应用

数学概念是数学知识体系的基础，是理论性的数学知识，需要学生理解并记忆.虽然数学概念并不是数学知识的全部，在教材中的分布也比较分散，但是它们之间也存在一定的相似性和内在联系.因此，教师应该积极地引入类比推理，在教学过程中，帮助学生掌握和区分不同概念，形成完整的数学理论知识体系.比如在二面角概念的教学中教师就可以引入角的概念类比推理出二面角的概念，如表1.

在高中数学等比数列相关知识的教学时，教师可以先带领学生复习等差数列的相关知识，然后将“差”和“比”的概念进行对比，帮助学生了解两者之间的区别，再鼓励学生将等差数列替换为等比数列，鼓励学生根据自己的理解给出等比数列的概念.在充分了解学生对等比数列的理解以后，再根据学生理解的不足和疑问，进行分析，给出科学的等比数列的概念，然后给学生足够的时间去思考这两类数列的联系与区别，明白“差”与“比”概念的区别，从而掌握等比数列的相关知识.在这个旧知识-类比-新知识的过程中，建立起学生类比推理的思维，实现类比推理能力的提高.

（二） 知识整合中的应用

数学知识中有很多概念系统，即一类概念中存在多个子概念，它们之间既相互联系又相互区别，这时教师就可以教运用类比推理来进行知识的归纳整合.比如在学习向量知识的时，教师就可以从共线向量、共面向量和空间向量这三个知识点入手，采用循序渐进的教学方法，先介绍共线向量的相关知识；再运用类比推理，帮助学生学习和掌握平面向量；最后再推及空间向量，在这个过程中尤其要注意三种向量之间的区别.在完成这样的类比过程之后，教师还要帮助学生进行共线向量、平面向量、空间向量三者之间的对比归纳异同和联系，整合大脑中有关向量的所有知识，形成一个较完整的向量知识体系.另外，在更大范围和更高层面的数学知识整合过程中，类比推理也能起到非常重要的作用，提高知识整合的效率.比如，在高中几何有关扇形面积公式学习之后，要注意总结多种空间几何体面积计算相关知识的复习和总结，比如圆柱、棱锥的表面积就是各个面的面积之和，圆柱就需要知道上下两个面的面积公式（S=πr2，r为圆的半径）以及圆周的面积计算公式（圆周面积为S=L·h，圆周长L=2πR，h为圆柱体高），圆柱面积就是两者之和.同上，棱锥就要知道底面积和周围各个面的面积.采用类比教学的方法带领学生复习棱柱、圆柱、圆锥、圆台、球体的表面积，将它们的计算公式进行归纳总结，加深学生的理解和联想记忆，用类比的方式强化对知识的整合.

（三） 提出问题中的应用

高中数学新课标要求学生不仅要掌握知识还要善于思考，在思考中发现自己所掌握的知识中存在的联系、问题和疑惑，这样学生就能向老师提出问题，帮助加深对知识的理解和内化程度.比如在集合概念的学习中，将子集和空集的概念都交给学生以后，让学生去思考集合、子集、空集三者之间的关系，然后组织学生进行讨论，有学生就会思考空集是不是集合的子集呢？当学生提出这样的问题的时候，教师就可以教学生运用类比推理解决疑惑了.同时，向学生提出有关生活中的集合概念，让学生进行思考解答，比如以学校为例，采用年级、班级、学生性别进行分类，分别找出这几个集合中的相关子集，这样才能够加深对知识点的区分和理解，帮助形成课堂与生活实际有机结合的完整知识体系.

（四）解决问题中的应用

在数学解题中教师通常会让学生总结题型和解题方法，以达到举一反三的目的，这就是类比推理在数学问题解决中的运用.类比推理不仅是概念到概念间的推理，也是解题思路和解题方法间的推理.比如在几何学习中，教师可以将对平面数学问题的解题思路展示给学生，并逐步将解题思路引入到空间问题的解决中，并在这个过程中不断地进行类比，帮助学生理解和形成空间问题解决的思路和方法.鼓励学生运用类比推理来解决高中数学问题，不仅可以突出问题的本质，帮助学生找到解决问题的方法和途径，还可以培养学生的发散思维和创造能力.

比如在学习圆锥体的体积时，教师在分析了圆柱体和圆锥体的关系后，再带领学生复习圆柱体体积运算公式：圆柱体体积=底面积×高（即V=S·h，S：圆柱体底面积；h：圆柱体高），由此引导学生分析得出圆锥体体积公式：V=1/3S·h，S：圆椎体底面积，h：圆锥体高.最后给出一个圆锥体的模型，要求学生根据已知数据求解该圆锥体的体积，并鼓励学生在现实生活中寻找圆锥体的事物，通过实际的测量圆的半径和圆锥体的高，运用所学公式进行体积计算，这样将学生的课堂学习与实际生活充分联系起来，提高学生解决实际问题的能力，增强数学学习的兴趣.