两大部类扩大再生产的充分必要条件与求解

摘 要 两大部类扩大再生产的充分必要条件也就是马克思扩大再生产公式有解的充分必要条件.直到目前，由于还没有严谨地提出对于扩大再生产公式的一般求解方法，因而也没有严格地确定扩大再生产的充分必要条件.本文基于已经有研究获得的扩大再生产的一个必要条件，建立一种求解扩大再生产问题的一般方法，从而证明这个必要条件能够成为充分条件，由此确定它是充分必要条件.进而使用变量替换法，给出了通过直接求解两个部类的剩余价值积累率而求解扩大再生产问题的另一种方法.最后引用《资本论》中的两个实例，对所给出的两种求解扩大再生产问题的一般方法做了计算验证.

关键词 扩大再生产；求解；充分必要条件；参数； 线性方程组

中图分类号 F224，F014.3 文献标识码 A

On the Sufficient and Necessary Condition for the

TwoSector Expanded Reproduction and Its Solution

TAO Weiqun

（Nanjing Branch，The Peoples Bank of China，Nanjing，Jiangsu 210004，China）

Abstract The sufficient and necessary condition for the twosector expanded reproduction is also the condition for the existence of solution of Marxs expanded reproduction scheme. By now the condition has not been defined strictly because a general method of solution to Marxs expanded reproduction scheme has not been presented scrupulously. This paper set a general method of solution to the problem of the twosector expanded reproduction with a necessary condition which has been obtained in some research. Therefore， this necessary condition was proved to be the sufficient and necessary condition for the reproduction. Then， by use of a method of variable substitution， the paper gave another method of solution to the expanded reproduction by taking direct solutions to the rates of surplus valuable accumulation of two sectors. Finally， two examples from Marxs “Das kapital” were drawn upon to verify two methods of solution to the problem of the expanded reproduction in a calculative way.

Key words expanded reproduction； solution； sufficient and necessary condition； parameter； linear system of equation

1 引 言

马克思的两大部类社会扩大再生产是否存在着充分必要条件，以及如果存在是怎样的，是再生产理论中一个有待研究和解决的基础理论性问题.社会扩大再生产的充分必要条件也就是马克思扩大再生产公式有解的充分必要条件.到目前，政治经济学教科书中只是列出了扩大再生产的部分前提条件，没有给出扩大再生产的充分必要条件[1].主要在于，还没有严格地确定扩大再生产的充分条件.从一个数学问题的视角看，经典的马克思扩大再生产公式是一个特殊的线性方程组，没有严格地确定扩大再生产的充分条件与缺乏严谨的对于这个特殊的线性方程组的一般求解方法，是同一个问题的两个方面.已经有一些关于扩大再生产的充分条件、必要条件的研究.朱殊洋（2006）对马克思扩大再生产的充分条件作了探讨，但没有给出一个确切的充分条件[2].陶为群、陶川（2012，2013） 在运用参数线性规划方法研究扩大再生产优化问题时，给出了扩大再生产有最优解的一个充分必要条件，之后又证明了这个条件也是社会扩大再生产的必要条件，但没有论述扩大再生产问题的一般求解方法[3，4].不过，他们使用“价值系数法”作为求解扩大再生产优化问题的一种简便方法，为找到扩大再生产的一般求解方法提供了启示.基于上述研究结果，可以针对已经获得的扩大再生产的必要条件，建立一种严谨的求解扩大再生产问题的一般方法，从而严格地证明这个必要条件也是充分条件，所以成为充分必要条件.还可以运用变量替换法，使这种求解扩大再生产问题的一般方法更简明和便于使用.

2 两大部类扩大再生产的

一个必要条件及其经济含义

马克思社会再生产理论以社会再生产公式集中体现.陶为群、陶川（2013）指出，经典的马克思再生产公式是表示社会再生产中生产资料、消费资料两个部类的产品价值构成和生产资料、消费资料总产品的供给与需求怎样均衡的一个线性方程组[4].按照再生产理论，社会生产部门划分成生产生产资料、消费资料的两个部类，分别记为第Ⅰ、Ⅱ部类.第j部类（j=Ⅰ，Ⅱ.下同）在年初时点的总资本分解成用于购买生产资料的不变资本、购买劳动力的可变资本两个部分，分别记为 Cj，Vj，由V本文针对已经有研究获得的两大部类扩大再生产的一个必要条件[4]，通过建立一种求解扩大再生产问题的一般方法，证明了这个必要条件能够成为充分条件，从而确定了扩大再生产的充分必要条件.这里所确定的充分必要条件，仅仅是针对一个年份的扩大再生产而言，所以是静态意义下的扩大再生产的充分必要条件.当社会扩大再生产连年不中断地持续进行，就形成了扩大再生产的动态化.扩大再生产的动态化，需要任何一个年份的扩大再生产都得以实现，所以，静态意义下的扩大再生产的充分必要条件首先成为扩大再生产动态化的必要条件.如果扩大再生产动态化的充分必要条件也存在，那么肯定要比静态意义下的充分必要条件严格.因而，本文给出的静态意义下的扩大再生产的充分必要条件，为进一步研究分析动态意义下的扩大再生产的充分必要条件，确定了可能的边界，并提供了可以借鉴的论证方法.本文给出的静态意义下的扩大再生产的解函数，也为求解扩大再生产动态化的一般问题提供了有益的启示.

参考文献

[1] 程恩富，冯金华，马艳. 现代政治经济学新编（完整版·第二版）[M].第2版.上海：上海财经大学出版社，2012：195-207.

[2] 朱殊洋.马克思扩大再生产充分条件的一个证明[J].探求，2006（3）：46-47.

[3] 陶为群，陶川.马克思扩大再生产模型的多参数线性规划与解[J].数量经济济术经济研究， 2012，29（10）：139-149.

[4] 陶为群，陶川.两大部类扩大再生产中的广义拉格朗日乘子[J].经济数学，2013，30（4）：49-54.

[5] 马克思.资本论（第二卷） [M].北京：人民出版社，2004：574-585.endprint

摘 要 两大部类扩大再生产的充分必要条件也就是马克思扩大再生产公式有解的充分必要条件.直到目前，由于还没有严谨地提出对于扩大再生产公式的一般求解方法，因而也没有严格地确定扩大再生产的充分必要条件.本文基于已经有研究获得的扩大再生产的一个必要条件，建立一种求解扩大再生产问题的一般方法，从而证明这个必要条件能够成为充分条件，由此确定它是充分必要条件.进而使用变量替换法，给出了通过直接求解两个部类的剩余价值积累率而求解扩大再生产问题的另一种方法.最后引用《资本论》中的两个实例，对所给出的两种求解扩大再生产问题的一般方法做了计算验证.

关键词 扩大再生产；求解；充分必要条件；参数； 线性方程组

中图分类号 F224，F014.3 文献标识码 A

On the Sufficient and Necessary Condition for the

TwoSector Expanded Reproduction and Its Solution

TAO Weiqun

（Nanjing Branch，The Peoples Bank of China，Nanjing，Jiangsu 210004，China）

Abstract The sufficient and necessary condition for the twosector expanded reproduction is also the condition for the existence of solution of Marxs expanded reproduction scheme. By now the condition has not been defined strictly because a general method of solution to Marxs expanded reproduction scheme has not been presented scrupulously. This paper set a general method of solution to the problem of the twosector expanded reproduction with a necessary condition which has been obtained in some research. Therefore， this necessary condition was proved to be the sufficient and necessary condition for the reproduction. Then， by use of a method of variable substitution， the paper gave another method of solution to the expanded reproduction by taking direct solutions to the rates of surplus valuable accumulation of two sectors. Finally， two examples from Marxs “Das kapital” were drawn upon to verify two methods of solution to the problem of the expanded reproduction in a calculative way.

Key words expanded reproduction； solution； sufficient and necessary condition； parameter； linear system of equation

1 引 言

马克思的两大部类社会扩大再生产是否存在着充分必要条件，以及如果存在是怎样的，是再生产理论中一个有待研究和解决的基础理论性问题.社会扩大再生产的充分必要条件也就是马克思扩大再生产公式有解的充分必要条件.到目前，政治经济学教科书中只是列出了扩大再生产的部分前提条件，没有给出扩大再生产的充分必要条件[1].主要在于，还没有严格地确定扩大再生产的充分条件.从一个数学问题的视角看，经典的马克思扩大再生产公式是一个特殊的线性方程组，没有严格地确定扩大再生产的充分条件与缺乏严谨的对于这个特殊的线性方程组的一般求解方法，是同一个问题的两个方面.已经有一些关于扩大再生产的充分条件、必要条件的研究.朱殊洋（2006）对马克思扩大再生产的充分条件作了探讨，但没有给出一个确切的充分条件[2].陶为群、陶川（2012，2013） 在运用参数线性规划方法研究扩大再生产优化问题时，给出了扩大再生产有最优解的一个充分必要条件，之后又证明了这个条件也是社会扩大再生产的必要条件，但没有论述扩大再生产问题的一般求解方法[3，4].不过，他们使用“价值系数法”作为求解扩大再生产优化问题的一种简便方法，为找到扩大再生产的一般求解方法提供了启示.基于上述研究结果，可以针对已经获得的扩大再生产的必要条件，建立一种严谨的求解扩大再生产问题的一般方法，从而严格地证明这个必要条件也是充分条件，所以成为充分必要条件.还可以运用变量替换法，使这种求解扩大再生产问题的一般方法更简明和便于使用.

2 两大部类扩大再生产的

一个必要条件及其经济含义

马克思社会再生产理论以社会再生产公式集中体现.陶为群、陶川（2013）指出，经典的马克思再生产公式是表示社会再生产中生产资料、消费资料两个部类的产品价值构成和生产资料、消费资料总产品的供给与需求怎样均衡的一个线性方程组[4].按照再生产理论，社会生产部门划分成生产生产资料、消费资料的两个部类，分别记为第Ⅰ、Ⅱ部类.第j部类（j=Ⅰ，Ⅱ.下同）在年初时点的总资本分解成用于购买生产资料的不变资本、购买劳动力的可变资本两个部分，分别记为 Cj，Vj，由V本文针对已经有研究获得的两大部类扩大再生产的一个必要条件[4]，通过建立一种求解扩大再生产问题的一般方法，证明了这个必要条件能够成为充分条件，从而确定了扩大再生产的充分必要条件.这里所确定的充分必要条件，仅仅是针对一个年份的扩大再生产而言，所以是静态意义下的扩大再生产的充分必要条件.当社会扩大再生产连年不中断地持续进行，就形成了扩大再生产的动态化.扩大再生产的动态化，需要任何一个年份的扩大再生产都得以实现，所以，静态意义下的扩大再生产的充分必要条件首先成为扩大再生产动态化的必要条件.如果扩大再生产动态化的充分必要条件也存在，那么肯定要比静态意义下的充分必要条件严格.因而，本文给出的静态意义下的扩大再生产的充分必要条件，为进一步研究分析动态意义下的扩大再生产的充分必要条件，确定了可能的边界，并提供了可以借鉴的论证方法.本文给出的静态意义下的扩大再生产的解函数，也为求解扩大再生产动态化的一般问题提供了有益的启示.

参考文献

[1] 程恩富，冯金华，马艳. 现代政治经济学新编（完整版·第二版）[M].第2版.上海：上海财经大学出版社，2012：195-207.

[2] 朱殊洋.马克思扩大再生产充分条件的一个证明[J].探求，2006（3）：46-47.

[3] 陶为群，陶川.马克思扩大再生产模型的多参数线性规划与解[J].数量经济济术经济研究， 2012，29（10）：139-149.

[4] 陶为群，陶川.两大部类扩大再生产中的广义拉格朗日乘子[J].经济数学，2013，30（4）：49-54.

[5] 马克思.资本论（第二卷） [M].北京：人民出版社，2004：574-585.endprint

摘 要 两大部类扩大再生产的充分必要条件也就是马克思扩大再生产公式有解的充分必要条件.直到目前，由于还没有严谨地提出对于扩大再生产公式的一般求解方法，因而也没有严格地确定扩大再生产的充分必要条件.本文基于已经有研究获得的扩大再生产的一个必要条件，建立一种求解扩大再生产问题的一般方法，从而证明这个必要条件能够成为充分条件，由此确定它是充分必要条件.进而使用变量替换法，给出了通过直接求解两个部类的剩余价值积累率而求解扩大再生产问题的另一种方法.最后引用《资本论》中的两个实例，对所给出的两种求解扩大再生产问题的一般方法做了计算验证.

关键词 扩大再生产；求解；充分必要条件；参数； 线性方程组

中图分类号 F224，F014.3 文献标识码 A

On the Sufficient and Necessary Condition for the

TwoSector Expanded Reproduction and Its Solution

TAO Weiqun

（Nanjing Branch，The Peoples Bank of China，Nanjing，Jiangsu 210004，China）

Abstract The sufficient and necessary condition for the twosector expanded reproduction is also the condition for the existence of solution of Marxs expanded reproduction scheme. By now the condition has not been defined strictly because a general method of solution to Marxs expanded reproduction scheme has not been presented scrupulously. This paper set a general method of solution to the problem of the twosector expanded reproduction with a necessary condition which has been obtained in some research. Therefore， this necessary condition was proved to be the sufficient and necessary condition for the reproduction. Then， by use of a method of variable substitution， the paper gave another method of solution to the expanded reproduction by taking direct solutions to the rates of surplus valuable accumulation of two sectors. Finally， two examples from Marxs “Das kapital” were drawn upon to verify two methods of solution to the problem of the expanded reproduction in a calculative way.

Key words expanded reproduction； solution； sufficient and necessary condition； parameter； linear system of equation

1 引 言

马克思的两大部类社会扩大再生产是否存在着充分必要条件，以及如果存在是怎样的，是再生产理论中一个有待研究和解决的基础理论性问题.社会扩大再生产的充分必要条件也就是马克思扩大再生产公式有解的充分必要条件.到目前，政治经济学教科书中只是列出了扩大再生产的部分前提条件，没有给出扩大再生产的充分必要条件[1].主要在于，还没有严格地确定扩大再生产的充分条件.从一个数学问题的视角看，经典的马克思扩大再生产公式是一个特殊的线性方程组，没有严格地确定扩大再生产的充分条件与缺乏严谨的对于这个特殊的线性方程组的一般求解方法，是同一个问题的两个方面.已经有一些关于扩大再生产的充分条件、必要条件的研究.朱殊洋（2006）对马克思扩大再生产的充分条件作了探讨，但没有给出一个确切的充分条件[2].陶为群、陶川（2012，2013） 在运用参数线性规划方法研究扩大再生产优化问题时，给出了扩大再生产有最优解的一个充分必要条件，之后又证明了这个条件也是社会扩大再生产的必要条件，但没有论述扩大再生产问题的一般求解方法[3，4].不过，他们使用“价值系数法”作为求解扩大再生产优化问题的一种简便方法，为找到扩大再生产的一般求解方法提供了启示.基于上述研究结果，可以针对已经获得的扩大再生产的必要条件，建立一种严谨的求解扩大再生产问题的一般方法，从而严格地证明这个必要条件也是充分条件，所以成为充分必要条件.还可以运用变量替换法，使这种求解扩大再生产问题的一般方法更简明和便于使用.

2 两大部类扩大再生产的

一个必要条件及其经济含义

马克思社会再生产理论以社会再生产公式集中体现.陶为群、陶川（2013）指出，经典的马克思再生产公式是表示社会再生产中生产资料、消费资料两个部类的产品价值构成和生产资料、消费资料总产品的供给与需求怎样均衡的一个线性方程组[4].按照再生产理论，社会生产部门划分成生产生产资料、消费资料的两个部类，分别记为第Ⅰ、Ⅱ部类.第j部类（j=Ⅰ，Ⅱ.下同）在年初时点的总资本分解成用于购买生产资料的不变资本、购买劳动力的可变资本两个部分，分别记为 Cj，Vj，由V本文针对已经有研究获得的两大部类扩大再生产的一个必要条件[4]，通过建立一种求解扩大再生产问题的一般方法，证明了这个必要条件能够成为充分条件，从而确定了扩大再生产的充分必要条件.这里所确定的充分必要条件，仅仅是针对一个年份的扩大再生产而言，所以是静态意义下的扩大再生产的充分必要条件.当社会扩大再生产连年不中断地持续进行，就形成了扩大再生产的动态化.扩大再生产的动态化，需要任何一个年份的扩大再生产都得以实现，所以，静态意义下的扩大再生产的充分必要条件首先成为扩大再生产动态化的必要条件.如果扩大再生产动态化的充分必要条件也存在，那么肯定要比静态意义下的充分必要条件严格.因而，本文给出的静态意义下的扩大再生产的充分必要条件，为进一步研究分析动态意义下的扩大再生产的充分必要条件，确定了可能的边界，并提供了可以借鉴的论证方法.本文给出的静态意义下的扩大再生产的解函数，也为求解扩大再生产动态化的一般问题提供了有益的启示.

参考文献

[1] 程恩富，冯金华，马艳. 现代政治经济学新编（完整版·第二版）[M].第2版.上海：上海财经大学出版社，2012：195-207.

[2] 朱殊洋.马克思扩大再生产充分条件的一个证明[J].探求，2006（3）：46-47.

[3] 陶为群，陶川.马克思扩大再生产模型的多参数线性规划与解[J].数量经济济术经济研究， 2012，29（10）：139-149.

[4] 陶为群，陶川.两大部类扩大再生产中的广义拉格朗日乘子[J].经济数学，2013，30（4）：49-54.

[5] 马克思.资本论（第二卷） [M].北京：人民出版社，2004：574-585.endprint