圆中的考点透视

卢加月

圆是中考的重点内容，考点涵盖圆的基本性质，点、直线与圆的位置关系，正多边形与圆，弧长和扇形的面积等多个方面内容.现把圆中常考的知识点归纳如下，供参考.

考点1 圆的有关概念

例1 如图1，将半径为2 cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕AB的长为（ ）.

A. 2 cm

B. cm

C. 2 cm

D. 2 cm

【解析】连接AO、BO，作OM⊥AB交圆于点M，由于折叠后的圆弧所在的圆与☉O是等圆，则OA=OB=AM=BM，四边形AOBM为菱形，且∠AOB=120°，可求得AB=2 cm，选C.

【点评】本题考查圆的半径、弧、等圆等概念.

考点2 圆的对称性

例2 下列图形中是中心对称图形的是（ ）.

【解析】A、C、D都不是中心对称图形，应排除；只有B是中心对称图形，故选B.

【点评】圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，但与其他图形组合时，要全面考虑组合图形的对称性.

考点3 垂径定理及其应用

例3 如图2，在平面直角坐标系中，点P在第一象限，作PQ垂直x轴于Q，以点P为圆心，PQ为半径的☉P与y轴交于M（0，2），N（0，8）两点，则点P的坐标是（ ）.

A. （5，3） B. （3，5）

C. （5，4） D. （4，5）

【解析】MN=8-2=6，作PA⊥MN于点A，由垂径定理知AM=AN=3，AO=5. 连接PM，则由四边形AOQP为矩形知PM=PQ=AO=5. 在Rt△PAM中，可求得PA=4，故点P（4，5），选D.

【点评】在运用垂径定理时，通常把弦长的一半、圆心到弦的距离、半径三者放到同一个直角三角形中，再求解.

考点4 直线与圆的位置关系

例4 直线l与半径为r的☉O相交，且点O到直线l的距离为6，则r的取值范围是（ ）.

A. r<6 B. r=6

C. r>6 D. r≥6

【解析】直线与圆相交，等价于圆心到直线的距离小于圆的半径. ∵直线l与☉O相交，∴圆心O到直线l的距离dd=6，∴选C.

【点评】解决此类问题一般通过比较圆心O到直线l的距离d与圆半径r的大小关系来进行判定.

考点5 切线的判定

例5 如图3，线段AB经过圆心O，交☉O于点A、C，点D在☉O上，连接AD、BD，∠A=∠B=30°. BD是☉O的切线吗？请说明理由.

【解析】BD是☉O的切线. 由于点D在圆上，所以只要证明OD⊥BD即可. 连接OD，∵∠A=∠B=30°，∴∠BDA=180°-（∠A+∠B）=120°，∵OA=OD，∴∠ADO=∠A=30°，∴∠BDO=∠BDA-∠ADO=90°，即OD⊥BD，∴BD是☉O的切线.

【点评】证明一条直线是否为圆的切线，首先看这条直线是否过半径的外端，如果已知直线过半径的外端，则构造半径，证这条直线与这条半径垂直；如果不能判定直线过半径的外端，则过圆心作这条直线的垂线段，证垂线段等于圆的半径.

考点6 切线的性质

例6 （2013·广东珠海）如图4，☉O经过菱形ABCD的三个顶点A、C、D，且与AB相切于点A.

（1） 求证：BC为☉O的切线；

（2） 求∠B的度数.

【解析】（1） 连接OA、OB、OC、BD，根据切线的性质得OA⊥AB，即∠OAB=90°，再根据菱形的性质得BA=BC，利用“SSS”可判断△ABO≌△CBO，则∠BAO=∠BCO=90°，根据切线的判定方法即可得到结论；（2） 由切线长定理可知BO平分∠ABC，又菱形的对角线平分对角，所以点O在BD上；利用三角形外角性质有∠BOC=∠ODC+∠OCD，即∠BOC=2∠ODC，由于CB=CD，则∠OBC=∠ODC，所以∠BOC=2∠OBC，根据∠BCO=90°，可计算出∠OBC=30°，所以∠ABC=2∠OBC=60°.

【点评】当条件中出现圆的切线时，构造与切线垂直的半径是常用的辅助线.

考点7 正多边形与圆

例7 （2013·山东滨州）若正方形的边长为6，则其外接圆半径与内切圆半径的大小分别为（ ）.

A. 6，3 B. 3，3

C. 6，3 D. 6，3

【解析】如图5，∵正方形的边长为6，∴AB=3，又∵∠AOB=45°，∴OB=3，∴AO==3，故选B.

【点评】由正多边形的边长一半、外接圆半径、内切圆半径正好组成一个直角三角形，这是我们解决正多边形与圆的有关问题时常用的基本图形.

考点8 弧长和扇形的面积的计算

例8 （1） （2013·浙江舟山）如图6，某厂生产横截面直径为7 cm的圆柱形罐头，需将“蘑菇罐头”字样贴在罐头侧面，为了获得较佳视觉效果，字样在罐头侧面所形成的弧的度数为90°，则“蘑菇罐头”字样的长度为（ ）.

A. cm B. cm

C. cm D. 7π cm

（2） 在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12，BC=5，将△ABC绕边AC所在直线旋转一周得到圆锥，则该圆锥的侧面积是（ ）.

A. 25π B. 65π

C. 90π D. 130π

【解析】（1） 根据题意得出圆的半径，及弧所对的圆心角，代入公式计算即可.∵字样在罐头侧面所形成的弧的度数为90°，∴此弧所对的圆心角为90°，由题意可得，r= cm，则“蘑菇罐头”字样的长==cm. ∴选B；（2） 由题意可知，圆锥的底面圆半径为5，周长为10π；又母线为13，则该圆锥的侧面积为65π，选B.

【点评】利用弧长和扇形面积公式进行计算一般有三种类型：①已知r、n，代入公式直接求l或S；②已知n、l或S，代入公式借助方程求r；③已知r、l或S，代入公式借助方程求n.

考点9 阴影部分面积的计算

例9 （2013·山西）如图7，四边形ABCD是菱形，∠A=60°，AB=2，扇形BEF的半径为2，圆心角为60°，则图中阴影部分的面积是（ ）.

A. - B. -

C. π- D. π-

【解析】扇形BEF的面积为S1==，菱形ABCD的面积为SABCD=2××2×=2，如图7，连接BD，易证△BDP≌△BCQ，所以四边形BPDQ的面积等于△BCD的面积，为，则阴影部分的面积为-，选B.

【点评】计算不规则图形面积时基本指导思想是转化，基本方法是分解和组合.

（作者单位：江苏省兴化市楚水初级中学）