一维玻璃/硅橡胶声子晶体纵向振动带隙的控制研究

唐启祥，邱学云

（文山学院 信息科学学院，云南 文山 663000）

声子晶体是一种具有弹性波带隙的周期性结构材料，在带隙频率范围内，弹性波不能传播。声波，作为弹性波的一大类，与我们的生活和工作息息相关。而对我们的生活和工作造成危害的噪音也在声波之列。降低或消除噪音带来的危害显得非常重要和迫切。通过恰当的设计声子晶体的成分和结构，可以具有选择性地阻止噪音的传播。自声子晶体概念提出来之后［1-2］，对声子晶体的结构、带隙特性有了一定的研究。研究认为，声子晶体带隙产生的机理有两种：布拉格（Bragg）散射型和局域共振型。布拉格散射主要是材料结构的周期性起着主导作用，即当入射弹性波的波长与材料结构的晶格常数相近时，将受到材料结构的强烈散射，在某些频率段找不到散射波，从而出现禁带。后者主要是单个散射体的共振特性起主导作用［3-4］。研究的计算方法有传递矩阵法、平面波展开法、时域有限差分法、多散射理论及集中质量法等。不同的计算方法各有其适用条件和特点［5］。本文以尚未在文献中报道过的一维杆状玻璃/硅橡胶声子晶体作为研究对象，采用集中质量法，从改变声子晶体的晶格常数、组分比、密度、杨氏模量及泊松比等结构参数方面，应用MATLAB软件进行编程，计算其纵向振动带隙起止频率及宽度，寻找各种参数变化所引起的变化规律。

1 一维杆状声子晶体模型及集中质量法

1.1 一维杆状声子晶体模型

一维杆状声子晶体就是在一维方向上，弹性介质分布具有周期性的声子晶体结构。如果是由两种不同材料A和B交替排列构成，则称为二组元声子晶体；如果是由三种不同材料A、B和C交替排列构成，则称为三组元声子晶体，依次类推。如图1所示，为一维二组元声子晶体结构示意图。两种各自均匀且各向同性的材料A和B，依次沿x方向周期性排列，构成一维二组元杆状声子晶体。相邻A和B组元构成该声子晶体的一个原胞。材料A和B的长度分别记为aA和aB，a=aA+aB为声子晶体的一个晶格常数。如果是沿一维杆状声子晶体纵向振动所激发的弹性波将为纵波。纵波的传播特性由纵波的波动方程来求解。

图1 一维二组元声子晶体结构示意图

1.2 集中质量法

一维声子晶体的原胞是连续介质系统，理论上有无限多的自由度。将连续介质分解离散为有限个集中质量元，各集中质量元之间简化为无质量的弹簧相连接，原胞简化为有限个自由度的弹簧振子结构。这就是集中质量法的基本思想。

如图2所示，为一个原胞离散成n个质量元也即n个弹簧振子的情况。简化的弹簧振子的自由度数目越多，越接近于实际的原胞，计算精度也就越高。

图2 一维二组元声子晶体原胞离散示意图

第j个质量元mj的运动微分方程为

（1）式中，xj-1、xj和xj+1分别为第j-1、j和j+1个质量元的位置坐标，kj为第j个弹簧振子与第j+1个弹簧振子串联后的拉压刚度，kj-1为第j-1个弹簧振子与第j个弹簧振子串联后的拉压刚度。

根据Bloch定理，在周期边界条件下，该质量元运动微分方程的解可写为振幅为Aj、角频率为ω的简谐振动

将（2）式代入（1）式，简化后得

由于弹簧振子结构周期性排列，在周期边界条件下，有

将上式代入在上式（最后修改），并用矩阵形式表示该线性方程组

求解此矩阵X的特征值ω（q）与给定波矢q之间的关系，画出图来，就是上述周期弹簧振子结构的弹性波能带结构图［5］。本文研究纵波的带隙结构，只需将刚度采用纵波的刚度即可。

2 一维杆状声子晶体纵向带隙特性

2.1 实例计算

以一维杆状玻璃/硅橡胶声子晶体为例，按照表1设置材料的初始材料参数，进行声子晶体纵向带隙的计算。

表1 玻璃与硅橡胶初始材料参数

取材料晶格常数a=0.05 m，硅橡胶组分比t=0.5。将计算所得结果画成带隙结构图，见图3所示。

图3 一维玻璃/硅橡胶杆状声子晶体带隙结构图

由图可见，在晶格常数为0.05 m、组分比为1:1的条件下，该声子晶体的第一带隙的起始频率为191.3 Hz，截止频率为456.9 Hz，第一带隙宽度为265.6 Hz；第二带隙起始频率为535.3 Hz，截止频率为913.5 Hz，第二带隙宽度为378.2 Hz。第一、二带隙分布均在低频范围内，对阻止噪音是有效的。

2.2 一维杆状玻璃/硅橡胶声子晶体带隙变化规律

从理论分析可知，运动方程的解与晶格常数、质量密度、杨氏模量和泊松比的大小有关。这些结构参数对带隙的起始频率及带宽的影响程度，本研究采用每次仅改变一个参数固定其他参数的办法，通过MATLAB编程逐一进行计算得到相应结果，画出相应图像进行比较。

2.2.1 晶格常数对带隙的影响

如图4所示，保持其他参数不变，改变声子晶体的晶格常数，无论是第一带隙还是第二带隙，都具有这样的规律：随着晶格常数的增大，起始频率和截止频率均逐渐降低，带隙均逐渐变窄；晶格常数较小时变化较快，较大时变化较缓慢。当晶格常数增大到0.06 m，第一带隙起始频率为0.1367 kHz，第一带隙截止频率为0.3264 kHz，第一带隙宽度为0.1897 kHz；第二带隙的起始频率为0.3824 kHz，第二带隙的截止频率为0.6525 kHz，第二带隙宽度为0.2701 kHz。能够较好地阻止中频及中低频段噪音的传播。如果从实用效果和材料成本角度来看，可以选择0.06 m或稍大的厚度即可。

图4 晶格常数对带隙的影响

2.2.2 硅橡胶组分比对带隙的影响

如图5所示，保持其他参数不变，改变硅橡胶的组分比，声子晶体的第一、二带隙的起止频率均变低，但是带宽均变窄。第一带隙的起始频率变化不大，考虑带宽较宽更能有效减震降噪，可以考虑在组分比为0.2时，第一带隙起始频率0.25385 kHz（最低0.188191 kHz），较高的截止频率1.14142 kHz，且接近第二带隙的起始频率1.197493 kHz。由此可见，保持较小的硅橡胶组分比，不但有不算低的第一带隙起始频率，还可以具有较大的带宽，还能使得通带很窄。从实用角度来看，0.2～0.3左右的硅橡胶组分比较为适合。

图5 硅橡胶组分比对带隙的影响

2.2.3 密度对带隙的影响

对于二组元的声子晶体，保持其他参数不变，分别改变其中一种组元的密度，计算第一、二带隙的起止频率和带隙宽度。结果显示，玻璃的密度变化几乎不影响起止频率和带隙宽度，如图6所示；第一、二带隙的起止频率随硅橡胶的密度增大而缓慢降低，而带宽却缓慢变窄，如图7所示。

2.2.4 杨氏模量对带隙的影响

保持其他参数不变，分别改变玻璃和硅橡胶的杨氏模量，计算第一、二带隙的起止频率和带隙宽度。结果如图8所示，玻璃的杨氏模量的变化对起止频率和带隙宽度均没有影响；如图9所示随着硅橡胶的杨氏模量增大，第一、二带隙的起止频率和带隙宽度均较为均匀地增大。

图6 玻璃密度对带隙的影响

图7 硅橡胶密度对带隙的影响

图8 玻璃的杨氏模量对带隙的影响

图9 硅橡胶的杨氏模量对带隙的影响

2.2.5 泊松比对带隙的影响

保持其他参数不变，分别计算玻璃和硅橡胶的泊松比的变化对带隙起止频率和带隙宽度。结果如图10所示：玻璃的泊松比的变化对带隙起止频率和带隙宽度均无影响；硅橡胶的泊松比在0.1～0.3之间，几乎不影响带隙起止频率和宽度；在0.3～0.4之间，起止频率逐渐升高，带隙逐渐变宽；当大于0.4后，起止频率和带隙均迅速升高和变宽，如图10、图11所示。

图10 玻璃的泊松比对带隙的影响

图11 硅橡胶的泊松比对带隙的影响

图12 优化后的能带结构图

图13 优化并增大晶格常数后的能带结构图

3 结论

以玻璃/硅橡胶构成的一维杆状声子晶体为研究对象，采用集中质量法进行计算，将其离散成多个质量元，并用无质量的弹簧相连，建立质点运动微分方程，根据Bloch定理，在第一Brillouin区选取波矢，采用MATLAB编程计算其第一、第二带隙的起止频率和带隙宽度。结果显示，存在中频及中低频的纵波带隙。通过改变晶格常数、硅橡胶组分比、两种材料的密度、杨氏模量及组分比，能够适当调节带隙的起止频率和带隙宽度。能够在中频及中低频范围内较好地阻止声音的传播。并优化这几种参数的设置，得到比较理想的带隙起止频率和宽度。如图12所示，晶格常数 =0.06 m，硅橡胶组分比0.2，适中选取硅橡胶的密度1300 kg/m3，玻璃密度2560 kg/m3，玻璃杨氏模量2.5e10 Pa，硅橡胶杨氏模量2.0e5 Pa，玻璃泊松比0.22，硅橡胶泊松比0.4678，得到该声子晶体的能带图。其显著特点是：第一带隙起始频率272.4 Hz，比初始参数条件下的191.3 Hz有所增加，但第一带隙宽度952.4 Hz、第二带隙宽度1157.0 Hz均大大增大，且第一、二带隙之间的通带宽度仅为60.2 Hz。若适当增大晶格常数，比如为0.10 m，第一起始频率可降低至163.4 Hz，如图13所示。其他参数的影响就不作赘述了。总体上，可以在很大范围内阻止中频及中低频声音的传播。

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