几何证明方法的探索

严加明

[摘 要] 本文简要分析了几何证明的思路及思维分析方法，启发和引导学生正确地运用分析方法解决实际问题，培养学生的逻辑思维能力，使他们在实践中不断归纳总结，逐步提高.

[关键词] 几何题；证明思路；分析；解题规律；例题剖析

平面几何是以综合法为主要方法的几何学科，综合法直观清晰，叙述简洁，但“由因导果”，枝歧难辨，在运用上带来了一些困难. 因此，在证题时，一般先用分析法寻求证题思路，然后用综合法进行证明叙述. 证题思路的分析，对学习几何的学生来说是一个困难的问题，由于不会思路分析，证明就无从着手，证明时全凭盲目乱碰，抓不住解题规律，以至久而不能入门，影响学习兴趣和效果.

当前学生学习平面几何存在的问题，除课程本身抽象外，主要是在教学中不注意思考方法的引导. 在教学中，很多教师只注意知识内容的传授，不注意教给学生思考方法，而采取“题海战术”，企图用大量习题来覆盖各类考试的出题范围，不注意解题思路的分析，为使学生在课堂上“顺利地”接受所讲内容，过多地“暗设埋伏”，代替了学生的独立思考，其结果是讲得头头是道，学生仍不知为什么要如此考虑，离开教师的引导就不会解题. 要培养学生的逻辑思维能力，就得教给学生思维的基本途径和方法，启发和引导学生运用哪些方法去思考问题. 通过学生的实践，发展学生的逻辑思维能力，各门学科的思维途径和方法都离不开科学的一般方法，但又各有其自身特点. 就平面几何来说，在探索思路时着重运用分析法，即“执果索因”，追求结论成立的充分条件. 我们应教给学生“索因”的方法，也就是讲清如何去探寻思路，使学生在思考中有“路”可循，这样就能克服解题过程中的盲目性，逐步增强学生思考的自觉性.

■ 引用已知的定理，即逻辑证明

即借助于其真实性已经确定了的命题（包括公理、定理和有关定义），按照逻辑推理的方法来断定某个新命题成立的思维过程（或者说是逻辑程序）. 在引用作为论据的命题中，最常用的是本学科中的已知定理，因此，善于引用已知定理是学会平面几何的起点和关键.

学生在引用所学定理来证明时，困难有两个方面，其一是不会选择适当定理；其二是虽知要引用某定理，但不会创造条件来实现，因此，应抓住如下两个环节：

1. 如何选择适当定理. 欲证命题和所引定理之间必须满足下列两个条件：其一是两者的结论应具有一致性，这样才能通过所引定理导出欲证结论；其二是两者的条件（命题的题设与定理的前提）应具有相应性（即大致相符或有一定的联系），这样才能为引用该定理提供充分的依据.

2. 如何引用所选取的定理. 由于命题题设与定理前提虽有相应性，但不可能完全具备定理前提中的条件，因此要从所选定理导出求证结论，还必须做好下列两方面的工作，其一，若图形按定理要求尚欠完备，则应添辅助线以完备之，这是添辅助线的重要思考途径之一；其二，若题设条件按定理前提要求尚欠充分，则应先证得所缺条件，于是问题便转换为引用另一定理.

例1？摇 在△ABC外作正方形ABEF和ACGH，如图1所示，求证：△ABC的高线AD平分线段FH.

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按照结论的一致性，可以选取下列定理：（1）平行四边形的性质定理；（2）平行线等分线段定理，其特例是三角形（或梯形）中位线定理的逆定理；（3）等腰三角形顶角平分线定理；（4）垂直于弦的直径平分该弦；（5）连心线平分相交圆的公共弦定理；（6）全等三角形的定义及其判定定理. 再从条件的相应性考虑，就可知道宜选取（1）（2）（6）诸定理，于是所引定理便可确定了.

下面来讨论如何引用所选取的定理. 若欲引用“平行四边形的性质定理”来证明，就该构成具备下列条件的平行四边形：

（1）其一对角线为线段FH；

（2）另一对角线在直线AD上.

为了简便，可取为平行四边形AFKH，根据平行四边形的定义和判定定理知，四边形为平行四边形需满足两条件，再加顶点K在AD上，共需三个条件. 因此，在添辅助线时应满足其中两个条件，再证明具备第三个条件，方可根据定义或定理导出结论. 其证明思路如下：

①作FK∥AH交DA的延长线于点K，连结HK，欲证FK=AH.

②作FK∥AH，HK∥AF，欲证点K在直线AD上.

③作FK∥AH，FK=AH，连结HK，欲证点K在直线AD上.

④在直线AD上取一点K，使FK=AH，连结HK，欲证FK∥AH.

⑤取点K，使FK=AH，HK=AF，连结FK，HK，欲证点K在直线AD上.

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在引用定理的过程中，值得注意的是：

（1）根据结论的一致性和条件的相应性，许多命题都能选用多个定理，因而出现多种证法，若能经常注意一题多证，在诸多证法中，择其优而用，更能开阔思路，提高证题技巧.

（2）每个命题的题设条件都有其自身特点，只有针对其特点选用相应定理，才能导出欲证的结论.

（3）引用定理应从它们之间的联系着手，灵活地加以运用，不应过于拘泥，这样才能收到良好的效果.

（4）引用定理应切实注意定理的前提，只有完全符合定理才能导出想证的结论.

（5）在教学中，应认真分析定理结构，交代清楚每一个定理的证明思路和用法，并不断引导学生对所学定理进行归纳整理，分析比较其特点，才能做到系统掌握、逐步熟练、逐步提高.

■ 转换证题结论

随着学习的进展，在证题思路上也得拓展，许多证题就其结论而言，都能从所学定理直接导出，因此有必要对欲证结论进行转换，以利于引用所学定理. 要实现命题结论的转化，必须把握住两个环节，一是确定转换方向，二是创造转换条件.

相等问题←→和差倍分问题不等问题及比例问题←→乘积问题度量关系

垂直问题←→平行问题点共线问题←→线共点问题共点圆问题←→圆共点问题位置关系

度量关系和位置关系也可相互转换，主要在于创造转换的条件. 从转换结论的方法来看，可从下列几方面探索：

1. 利用“媒介”进行传递，其方法是：

（1）欲证 a=b，取c=b，只需证a=c，或分别取a=c，d=b，只需证c=d.

（2）欲证a>b，取c≥b，只需证a>c，或取c≤a，只证b

例2？摇 圆内接四边形ABCD的对角线互相垂直，过其交点作任一边的垂线，必平分其对边. （其逆定理也成立，如图3所示）

2. 通过分割组合（或伸缩），其方法是：

（1）欲证a=b，取a=a■+a■，b=b■+b■，只需证a■=b■且a■=b■.

（2）欲证a=mb（m为正整数），取p=mb，只需证a=p或取q=■a，只需证b=q.

例3？摇 正三角形外接圆圆周上任意一点到对顶点的连线段等于到另两顶点连线段之和（如图4所示）.

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3. 改变结论形式. 有些证明题的结论，从几何关系来看不甚明显，或者缺乏几何意义，这就会给证明带来不便，为此，需改变结论形式，以利于寻求证题思路.

例4？摇 如图5所示，梯形ABCD的对角线相交于点O，过点O作边BC的平行线，交两腰AB，CD于点E和点F，求证：■+■=■.

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转换证题结论实质上是分析法的具体体现，分析法“执果索因”，其逆溯过程是将欲证结论逐步转换的过程.

■ 利用逆推探路

在思路分析中，就分析思维而言，一般都考虑如何用适当定理，如何转换证题思路，但在具体运用中还会遇到一定的困难，出现“卡壳”现象，这时又该如何解决呢？我们论证的命题，如果它是真实的（即成立的），那么它的题设与结论必然是和谐的，正因如此，我们可以借用结论作为“已知”条件来考查某一关系的存在性，从而解决论证的可行性.

1. 利用逆推探索思路可行性

例5？摇 如图6所示，过等腰直角三角形ABC的直角顶点A作BC的平行线，在其上取一点E，使BE=BC，连结BE交AC于点F，求证：CF=CE.

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思路分析？摇 欲证CF=CE，只需证∠CEF=∠CFE. 由题设BE=BC知∠BEC=∠BCE，因此只需证∠CFE=∠BCE. 由于∠CFE=∠EBC+∠BCF，∠BCE=∠BCF+∠ECF，故只需证∠EBC=∠ECF. 至此出现了“卡壳”现象，需另找途径.

故采用逆推来寻找新路. 设想如果有∠EBC=∠ECF，令其为x°，根据题设可知2（45+x）+x=180， 解得x=30，因此我们若能证得∠EBC=30°，则问题就解决了. 至此，自然就会想到直角三角形而作EG⊥BC于点G，只需证EG=■BE，这就很容易解决了. ？摇

2. 利用逆推探求辅助线的添设

添辅助线是几何证明题的关键，它与探索思路相辅相成. 逆推可以探索所需辅助线的特征，也可以从中发现用于解决问题的辅助线.

例6？摇 如图7所示，在△ABC中，∠B的外角平分线交AC的延长线于点D，求证：AB·BC-CD2=AC·CD-BD2.

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思路分析？摇 此题的题设条件比较简单，但结论复杂，直接引用定理无法入手，可转换其结论为AB·BC-AC·CD=CD2-BD2，或AB·BC+BD2=AC·CD+CD2，故AB·BC+BD2=AD·CD. AD·CD的出现使我们想到圆的割线定理，则作△ABC的外接圆，并延长DB交圆于点E，连结AE，则AD·CD=ED·BD=（EB+BD）·BD，即AD·CD=EB·BD+BD■，这就可证AB·BC=EB·BD，只需证△ABE∽△DBC即可.

■ 分析与综合相结合

在思路分析的过程中，一般是分析思维起主导作用，但多数是结合一定的综合思维进行. 在一个较复杂的证题过程中，它们是交错使用的，不应将它们分开.

例7？摇 如图8所示，在△ABC中，AB>AC，∠A的平分线交BC于点P，过点B作BH⊥AP于点H，M是BC的中点，连结AM并延长交BH于点Q，求证：PQ∥AB.

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思路分析？摇 证明PQ∥AB，一定是利用角的关系. 从图中看不太明显，一是用成比例线段，即证■=■，为此寻求“媒介”进行逆推，因此可过点A作BC的平行线交直线HM于点D，得出■=■. 于是只需证■=■，也就是说，BD∥QM. 若此结论成立，则四边形AMBD是平行四边形. 反之，若证得四边形AMBD是平行四边形，则问题得证. 至此应需证AD=BM，即证△ADE≌△BME，根据条件可先证AE=EB.

再从题设看，M是BC的中点，AP是∠BAC的平分线，且AP⊥BH，故可延长BH交AC的延长线于点F，则H是BF的中点，于是得MH∥AC，即直线HE平分AB. 这样就得出结论了.

■ 由特殊推一般

特殊情形有它自身的特殊性，往往比研究一般情形容易得多；而特殊情形下的结论，往往又是研究一般情形的先导和桥梁，因此，在讨论一般情形尚感根据不足时，可将问题按其条件进行特殊化处理，再把它扩大到一般性问题.

例8？摇 在△ABC中，∠A≥120°，P是三角形内任意一点，求证：PA+PB+PC>AB+AC.

思路分析？摇 题设中有∠A≥120°，则令∠A=120°为其特殊性，若把AB+AC进行“直化”，即延长CA到点D，使AD=AB，可知△ABD为正三角形. 由正三角形可知PA+PB≥PD，由此得证. 再把结论更换为∠A>120°的情形就可以证明了.

解答 （1）当∠A=120°时，如图9所示，延长CA到点D使AD=AB，连结BD，PD，则△ABD为正三角形，可知PA+PB≥PD，又PC+PD>AD+AC，所以PA+PB+PC>AD+AC=AB+AC.

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（2）当∠A>120°时，因∠A<180°，则∠PAB，∠PAC中至少有一个角小于120°，令∠PAB<120°，以AB为一边作∠BAE=120°使角的另一边AE交PC于点E（如图10所示），连结BE，由于∠BAC>120°，则点E在线段PC内，又点P在△ABC内，则∠BPE<180°，从而点P必在△ABE内部，所以PA+PB+PE>AB+AE. 故PA+PB+PC=PA+PB+PE+EC>AB+AE+EC>AB+AC.

综上所述，PA+PB+PC>AB+AC

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以上讨论的思维方法因题而异，也因人而异，不能固守成法，不能孤立对待，应注意灵活运用，并且在实践中不断归纳总结所获得的经验，逐步提高，方能取得良好的效果.