一维水驱油变压力驱替过程推导

刘海龙，由春梅，姜雪岩，王曙光

（中国石油大庆油田有限责任公司勘探开发研究院，黑龙江大庆 163712）

对于水驱油藏，Buckley－Leverett方程给出了累积注入量与含水饱和度分布的关系，通过这个关系，在某一时刻，在已知相渗曲线、油层孔渗数据、注采井距、总注入量、注采压差的情况下，能够求得含水饱和度分布、水驱前缘位置（采出端未见水时）、注入速度、采出端含水率等一系列动态指标［1－5］。以上求解是针对某一瞬时，而研究驱替过程就需要研究驱替状态随时间的变化情况，就需要引入时间这个变量。以往的解决方法都是设定注入速度不变，这样就把时间与总注入量通过恒定的注入速度直接联系起来，从而把时间引入到驱替理论体系中［6］。

如果要设定压力为已知条件去求解驱替过程，由于注入速度不再是恒定不变，而且注入速度随压力变化没有简单明了的直接关系［7－12］，就无法利用累积注入量、注入速度、时间之间的关系把时间引入，针对这一问题，作者在另一篇文章中推导了一维水驱油恒压驱替过程［13］，给出了在恒定压力情况下水驱油过程中各项动态数据随时间变化的情况。本文以其中的中间结果为基础，进一步推导了变压力情况下的水驱油驱替过程。

1 采出端见水之前的驱替

假设条件：一维油层，一注一采；不考虑岩石、流体的压缩性、毛管力的作用；截面积为1 m2。通常，压力的变化可以认为是随时间不断变化，这种模式是相对比较多见，因此本文以压力随时间变化为设定条件，某时刻t，注入端压力pw（t），采出端压力po（t），注采压差p（t）＝po（t）－pw（t）；开始注水为初始0时刻；注入端为x＝0位置；注采两端距离为L，水黏度为μw，油黏度为μo，束缚水饱和度为Swc，残余油饱和度为Sor；掌握比较规范的相渗数据并根据相渗曲线计算的分流率f（Sw）、分流率导数f′（Sw），驱替过程中t时刻含水饱和度的分布见图1，相对渗透率、分流率、分流率导数与含水饱和度的关系曲线见图2。

图1 采出端见水前含水饱和度分布

某一时刻t，由文献［13］中采出端见水前的积分式可知：

式中：K——砂岩渗透率，10－3μm2；φ——孔 隙度，%；系数α参见文献［13］；Swf——水驱前缘含水饱和度，%；Q——累积注入量，m3。

整理（1）式，并积分求得某时刻tn的总注入量：

图2 相对渗透率、分流率、分流率导数关系曲线

定义Ar是压力曲线与表示时间的x轴在坐标上围出的面积，可以称为压时面积，即Ar＝。则（2）式可以整理为：

考虑条件t＝0时，Q＝0，则式（3）的解为

式（4）给出了压时面积、总注入量之间的函数关系，进一步根据Buckley－Leverett方程可求得给定时刻的注入速度、饱和度分布、见水时间等相关数据。并由此可见采出端见水前的驱替进程是由压时面积决定的。

（5）式给出了一维水驱油采出端见水前压时面积、位置、含水饱和度之间的关系。水驱前缘至采出端的含水饱和度为束缚水饱和度。

2 采出端见水之后的驱替

随着水驱油过程的不断进行，水驱前缘不断向前推进，设采出端见水时刻为t0，见水后含水饱和度的分布见图3。

图3 见水后含水饱和度的分布

某一时刻t，由文献［13］中采出端见水后的微分式可知：

式中：Swe——出口端含水饱和度；φ1函数参见文献［13］。

t0时刻出口端含水饱和度为水驱前缘含水饱和度Swf，见水后某时刻tn1出口端的含水饱和度为Swen，整理（6）式并积分：

式中：Sw为对应于某一位置 的含水饱和度。

（8）式即为一维水驱油采出端见水后压时面积、位置、含水饱和度之间关系的计算公式。可见采出端见水后的驱替进程是由压时面积决定的。

3 举例计算

选取大庆油田渗透率为0.1μm2标准的相对渗透率曲线［14］，注入端、采出端压力差与时间的关系：P（t）＝6＋0.001t（压力单位 MPa，时间单位千秒），油层渗透率0.1μm2，两端距离250 m，截面积1 m2，孔隙度0.267。以上述条件计算驱替过程，求解日注入量并与数值模拟结果对比，给出第100天和第400天的含水饱和度分布。

3.1 日注入量求解过程

（1）由 Buckley－Leverett方 程 L ＝f′（Swf）Qw／φ，计算见水时刻的总注入量Qw。

（2）计算每天的压时面积，并由（4）式计算采出端见水前累积注入量，计算结果选取小于Qw的数值。

（3）当由（4）式计算的累积注入量第一个大于Qw的时间点，使用见水后的求解方法：计算见水后每天的压时面积，并由（7）式计算每天的φ2函数值。

（4）使用作图法，根据φ2函数值求得f′（Swen），并由（8）式计算见水后每天的累积注入量。（φ2函数的内容参见文献［13］）

（5）根据见水前、见水后相邻两天的累积注入量的差值，得到每天的日注入量。

（6）使用数值模拟方法，建立一维模型，按照给出的驱替条件模拟计算，并对比模拟结果和理论计算结果，二者的对比曲线如图4所示。

3.2 含水饱和度分布求解过程

（1）（6）式Lf取注采井距250 m，求得见水时刻压时面积，根据压力与时间给定的关系，求得见水时间为156天，可判断第100天未见水，并计算第100天的压时面积。

（2）100天的压时面积代入（6）式计算第100天水驱前缘位置为122.95 m

（3）第100天的压时面积代入（5）式计算注入端至水驱前缘的含水饱和度分布，即每一个位置x确定对应的含水饱和度Sw，水驱前缘至采出端为束缚水饱和度。

（4）第400天大于见水时间156天，采出端见水，计算第400天的压时面积。

（5）第100天的压时面积代入（9）式求得φ2函数，使用作图法，根据φ2函数值求得函数自变量值，从而得到位置x与含水饱和度Sw的关系。

计算结果如图5、图6所示

图5 第100天含水饱和度分布

图6 第400天含水饱和度分布

4 结论与认识

（1）可以通过压时面积把时间、随时间变化的压力引入到驱替理论体系中，建立一维水驱油变压力驱替过程的求解方法，进一步完善一维水驱油理论体系。

（2）压时面积决定了一维水驱油变压力驱替的进程。

（3）一维水驱油变压力驱替过程中，驱替动态与储层孔隙度、渗透率、注采井距存在确定的数学关系，这一结论可用于研究油层静态参数对开发动态的影响。

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