探索向量问题求解 彰显数学思想魅力

周凌峰+唐永

策略1紧扣数学概念

在数学教材中许多数学概念如三角形的外心、重心、函数的单调性等不仅仅是定义，同时也是方法，只要我们紧扣概念，抓住概念的本质特征，就会自然产生解决问题的方法.

评注因为AB·AC=cbcosA=12（b2+c2-a2），所以需要找a，b，c满足的条件.a，b，c满足a2=bc，a+b+c=6是显而易见的，由于两个方程三个未知数，所以独立变量只有一个，选择哪个变量为自变量较为合理？两个方程都是关于b和c对称，选择a较为合理，通过消元，得到AB·AC=-（a+3）2+27，这样就建立了以a为自变量的目标函数，然后挖掘自变量a的隐含条件，即目标函数的定义域，最后求出目标函数的值域.有时，自变量的条件是够隐蔽的，它需要我们全面地考虑，如本题只考虑a是正数这个条件是不够的，还需考虑三角形三边的条件，否则就前功尽弃.这类问题往往可以从三个方面考虑，一是每一个变量自身存在的条件，二是变量间关系，三是条件化简时，注意等价性.

综上，在解决向量问题的过程中，发现其背后是函数与方程、化归转化、数形结合以及消元、构造等数学思想方法的应用.通过这番探讨，不仅能有效提升学生的综合解题能力，而且可以培养学生思维的灵活性和深刻性，还可以提升我们对于数学解题的理性认识.

策略1紧扣数学概念

在数学教材中许多数学概念如三角形的外心、重心、函数的单调性等不仅仅是定义，同时也是方法，只要我们紧扣概念，抓住概念的本质特征，就会自然产生解决问题的方法.

评注因为AB·AC=cbcosA=12（b2+c2-a2），所以需要找a，b，c满足的条件.a，b，c满足a2=bc，a+b+c=6是显而易见的，由于两个方程三个未知数，所以独立变量只有一个，选择哪个变量为自变量较为合理？两个方程都是关于b和c对称，选择a较为合理，通过消元，得到AB·AC=-（a+3）2+27，这样就建立了以a为自变量的目标函数，然后挖掘自变量a的隐含条件，即目标函数的定义域，最后求出目标函数的值域.有时，自变量的条件是够隐蔽的，它需要我们全面地考虑，如本题只考虑a是正数这个条件是不够的，还需考虑三角形三边的条件，否则就前功尽弃.这类问题往往可以从三个方面考虑，一是每一个变量自身存在的条件，二是变量间关系，三是条件化简时，注意等价性.

综上，在解决向量问题的过程中，发现其背后是函数与方程、化归转化、数形结合以及消元、构造等数学思想方法的应用.通过这番探讨，不仅能有效提升学生的综合解题能力，而且可以培养学生思维的灵活性和深刻性，还可以提升我们对于数学解题的理性认识.

策略1紧扣数学概念

在数学教材中许多数学概念如三角形的外心、重心、函数的单调性等不仅仅是定义，同时也是方法，只要我们紧扣概念，抓住概念的本质特征，就会自然产生解决问题的方法.

评注因为AB·AC=cbcosA=12（b2+c2-a2），所以需要找a，b，c满足的条件.a，b，c满足a2=bc，a+b+c=6是显而易见的，由于两个方程三个未知数，所以独立变量只有一个，选择哪个变量为自变量较为合理？两个方程都是关于b和c对称，选择a较为合理，通过消元，得到AB·AC=-（a+3）2+27，这样就建立了以a为自变量的目标函数，然后挖掘自变量a的隐含条件，即目标函数的定义域，最后求出目标函数的值域.有时，自变量的条件是够隐蔽的，它需要我们全面地考虑，如本题只考虑a是正数这个条件是不够的，还需考虑三角形三边的条件，否则就前功尽弃.这类问题往往可以从三个方面考虑，一是每一个变量自身存在的条件，二是变量间关系，三是条件化简时，注意等价性.

综上，在解决向量问题的过程中，发现其背后是函数与方程、化归转化、数形结合以及消元、构造等数学思想方法的应用.通过这番探讨，不仅能有效提升学生的综合解题能力，而且可以培养学生思维的灵活性和深刻性，还可以提升我们对于数学解题的理性认识.