状态空间分析法的主要特点及其应用

摘 要：利用状态空间分析法结构动力响应问题，根据结构动力学方程，引入系统的状态变量，建立状态方程，并给出非奇次状态方程的解。对于求解矩阵函数有多种解法。对结构动力响应建立了计算格式，并在文末给出了数值算例，其计算结果表明，状态空間分析结构动力响应，其精度好，效率高，是一种非常有效的方法。

关键词：状态空间分析法；结构动力响应；状态方程

1 状态空间分析法的主要特点

状态空间分析法可解决多输入、多输出、多变量的系统问题，且系统可以是线性的或非线性的，定常的与时变的，集中参数的或分布参数的，也可以是连续型或离散型的。由于借助计算机，整个过程在时间域内可实时控制，对设计性能指标可或得最优控制。由于它的突出特点，不但在国防工业尖端部门，也在其他一些部门获得迅速的应用。近10多年来，状态空间法开始在建筑、路桥、水利、机械、环境等工程领域活跃起来。

应用状态空间理论进行的结构的动力分析具有精度高的特点。近年来，现代控制论中的状态空间理论逐步应用到固体力学、复合材料力学、弹性力学等力学领域中，使这些学科获得了新的活力和发展前景。特别是利用状态空间理论对建筑结构的动力问题的研究获得了很大的成功，为新技术的应用奠定了理论基础。在用状态空间发分析系统时，系统的动态特性是由状态变量构成的一阶微分方程组来描述的，它能反应系统的全部独立变量的变换，从而能同时确定系统的全部内部运动状态，而且还可以方便地处理初始条件。这样，在设计控制系统时，不再只局限于输入量、输出量、误差量，因而可以应用于非线性系统、时变系统、多输入—多输出系统以及随机过程等。状态空间理论在结构动力问题中的应用涉及了很多方面，主要集中在结构动力特性、结构动态响应和结构的主动控制等三个方面。一个用n阶微分方程描述的系统，就有n个独立变量，当把它写成状态方程的话，那么这个状态方程将能完全地描述系统的运动，只要确定了任一时刻的状态变量，就能知道结构在任一时刻的状态。而用传统的微分方程进行描述的话，某些内部的中间变量将不便加以描述，因而不能包括系统的所有信息，这有着其分析动力问题的不足之处。状态方程形式简单、规范，任何阶的运动微分方程都可化为形式如的状态方程。特别提出的是，数学中微分方程数值计算的标准式子和状态方程的标准形式十分相近，这就为把数值计算应用到状态方程求解中来提供了极大的方便，有利于结构动力问题的计算机模拟和计算。状态方程的系统矩阵包括了内部状态的全部联系。一个系统矩阵就决定了该系统的动力特性，不像微分方程那样，它的动力特性是有刚度矩阵、质量矩阵、阻尼矩阵三者所决定的，这就为用系统矩阵分析结构的动力特性提供了方便。

总之利用传统的方法分析结构动力问题有其天生的局限性，如果不添加新鲜血液的话，那么它的发展空间终究有限。把状态理论应用到结构动力问题的研究中来，正是针对其局限性，开辟了一条新的道路。可见，利用状态空间理论研究结构动力问题有着重大的意义。

2 方程的建立及其解法

结构在地震、风等作用下的动态响应一直是人们研究的课题之一。因为建筑结构，特别是高层结构的自由度非常多，且地震、风等载荷是高度非线性的，想要用传统的二阶微分运动方程直接求解是不可能的，即使是使用数值求解，也必须进行一些假设，而且计算十分繁琐和复杂。在这方面，把建筑结构用状态空间变量描述写成状态空间方程，其形式简单、规范，为直接求解提供了可能，且利于计算机数值计算。在这些方面，已经有一些人进行了研究，如基于状态空间理论的多量样条元法和迭代法等。这些方法在数学方面有现成的成果，理论研究成熟，为结构的动态分析提供了一条广阔的道路。

结构的动力响应分析是一个多自由度系统问题，由于状态方程具有可分离的数学结构，因此比传统的方法优越。特别对于多激励输入与输出，状态空间法有明显的优越性。它不仅可以求解多变量问题，还能扩大解题范围。对于结构承受动力载荷作用时，其动力方程为：

式（3）为结构动力响应分析的状态方程。状态方程是描述一个动态过程，并可用一阶微分方程组来表示。不论系统多么复杂，状态空间的描述总是具有像式（3）这种统一简洁的形式。并可用多种分析技术在计算机上进行数值计算。根据状态空间理论，状态方程的解答为（5）；（5）式中：；

。有2n个动力响应量，即n个位移响应量与n个速度响应

量。

参考文献

[1] 范崇讬.孟繁华.现代控制理论基础.上海：上海交通大学出版社，1990

[1] 常春馨.现代控制理论基础.北京：机械工业出版社，1988

[2] 沈鹏程.多变量样条有限元法.北京：科学出版社，1996

[3] 郭继武.建筑抗震设计.北京：高等教育出版社，1990

作者简介

方未（1991-），湖北人，硕士研究生，研究方向：机械监测与故障诊断。