对数线性化灰色预测模型

许坚 朱晓阳

基于灰色序列的一阶累加生成序列的指数增长性质，假设一阶累加生成序列满足指数模型的形式，通过指数线性化方法将其转化为简单的线性回归模型，进而分析误差项的性质。最后，通过一个算例比较了经典灰色系统预测模型与本预测模型的预测精度。实证表明，本模型具有较好的预测性。

【关键词】

灰色系统；1-AGO；指数；线性化

1 研究方法与模型

灰色系统理论是由我国学者邓聚龙创立，理论自诞生之日起受到国内外广泛关注。灰色系统预测模型是灰色系统理论的重要组成部分，灰色系统预测模型的特点是数据少，贫信息，因此应用广泛且方便。经过20多年的发展，灰色预测理论已在工业、农业、社会、经济、科技、能源、交通等众多领域得到应用，成功解决了生产生活和科学研究中的大量实际问题。灰色预测模型的原理是一些数据当累加后具有指数增长的规律。因此可以利用这一信息将数据累加，根据累加数据的指数规律性建立模型，最后还原预测数据。传统的的形式是，然后建立方程的白化方程：，实质是一类一阶常微分方程。在研究系统发展态势时，一般应首先建立反应系统演化趋势的数学模型，进而再对各种关系进行量化研究。本文根据一阶累加生成序列具有指数增长规律，假设其满足某指数函数形式，进而利用对数线性化方法将其转化为线性函数形式，最终建立模型。

2 模型建立

假设具有原始数据序列：，经过一阶累加生成序列为：。其中：

对数列进行光滑性检验[1]：若对有，则其满足准光滑性条件。对数列进行准指数规律检验[1]：若对有，则准，通过取对数变换：使其线性化。经过线性化后其形式变为：

，

其中，，。一般而言，服从正态分布。将该线性模型表示成方程组的形式即为：

通过最小二乘法将，确定。设函数，则对分别关于，求偏导函数。

令，则解得

将所求参数带入方程：，求得时间响应式：。至此，模型建立完毕。通过模型求出预测值，还原预测值。误差检验：1残差，。2平均相对误差：。重复以上计算过程便可将预测数据求出。

由通常的线性回归模型知，误差项一般满足服从正态分布：，即，而原始对数的误差的期望，这是因为：若服从正态分布 ：

此时的密度函数为[3]：

而，所以设的随机变量分布为：，当，

两端对求导数得：

即

当

所以的密度函数为：

可见服从对数正态分布。从而的数学期望：

对模型，假设散点恰好落在曲线上此时，实验数据与模型完全吻合。若不落在曲线上，那么或着，由麦克劳林展开式：

可见，当较小时，。由以上分析知，当对数模型线性化原始对数模型的误差应满足尽量接近1，对于误差较大的应考虑其他模型。

3 算例

本文将经典预测模型与本文模型对同一实际案例进行预测比较，以检验本模型的预测有效性。设有原始数据序列[1]：

首先根据传统预测模型计算（该序列经检验满足光滑性条件以及准指数规律条件）。

第[1]步，原始序列的初始化

初始化后的序列：

第[2]步，原始序列的1-AGO

1-AGO序列：

第[3]步，1-AGO的紧邻均值生成

紧邻均值生成序列：

第[4]步，发展系数和灰色作用量的计算

第[5]步，模拟值的计算

第[6]步，计算残差

残差=

本模型计算的步骤与上述模型大致相同，在此省略，现将模拟计算的结果直接列出：，残差=0.2174

4 结论及改进

本模型在经典灰色系统建模的思想框架内，通过将一阶累加生成的灰色序列直接假设为指数模型，然后将指数模型线性化转化为常见的线性回归模型。在模型的构造方面具有直观性、简便性，不需要像经典那样，通过求出白化方程，即一个连续的微分方程的解，再带入原差分方程。在预测方面，相对于经典预测模型本模型在预测精度上的误差稍高，原因可能有以下几个方面：一、对数模型线性化时引起误差的放大。二、本模型没有利用如经典模型那样将累加数据进行赋权处理的方法。这些都是后续工作中将要完成的任务。本模型误差也在可以接受范围内。因此，模型还是具有一定的预测效果的。

【参考文献】

[1]刘思峰.灰色系统理论及其应用[M].北京：科学出版社.2004.

[2]邓聚龙.灰预测与灰决策[M].武汉：华中科技大学出版社.2002.

[3]盛骤，谢式千，潘承毅.概率论与数理统计[M].北京：高等教育出版社.