利用轴对称和平移求最短距离

莫慧琼

利用轴对称和平移求最短距离是近年来中考的一个热点，这类问题主要考察同学们化归的数学思想和建模能力，它可以结合各类知识进行考察，综合性强，是同学们较为头痛的一类问题.

例如，2012年南宁市中考压轴题的最后一问就是此类问题.

如图1，已知点A（3，4），当点B的坐标为（-1，1）时，在x轴上另取两点E，F，且EF=1. 线段EF在x轴上平移，线段EF平移至何处时，四边形ABEF的周长最小？求出此时点E的坐标.

要解决这个问题，我们得先从几个简单的数学模型入手，发现并归纳解这一类问题的思想和方法.先跟着老师看下面的例题，或许你能从中得到某些启示.

例1：如图2，地下河两侧有村庄A，B. 今年大旱，村民们要在河上方挖一口井向A村与B村供水. 若要使井口P分别到A，B两村的水管之和最短，应在图上什么地方凿井？（注：本题由八年级上册课本第42页例题改编）

【分析】这道题是个实际问题，我们将它转化成数学模型就不需要考虑河宽，所以可以将这个实际问题抽象为下面这样一个数学问题：

如图3，两点A，B分别在一直线l的两侧，直线上一动点P停留在哪一位置时，能使PA+PB最短？

显然，应该连接AB，与直线l相交于一点，当动点P位于此位置时，PA+PB是最短的，理由是“两点之间，线段最短”.

【变式1】当村庄A，B在河的同一侧时，井口P又应在什么地方呢？

【分析】这时在直线上任取一点P，连接PA，PB，如图4，还能轻易看出哪条路径最短吗？能否想个办法，把它转化成刚才那种点在直线两侧的情况呢？

显然，可以作点B关于直线l的对称点B′，再连接AB′交直线l于点P，连接PB，如图5. 利用对称性可知PB=PB′，则线段PA+PB的长等于线段AB′的长，由“两点之间，线段最短”可知此时所得路径是最短的.

【变式2】如图6，公路m与河流n之间有一个村庄C，公路m上准备设置一个加油站P，河边设置一个加水点Q.今年大旱，县政府派出送水车为村民们供水，运水车从村庄C出发，先去加油，再去加水，最后回到村庄C为村民们供水.请问：把加油站P和加水点Q分别设在何处，可使运水车所走路程最短？

解：如图7，分别作出点C关于直线m和直线n的对称点C′和C″，再连接C′C″，分别交直线m和直线n于点P和点Q，则所得路径C→P→Q→C为最短路径.

【变式3】如图8，将变式2中的一个村庄改为两个村庄C和D，运水车从村庄C出发，先去加油，再去加水，最后到村庄D送水，则又应把加油站P和加水点Q分别设在何处，才能使运水车所走路程最短？（注：本题由八年级上册课本第47页习题的第9题改编）

解：如图8，作点C关于直线m的对称点C′，点D关于直线n的对称点D′，再连接C′D′，分别交直线m和直线n于点P和点Q，则所得路径C→P→Q→D为最短路径.

由刚才的几道题中，我们得到以下几个基本几何模型：

【思考】观察这些模型有何共同特征？在求最短距离时都用了怎样的方法？

【总结】这些模型都利用了轴对称，把本来不在同一直线上的几条线段都转化到了同一直线上，把求几条线段和的最小值转化成两点之间线段最短的简单问题. 可见，利用化归的数学思想，可将复杂问题简单化.

前面的几种情况都不需要考虑河宽，假如需要考虑河宽又该怎么办呢？有什么办法把它也转化为最容易解决的情况吗？下面我们来看这道题：

【变式4】如图9，运水车需从A村送水到B村，A，B两村之间有一条宽为a的河，在何处架桥才能使A村到B村的路程最短？（注：本题由七年级下册课本第31页习题的第7题改编）

【分析】显然，此时已不能将河流抽象成一条直线，只能将河岸抽象成距离为a的一组平行线m，n，由于桥是垂直于河岸的，假设桥为线段PQ，则PQ在什么位置时，才能使得线段AP+PQ+QB的和最小呢？

由于PQ的长是一定值，所以求三条线段AP+PQ+QB的和最小，其实只是求两条线段AP+QB的和最小. 于是，我们可以这么理解，将河岸m平移到与河岸n重合，此时相当于除去了定长a的干扰，转化成了最简单的“模型1”这种情况，连接AB就相当于线段AP+QB的长. AB交直线n于点Q，再把河岸m平移回来，原来直线m上Q点的位置记为点P.

此外，我们还可以这么理解，运水车从A村到B村，无论如何，桥都是要过的，那可否将整条河流平移到A处，使点A在直线m上，相当于让运水车先过桥呢？

如图10，将点A向下平移a个单位得到点A′，连接A′B交直线n于点Q，过点Q作直线m的垂线，交直线m于点P，然后连接PA，此时线段AP+PQ+QB的和最小.

【思考】将图10记为“模型5”，对比前面4个模型，你有何感悟？

【总结】在这道题中，解题的方法虽然很多，但其实都是利用平移先排除掉定长，将问题转化成“求两条线段之和何时最短”的老问题，依然是将这两条线段化归到同一直线上.

我们不妨用一顺口溜来记下解此类题的方法：“对称加平移，最短问题不被迷.化归同一线，最短长度图自现.”

下面我们再来看看2012年南宁市中考压轴题的最后一问该如何求解.

解：如图11，过点A作x轴的平行线，并在平行线上截取线段AA′，使AA′=1，作点B关于x轴的对称点B′，连接A′B′，交x轴于点E，在x轴上截取线段EF=1，则此时四边形ABEF的周长最小.

∵A（3，4），∴A′（2，4），

∵B（-1，1），∴B′（-1，-1）.

设直线A′B′的解析式为y=kx+b，

则[2k+b=4-k+b=-1]，解得[k=53b=23].

∴直线A′B′的解析式为[y=53x+23]，

当y=0时，[53x+23=0]，解得[x=-25].

故线段EF平移至如图所示位置时，四边形ABEF的周长最小，此时点E的坐标为（[-25]，0）.

利用轴对称和平移求最短距离是近年来中考的一个热点，这类问题主要考察同学们化归的数学思想和建模能力，它可以结合各类知识进行考察，综合性强，是同学们较为头痛的一类问题.

例如，2012年南宁市中考压轴题的最后一问就是此类问题.

如图1，已知点A（3，4），当点B的坐标为（-1，1）时，在x轴上另取两点E，F，且EF=1. 线段EF在x轴上平移，线段EF平移至何处时，四边形ABEF的周长最小？求出此时点E的坐标.

要解决这个问题，我们得先从几个简单的数学模型入手，发现并归纳解这一类问题的思想和方法.先跟着老师看下面的例题，或许你能从中得到某些启示.

例1：如图2，地下河两侧有村庄A，B. 今年大旱，村民们要在河上方挖一口井向A村与B村供水. 若要使井口P分别到A，B两村的水管之和最短，应在图上什么地方凿井？（注：本题由八年级上册课本第42页例题改编）

【分析】这道题是个实际问题，我们将它转化成数学模型就不需要考虑河宽，所以可以将这个实际问题抽象为下面这样一个数学问题：

如图3，两点A，B分别在一直线l的两侧，直线上一动点P停留在哪一位置时，能使PA+PB最短？

显然，应该连接AB，与直线l相交于一点，当动点P位于此位置时，PA+PB是最短的，理由是“两点之间，线段最短”.

【变式1】当村庄A，B在河的同一侧时，井口P又应在什么地方呢？

【分析】这时在直线上任取一点P，连接PA，PB，如图4，还能轻易看出哪条路径最短吗？能否想个办法，把它转化成刚才那种点在直线两侧的情况呢？

显然，可以作点B关于直线l的对称点B′，再连接AB′交直线l于点P，连接PB，如图5. 利用对称性可知PB=PB′，则线段PA+PB的长等于线段AB′的长，由“两点之间，线段最短”可知此时所得路径是最短的.

【变式2】如图6，公路m与河流n之间有一个村庄C，公路m上准备设置一个加油站P，河边设置一个加水点Q.今年大旱，县政府派出送水车为村民们供水，运水车从村庄C出发，先去加油，再去加水，最后回到村庄C为村民们供水.请问：把加油站P和加水点Q分别设在何处，可使运水车所走路程最短？

解：如图7，分别作出点C关于直线m和直线n的对称点C′和C″，再连接C′C″，分别交直线m和直线n于点P和点Q，则所得路径C→P→Q→C为最短路径.

【变式3】如图8，将变式2中的一个村庄改为两个村庄C和D，运水车从村庄C出发，先去加油，再去加水，最后到村庄D送水，则又应把加油站P和加水点Q分别设在何处，才能使运水车所走路程最短？（注：本题由八年级上册课本第47页习题的第9题改编）

解：如图8，作点C关于直线m的对称点C′，点D关于直线n的对称点D′，再连接C′D′，分别交直线m和直线n于点P和点Q，则所得路径C→P→Q→D为最短路径.

由刚才的几道题中，我们得到以下几个基本几何模型：

【思考】观察这些模型有何共同特征？在求最短距离时都用了怎样的方法？

【总结】这些模型都利用了轴对称，把本来不在同一直线上的几条线段都转化到了同一直线上，把求几条线段和的最小值转化成两点之间线段最短的简单问题. 可见，利用化归的数学思想，可将复杂问题简单化.

前面的几种情况都不需要考虑河宽，假如需要考虑河宽又该怎么办呢？有什么办法把它也转化为最容易解决的情况吗？下面我们来看这道题：

【变式4】如图9，运水车需从A村送水到B村，A，B两村之间有一条宽为a的河，在何处架桥才能使A村到B村的路程最短？（注：本题由七年级下册课本第31页习题的第7题改编）

【分析】显然，此时已不能将河流抽象成一条直线，只能将河岸抽象成距离为a的一组平行线m，n，由于桥是垂直于河岸的，假设桥为线段PQ，则PQ在什么位置时，才能使得线段AP+PQ+QB的和最小呢？

由于PQ的长是一定值，所以求三条线段AP+PQ+QB的和最小，其实只是求两条线段AP+QB的和最小. 于是，我们可以这么理解，将河岸m平移到与河岸n重合，此时相当于除去了定长a的干扰，转化成了最简单的“模型1”这种情况，连接AB就相当于线段AP+QB的长. AB交直线n于点Q，再把河岸m平移回来，原来直线m上Q点的位置记为点P.

此外，我们还可以这么理解，运水车从A村到B村，无论如何，桥都是要过的，那可否将整条河流平移到A处，使点A在直线m上，相当于让运水车先过桥呢？

如图10，将点A向下平移a个单位得到点A′，连接A′B交直线n于点Q，过点Q作直线m的垂线，交直线m于点P，然后连接PA，此时线段AP+PQ+QB的和最小.

【思考】将图10记为“模型5”，对比前面4个模型，你有何感悟？

【总结】在这道题中，解题的方法虽然很多，但其实都是利用平移先排除掉定长，将问题转化成“求两条线段之和何时最短”的老问题，依然是将这两条线段化归到同一直线上.

我们不妨用一顺口溜来记下解此类题的方法：“对称加平移，最短问题不被迷.化归同一线，最短长度图自现.”

下面我们再来看看2012年南宁市中考压轴题的最后一问该如何求解.

解：如图11，过点A作x轴的平行线，并在平行线上截取线段AA′，使AA′=1，作点B关于x轴的对称点B′，连接A′B′，交x轴于点E，在x轴上截取线段EF=1，则此时四边形ABEF的周长最小.

∵A（3，4），∴A′（2，4），

∵B（-1，1），∴B′（-1，-1）.

设直线A′B′的解析式为y=kx+b，

则[2k+b=4-k+b=-1]，解得[k=53b=23].

∴直线A′B′的解析式为[y=53x+23]，

当y=0时，[53x+23=0]，解得[x=-25].

故线段EF平移至如图所示位置时，四边形ABEF的周长最小，此时点E的坐标为（[-25]，0）.

利用轴对称和平移求最短距离是近年来中考的一个热点，这类问题主要考察同学们化归的数学思想和建模能力，它可以结合各类知识进行考察，综合性强，是同学们较为头痛的一类问题.

例如，2012年南宁市中考压轴题的最后一问就是此类问题.

如图1，已知点A（3，4），当点B的坐标为（-1，1）时，在x轴上另取两点E，F，且EF=1. 线段EF在x轴上平移，线段EF平移至何处时，四边形ABEF的周长最小？求出此时点E的坐标.

要解决这个问题，我们得先从几个简单的数学模型入手，发现并归纳解这一类问题的思想和方法.先跟着老师看下面的例题，或许你能从中得到某些启示.

例1：如图2，地下河两侧有村庄A，B. 今年大旱，村民们要在河上方挖一口井向A村与B村供水. 若要使井口P分别到A，B两村的水管之和最短，应在图上什么地方凿井？（注：本题由八年级上册课本第42页例题改编）

【分析】这道题是个实际问题，我们将它转化成数学模型就不需要考虑河宽，所以可以将这个实际问题抽象为下面这样一个数学问题：

如图3，两点A，B分别在一直线l的两侧，直线上一动点P停留在哪一位置时，能使PA+PB最短？

显然，应该连接AB，与直线l相交于一点，当动点P位于此位置时，PA+PB是最短的，理由是“两点之间，线段最短”.

【变式1】当村庄A，B在河的同一侧时，井口P又应在什么地方呢？

【分析】这时在直线上任取一点P，连接PA，PB，如图4，还能轻易看出哪条路径最短吗？能否想个办法，把它转化成刚才那种点在直线两侧的情况呢？

显然，可以作点B关于直线l的对称点B′，再连接AB′交直线l于点P，连接PB，如图5. 利用对称性可知PB=PB′，则线段PA+PB的长等于线段AB′的长，由“两点之间，线段最短”可知此时所得路径是最短的.

【变式2】如图6，公路m与河流n之间有一个村庄C，公路m上准备设置一个加油站P，河边设置一个加水点Q.今年大旱，县政府派出送水车为村民们供水，运水车从村庄C出发，先去加油，再去加水，最后回到村庄C为村民们供水.请问：把加油站P和加水点Q分别设在何处，可使运水车所走路程最短？

解：如图7，分别作出点C关于直线m和直线n的对称点C′和C″，再连接C′C″，分别交直线m和直线n于点P和点Q，则所得路径C→P→Q→C为最短路径.

【变式3】如图8，将变式2中的一个村庄改为两个村庄C和D，运水车从村庄C出发，先去加油，再去加水，最后到村庄D送水，则又应把加油站P和加水点Q分别设在何处，才能使运水车所走路程最短？（注：本题由八年级上册课本第47页习题的第9题改编）

解：如图8，作点C关于直线m的对称点C′，点D关于直线n的对称点D′，再连接C′D′，分别交直线m和直线n于点P和点Q，则所得路径C→P→Q→D为最短路径.

由刚才的几道题中，我们得到以下几个基本几何模型：

【思考】观察这些模型有何共同特征？在求最短距离时都用了怎样的方法？

【总结】这些模型都利用了轴对称，把本来不在同一直线上的几条线段都转化到了同一直线上，把求几条线段和的最小值转化成两点之间线段最短的简单问题. 可见，利用化归的数学思想，可将复杂问题简单化.

前面的几种情况都不需要考虑河宽，假如需要考虑河宽又该怎么办呢？有什么办法把它也转化为最容易解决的情况吗？下面我们来看这道题：

【变式4】如图9，运水车需从A村送水到B村，A，B两村之间有一条宽为a的河，在何处架桥才能使A村到B村的路程最短？（注：本题由七年级下册课本第31页习题的第7题改编）

【分析】显然，此时已不能将河流抽象成一条直线，只能将河岸抽象成距离为a的一组平行线m，n，由于桥是垂直于河岸的，假设桥为线段PQ，则PQ在什么位置时，才能使得线段AP+PQ+QB的和最小呢？

由于PQ的长是一定值，所以求三条线段AP+PQ+QB的和最小，其实只是求两条线段AP+QB的和最小. 于是，我们可以这么理解，将河岸m平移到与河岸n重合，此时相当于除去了定长a的干扰，转化成了最简单的“模型1”这种情况，连接AB就相当于线段AP+QB的长. AB交直线n于点Q，再把河岸m平移回来，原来直线m上Q点的位置记为点P.

此外，我们还可以这么理解，运水车从A村到B村，无论如何，桥都是要过的，那可否将整条河流平移到A处，使点A在直线m上，相当于让运水车先过桥呢？

如图10，将点A向下平移a个单位得到点A′，连接A′B交直线n于点Q，过点Q作直线m的垂线，交直线m于点P，然后连接PA，此时线段AP+PQ+QB的和最小.

【思考】将图10记为“模型5”，对比前面4个模型，你有何感悟？

【总结】在这道题中，解题的方法虽然很多，但其实都是利用平移先排除掉定长，将问题转化成“求两条线段之和何时最短”的老问题，依然是将这两条线段化归到同一直线上.

我们不妨用一顺口溜来记下解此类题的方法：“对称加平移，最短问题不被迷.化归同一线，最短长度图自现.”

下面我们再来看看2012年南宁市中考压轴题的最后一问该如何求解.

解：如图11，过点A作x轴的平行线，并在平行线上截取线段AA′，使AA′=1，作点B关于x轴的对称点B′，连接A′B′，交x轴于点E，在x轴上截取线段EF=1，则此时四边形ABEF的周长最小.

∵A（3，4），∴A′（2，4），

∵B（-1，1），∴B′（-1，-1）.

设直线A′B′的解析式为y=kx+b，

则[2k+b=4-k+b=-1]，解得[k=53b=23].

∴直线A′B′的解析式为[y=53x+23]，

当y=0时，[53x+23=0]，解得[x=-25].

故线段EF平移至如图所示位置时，四边形ABEF的周长最小，此时点E的坐标为（[-25]，0）.