从一道高考题谈数量积的求法

佘雨环

向量是近代数学中重要和基本的数学概念，它是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，同时又是数形结合思想运用的典范。向量作为代数对象，它可以运算；作为几何对象，它有方向和长度。正是由于向量既有几何形式又有代数形式的双重身份。所以使其成为中学数学知识的一个交汇点，向量的数量积更是把向量的基本知识与方法融会贯通于一体，所以成为近年高考的一个热点，平面向量的数量积的高考考纲要求是：

（1）理解平面向量数量积的含义与物理意义。

（2）了解平面向量的数量积与向量投影的关系。

（3）掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的坐标运算。

（4）能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系。

2012年湖南文科高考第15题考查了这样一道向量题。

如图：在平行四边形ABCD中，

AP⊥ BD，垂足为P，AP=3，则AP·

AC=_.

1.从两向量数量积的定义入手

思路分析：目标为求两向量的数量积，首先想到的是两向量的定义a·b=|a|·|b|·cos〈a，b〉，设AP与AC 的夹角为θ，AC与BD相交于点O，则AP·AC=|AP|·|AC|·cosθ，|AP| 是已知的，关键是从|AC|和cosθ入手。而△APO是直角三角形，cosθ就与AP和AC都有关系，从而找到了解题的切入点。

解法1：设AP与AC 的夹角为θ，

∵△APO是直角三角形，

∴cosθ=—=—=—

∴AP·AC=|AP|·|AC|·cosθ=

|AP|·|AC|·—=2AP2=18.

点评：此种解法充分运用数量积的定义，是最基本最经典的一种思路。这与考纲的“理解平面向量数量积的含义”相吻合。

2.从两向量数量积的几何意义入手

思路分析：根据教材必修4第103页的内容，a·b=|a|·|b|·cos〈a，b〉，设b与a的夹角为θ，如图，b在a方向上的投影为OB1=|b|cosθ，则a·b等于|a|与b在a方向上的投影的乘积。

结合本题的图形，那么要求AP·AC，关键是找出AC在AP上的投影。由此想到作辅助线的方法，过点C作AP的垂线交AP的延长线于H，则AH为向量AC在AP方向上的投影。再根据已知条件可求AH的长度。思路至此豁然开朗了。

解法2：如图，过点C作AP的垂线交AP的延长线于H。

∵△APO和△ACH是直角三角形，且O为AC的中点。

∴PO是△ ACH的中位线。

∴AH=2AP=6

∴AP·AC=|AP|·AH=2AP2=18.

3.从两向量数量积的坐标运算入手

思路分析：若建立了平面直角坐标系，两向量的数量积就有了简洁的坐标运算公式，若a=（x1，y1），b=（x2，y2）则a·b=x1x2+y1y2。按照此种思路分析，则先应想到恰当建系。

解法3：如图，以O为原点，BD所在的直线为X轴，过点O平行于AP的直线为Y轴，作直角坐标系， 设P（-x，0），则A（-x，3），AP=（0，-3），

又O为AC中点，且O（0，0），由此可得C（X，-3），AC=（0，-6）。

所以AP·AC=18。

4.利用两向量数量积的运算进行转化

思路分析：如果两向量的夹角或者两向量的模难于直接运算时，也就是说直接运用定义比较困难时，我们有时候可以运用转化思想来求解两向量的数量积。转化的目标为已知向量或与已知向量关系特殊的向量，例如此题中AP为已知向量，AP与BP和BD都垂直，两向量垂直有一条重要性质：a⊥b = a·b=0。由此得到如下解法。

解法4：设AC∩BD=O，则AC=2（AB+BO），AP·AC=AP·2（AB+BO） =

2AP·AB+2AP·BO=2AP·AB=2AP（AP+PB）=2AP2.

纵观此题的各种分析与方法，高考考题的生发点依然是教材，重视教材的基本概念、基本思想方法是我们复习迎考努力的方向。同时把握好考试大纲对教材的要求，掌握好数学的数形结合思想、等价转化思想，特殊化思想等数学思想方法。我们就会在知识的海洋里自由翱翔！

（作者单位：湖南省长沙市雅礼中学）