弹性支撑阶梯柱侧向位移与稳定性的精确分析

都亮，陆念力，兰朋

(哈尔滨工业大学机电工程学院，黑龙江哈尔滨150001)

在工程起重机、钢结构桥梁、以及房屋建筑中，为合理地利用材料和减轻重量，梁柱的截面经常沿轴向发生变化，呈阶梯柱或截面连续变化的形式。对于该类结构的稳定性问题，许多学者进行了深入研究［1-4］。中国起重机设计规范 GB/T3811-2008中，起重机伸缩臂的失稳计算模型为变截面梯形柱［5］，其失稳临界力采用精确有限元法计算得到［6］。但上述研究均将假设边界约束条件为刚性或铰接，实际工程中箱形伸缩臂的边界约束条件并非完全铰接或固支，往往具有一定的弹性［7-9］。Timoshenko和Iyengar等对具有弹性约束的等截面梁屈曲问题进行了研究［1，10］。陆念力等［11］就两端弹性约束简支等截面压弯梁和弹性嵌固等截面悬臂压弯梁进行了分析;Vaziri等［12］研究了非均布轴向载荷作用下变截面梁柱的屈曲问题。LIQ S等［13-14］利用一系列等截面构件逼近的方法，提出了一种用于具有端部弹性支撑和分布力共同作用的变截面梁柱的稳定性分析方法并给出了具有特定形状的无侧向约束变截面悬臂梁稳定性分析的精确解析解。

本文针对端部弹性约束的变截面阶梯柱模型，通过微分方程法，基于二阶效应在变形后位形上建立平衡方程，得到顶端挠度精确解析表达式和失稳特征方程的精确递推公式，从而获取屈曲临界力。

1 计及二阶效应的弹性支撑变截面阶梯柱失稳特征方程

图1(a)所示的油缸变幅箱形伸缩臂平面内受力模型，假设变幅油缸刚度无穷大，则伸缩臂l0段连同变幅油缸可以等效为如图1(b)所示的转动刚度K0，则1(a)所示的箱形伸缩臂平面内刚度与稳定性问题转化为弹性约束下箱形伸缩臂侧向刚度与纵向稳定性问题。首先以图1(b)所示的弹性约束情况下变截面阶梯柱模型为研究对象进行刚度与稳定性分析。设各节臂截面惯性矩为Ii(i=1，2，3…n)，阶梯柱承受顶端弯矩M，侧向力Q和轴向力P，则其基于纵横弯曲理论建立的各节臂挠曲微分方程列为

上式可统一表示为

式中:k=

i。方程(2)的通解为

由x=xi时各段连接处变形谐调条件:yi=yi+1，＇=yi+1＇，得到

将式(5)用矩阵形式表达为

图1 起重机伸缩臂及等效弹性支撑阶梯柱模型Fig.1 M odel of crane telescopic boom and stepped colum n with elastically restrained

式中:

因此可得到积分常数An和Bn的递推表达式:

又由x=xn=l时伸缩臂顶部条件yn=δ得

将式(4)中 A1、B1代入式(9)得

求解式(10)可得阶梯柱自由端部挠度δ:

式中:

由挠度表达式(11)可知，当式中分母趋于0时，对应的挠度表达式皆表现为0/0不定式或者无穷大，结构失稳，从而有失稳特征方程:

若K0已知，式(12)是以ki为未知量的非线性超越方程，解此方程可得结构失稳临界力:

2 平面内失稳特征方程的显式表达

前述得出的失稳特征方程涉及到根部转动刚度K0，该转动刚度可由图1(a)模型中油缸支撑段求得。文献［1］给出长度为l0的两端铰接压弯柱在一端受力矩为M时的柱端转角:

当令M=1，得到柱端柔度，其倒数即为对应的转动刚度:

将此弹性支撑阶梯柱根部等效刚度K0的表达式代入失稳特征方程，可得到伸缩臂平面内失稳特征方程的完整精确表达。显然弹性约束伸缩臂的临界力取决于臂节几何参数及臂节数n，式(15)～(19)给出了工程中常见的5节以内起重机伸缩臂失稳特征方程的显式表达。

当n=1时，失稳特征方程式(12)可表示为

当n=2时，起重臂的失稳特征方程可表示为

当n=3时，起重臂的失稳特征方程可表示为

当n=4时，起重臂的失稳特征方程可表示为

当n=5时，起重臂的失稳特征方程可表示为

以上各式中采用符号tii=tan(kili)，li表示各节伸缩臂的长度，li=xi-xi-1，l1=x1，l=xn。

3 根部约束四级阶梯柱分析算例

应用前文得到的方法，对图2所示根部弹性约束四节臂变截面阶梯柱进行挠度与临界力计算。用有限元软件ANSYS分析对比，将每节臂分为10个单元计算，比较验证方法的精度与准确性。

如图2所示具有弹性约束的变截面阶梯柱，弹性模量E=206 GPa，阶梯柱长L=10 m，a1=0.34，a2=0.56，a3=0.78，I4=3.58 ×10-6m4，I1=2.2I2，I2=1.9I3，I3=1.3I4;载荷 Q=500 N，M=1 kN·m，P=5 kN 。

图2 四节臂弹性支撑变截面阶梯柱模型Fig.2 Model of four sectioned stepped column

以下将从2个方面对本文方法进行验证:

1)弹性支撑变截面阶梯柱之变形验证。引入无量纲弹性嵌固系数ξ=K0l/(EI1)，在不同弹性嵌固系数下，计算结果列于表1。由表中可见，所得计算结果与ANSYS几无差别。通过与ANSYS线性解即不考虑二阶效应时结果的比较，表明二阶效应对侧向刚度的影响。

2)弹性支撑变截面阶梯柱之屈曲验证。表2给出了不同弹性支撑情况下变截面阶梯柱临界力的计算长度系数μ值。计算结果与ANSYS分析结果完全一致。

表1 具有弹性约束的变截面阶梯柱自由端挠度Table 1 The deflection of variable cross-section stepped column with elastically restrained

表2 具有弹性约束的变截面阶梯柱的计算长度系数μ值Tab le 2 The effective length factorμ of variable cross-section stepped column with elastically restrained

4 结束语

本文对箱形伸缩臂平面内的受力模型进行了合理等效，得到了弹性约束条件下变截面阶梯柱失稳计算模型，弹性约束下变截面阶梯柱屈曲特征方程的精确递推公式。通过本文方法与ANSYS对实际算例进行分析比较发现，两者得到的稳定性分析结果完全一致，且在进行非线性挠度分析时误差随着弹性约束的刚度增加而逐渐减小，对于本文给出的实际模型其最大误差小于0.002%;ANSYS线性分析结果与本文非线性结果最大误差达19.8%，远超过工程应用5%的误差允许范围。算例表明本文针对弹性约束的变截面阶梯柱刚度与稳定性问题的理论推导是正确和必需的。

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