问答之间体验矩阵分解理论的教育价值

陈建华　王敏　朱艳鸿　张慧

摘 要 本文是大学生创新创业训练计划项目课题组成员几次讨论过程的真实记录。从内容上看，探索了矩阵分解理论对线性代数课程内容的理解、方法的掌握等方面的作用。从形式上看，表明大学生科技创新项目的实施可以根据专业特点以多种形式开展。

关键词 矩阵分解 可逆矩阵 正定矩阵 大学生科技创新

中图分类号：O151.21 文献标识码：A

矩阵分解是指根据一定的原理将一个矩阵分解成若干个矩阵的乘积。任北上，刘君伟等探究了线性代数的数学思想在矩阵分解中的应用及实现，①王岩，王世炎等通过例题阐述了矩阵乘积分解、矩阵和分解的简单应用，②③本文探索“矩阵分解在线性代数课程学习中的应用。作为大学生创新创业训练计划项目，在研读矩阵分解理论基础上，课题研究的开展是根据师范生的特点，采用了即席讨论交流方式，尝试让学生问答间展现思维过程，体验矩阵分解理论的教育价值。

讨论中，学生们展现的敏捷、轻松、好学，让笔者对大学数学教学增添了几分乐观。现模仿余秋雨先生《北大授课（中华文化四十七讲）》呈现的方式，撷取几个片段，与同行交流。

1 引申知识的理解

引申主要是指事物内涵、意义的拓展和延伸。引申知识即为隐含在表面知识后面的深层知识。在教与学的过程中，人们都意识到引申知识的学习需要理解化状态作铺垫。我们所要做的就是借用矩阵分解理论来转化线性代数课程中一些知识的状态，使之易于掌握。

1.1 矩阵的等价、相似和合同的理解

陈建华：我们已经学习了矩阵的三角分解、满秩分解、分解和（奇异值）分解等。④⑤今天我们运用它对矩阵的等价、相似、合同理论进行高观点分析，从中体会线性代数课程的核心思想。谁先从矩阵分解的角度谈谈对矩阵等价理论的理解。

王敏：矩阵等价理论的核心是等价标准形定理，从矩阵分解的角度理解就是秩为的矩阵，可以表示为三个矩阵的乘积，即，其中是两可逆矩阵，另一个矩阵的秩为。如果阶矩阵的秩为，就是可逆矩阵可以写成若干初等矩阵的乘积，这里矩阵分解的思想隐含其中。

陈建华：这种分解通常被称为矩阵的等价分解。联系初等矩阵与初等变换的关系，我们曾经用矩阵的初等变换解决矩阵求逆、矩阵方程求解等许多问题。反过来，我们能从矩阵的等价标准型得到矩阵的满秩分解吗？

朱艳鸿：（板书）对于秩为的矩阵，则由等价分解，有，其中， = （ ）分别为列满秩矩阵和行满秩矩阵。

陈建华：好的，再想一想，如果矩阵 = ，且矩阵的秩都是，那么，矩阵的秩为吗？能证明你的结论吗？

张慧：我想矩阵的秩应该为吧？！事实上，一方面，（）≤{（），（）}= ；另一方面，由矩阵秩Sylvester不等式有（）≥（） + （） = ，故矩阵的秩一定为。

陈建华：关于矩阵的秩，我们曾经用分块矩阵、向量组的线性表示等手段证明了许多重要结论。现在请思考如何利用矩阵的满秩分解来给出不等式（ + ）≤（） + （）的证明。

王敏：让我来试一试。（板书）设有满秩分解 = ， = ，则有，故（ + ）≤（ ）≤（） + （） = （） + （）。

朱艳鸿： 老师，我感到用矩阵的满秩方法证明该不等式思路清晰，与以往证明方法比较，现在简洁多了。

陈建华：说得极是。从刚才的讨论，我们不难感受到矩阵分解理论和线性代数基本结论的交错作用带来的思考问题的愉悦。从知识掌握的角度看，这样的分析从对矩阵等价理论“是什么”的揭示，提升到“为什么”的理解，为实现矩阵等价理论的类化、系统化打下了基础。关于矩阵的相似和合同关系理论，从矩阵分解的视角大家有哪些思考？

张慧：两个矩阵相似，即存在可逆矩阵使得 = ，这样矩阵就是三个矩阵的乘积，这也可以理解为矩阵的一种“分解”。

陈建华：在线性代数学习中，这种分解有什么作用呢？

张慧：对于两矩阵相似，存在可逆矩阵使得 = ，当是对角形矩阵时，计算矩阵的高次幂就很容易。这一点在讨论有关线性模型时它很有用。

陈建华：请注意，矩阵相似对角化是有条件的。如果矩阵不能对角化，你还知道些什么？

张慧：如果矩阵不能对角化，那么它可以相似于若尔当（Jordan）标准形矩阵，它的方幂也比较容易计算。

陈建华：不过要注意若尔当标准形定理是在复数域上成立。人们将它叫做矩阵的若尔当分解。朱艳鸿，你来谈谈对矩阵合同关系的思考吧。

朱艳鸿：矩阵合同，也可以用三个矩阵相乘来表示另一个矩阵，这其中我们要注意这种分解不是唯一的，矩阵的等分解，相似分解也一样。对于矩阵合同关系的讨论，我们教材都是针对对称矩阵来进行的。

1.2 正定矩阵、可逆矩阵的理解

陈建华：线性代数课程中，有许多概念有较大的引申空间，我选择了正定矩阵、可逆矩阵两概念作为今天讨论的对象。对于这两个概念，我们曾经给出了较多的刻画。比如，阶实对称矩阵是正定矩阵的充分必要条件有：（1）与单位矩阵合同；（2）的特征值全大于零；（3）的正惯性指数为；（4）的各阶顺序主子式全大于零；（5）存在可逆矩阵，使得 = 等。请借助于矩阵分解理论，做进一步讨论。

朱艳鸿：刚才您讲的等价条件（5）实际上就是正定矩阵的一种分解。而条件（2）是正定矩阵有分解形式 = （，，…，），其中是正交矩阵，，，…，是的正特征值。

王敏：利用可逆矩阵的分解和等价条件（5），我可以获得正定矩阵的另一个等价条件：（6） = ，其中是可逆上三角形矩阵（实际上具有正主对角元）。

陈建华：会证明吗？结论证明的关键是什么？

王敏：会的。证明的关键是分解中的是正交矩阵。

张慧：按照这个思路，我也能给出正定矩阵的又一个等价条件：（7） = ， 是正定矩阵，是正整数。

陈建华：很好。实际上，我们还可以证明，当取定后，矩阵存在且唯一。如果 = 2，则 = ，常被称为正定矩阵的平方分解。通过讨论，对正定矩阵有了更为深刻的认识。同样对于可逆矩阵，我们已经知道若干等价条件，它们对“可逆矩阵”的特征分析、综合辨认和应用都很好，请联系矩阵分解来展开进一步的讨论。

王敏：可逆矩阵等于若干个初等矩阵的乘积就是一种分解，只不过这种分解不唯一，它是初等行变换方法求逆矩阵的核心原理。在实数范围内，由矩阵的分解，矩阵可逆，则有矩阵 = ，其中是正交矩阵，是主对角元大于零的上三角形矩阵，且这种分解唯一，也是可逆矩阵的一种刻画。

朱艳鸿：借助于矩阵的奇异值分解，对于实数域上的可逆矩阵，存在正交矩阵使得 = （，，…），其中，，…是矩阵的奇异值。

张慧：如果考虑正定矩阵的性质，我们还能得到实可逆矩阵的一种刻画：任意一个实可逆矩阵可以分解为正交矩阵与正定矩阵之积，并且分解是唯一的。这个结论的证明也是简洁有趣的。

陈建华：太棒了，大家一口气就给出了实可逆矩阵的三种新的刻画。通过上述讨论，我们对矩阵的等价、相似、合同理论、正定矩阵和可逆矩阵有了新的认识。

2 解题策略的获得

2.1 矩阵积分解的运用

陈建华：很高兴，在上次讨论中，大家发表了很多高质量的意见。今天，我们交流学习矩阵理论在线性代数课程解题实践中作用的体会，请围绕具体问题来交流。

朱艳鸿：在反思线性代数解题中，确实有些解法当时是靠记忆的，现在看来其实隐含着矩阵分解的思想。

陈建华：能举个具体的例子吗？

朱艳鸿：好吧，我尝试举一个例子，请老师指教。题目：设 + 是可逆矩阵，证明 + 是可逆矩阵，并求其逆矩阵。该题的解法是 + 转化为三个可逆矩阵的乘积： + = （ + ），再利用 + 是可逆矩阵求解。

陈建华：对的，我想让大家思考的就是这类问题。这里解题思路是“和化积”，将待证矩阵分解成已知可逆矩阵的积。

王敏：老师，在学习中，我思考过一个问题，但没有证出来。题目：一个阶复数矩阵与它的转置矩阵有相同的行列式因子、不变因子和初等因子，有相同的若尔当标准形，所以它们应该是相似的。一直以来，总是感到结论很抽象，尝试用您说过的若尔当分解来找到实现它们相似的可逆矩阵。具体地，因为存在可逆矩阵使得 = = ，所以是其中一个，但我对此不是很满意，因为是的转置矩阵，所以上述矩阵之间应该有联系，能给出来吗？

陈建华：很好，“与相似”本身是很有趣的，而“寻找之间的联系”这个问题提得更好！之间的联系有，且能用矩阵的乘法运算表示出来。设可逆矩阵使得 = = （（），…，（）），其中，…，是矩阵的个不同的特征值，则有 = ，我们只要给出与之间的关系就可以了。这样，问题的关键转化为找出若尔当块（）与其转置矩阵之间的关系，类比初等对换矩阵的性质，我们可以尝试考虑矩阵：，不难发现 = = ，如果令 = （，…），则有 = ， = ，从而有 = = = = （），实际上，是实现与相似的可逆矩阵。

朱艳鸿：太好了，终于找到了！看来关于矩阵分解过程中的运算技巧的掌握，我还需要提高。

陈建华：我们在思考问题时要有所谓的“正面归向”，比如说刚才讨论中，“寻找与之间的关系”和“（）与之间的关系”就是问题解决的“正面归向”。这很重要，这就像我们架舟于海上，有目标就是航行，而没有目标就是漂泊。

2.2 矩阵和分解的运用

张慧：老师，我在学习的过程中，还遇到过将一个矩阵分解成若干个矩阵的和的形式，如一个阶方阵可以表示成对称矩阵和一个反对称矩阵的和；秩等于的对称矩阵可以表示成个秩等于1的对称矩阵的和等。您能谈谈这种分解吗？

陈建华：这正是我准备与大家讨论的另一个话题。矩阵理论中通常讨论矩阵的乘积分解，但和分解也有重要的价值。比如，利用和分解可以得到正定矩阵的一个刻画：矩阵为阶正定矩阵的充分必要条件是它存在个线性无关的特征向量，，…，，使得 = + + … + ，就有很重要的应用。再举个例子吧，像循环行列式的计算，⑥ = （） （）… （），其中 （） = + + … ，，，…是所有的次单位根。

朱艳鸿：记得，不过当时好像要构造了一个范德蒙（Vandermonde）行列式，是很难想到的。

陈建华：是的，许多资料介绍的方法是构造辅助行列式，利用行列式乘法规则，把演变成（1）（）…（），即（）（）…（），这里选取辅助行列式在证明过程中发挥了很大的作用。⑦但是如何想到它的呢？像一个飞来之石。仔细想一想，如果我们抓住循环行列式的本质，思考如何才能让矩阵每行的元素由上而下，逐行依次向前移，能否用矩阵相乘来实现“循环”呢？就会柳暗花明。记矩阵是对应于的循环矩阵，令（基础循环矩阵），其中是阶单位矩阵，则有， （ = 1，2，）， = ，进而有和分解 = + + … + 。这里分解式传达了一种信号，行列式的计算能转化为求矩阵的全体特征值。事实上，矩阵的特征多项式为（） = ，容易获得它的特征值，从而，矩阵的特征值是（），（），…（），故等式自然成立，这就是“飞来之石”的来源。

3 反思与启示

本课题研究中，我们将线性代数课程相关知识与矩阵分解理论有机结合起来，利用“矩阵分解理论”理解线性代数课程的内容和核心思想，强劲地推动线性代数知识的重构，在揭示“矩阵分解”在线性代数学习中的教育价值的同时，也为学习线性代数提供一个新的视角。由于研究的载体为线性代数课程中的具体问题，课题研究获得的解题案例是课程学习的重要资源。本课题研究的目的指向数学教师专业发展的新视角。通过具体数学问题，在师生问与答的来往之间显现问题的本质、思维的取向，让学生体会矩阵分解理论在线性代数学习中的渗透，在多角度探索解决问题的过程中提高师范生合作能力和收集运用各种信息的能力，这当然是教师职前教育的重要组成部分。