网孔电流法分析理想电流源电路的研究

王秋妍 吕宏伟

摘要：电路原理是高等学校电子与电气信息类专业的专业基础课。针对电路理论中电路基本分析法之一“网孔电流法”进行教学探讨，重点讨论含有理想电流源电路的分析、处理思路，并通过例题予以分析说明，以此交流教学方法和经验。

关键词：电路原理;网孔电流法;理想电流源

中图分类号：TM13 文献标识码：A 文章编号：1007-0079（2014）32-0203-03

“电路”课程是高等学校电子与电气信息类专业的基础课，是所有强电专业和弱点专业的必修课，该课程以分析电路中的电磁现象，研究电路的基本规律及电路的分析方法为主要内容，在整个电子与电气信息类专业的人才培养方案和课程体系中起着承前启后的重要作用。[1]

电路分析中最基本的方法是以元件约束（伏安关系VAR）和拓扑约束（基尔霍夫电流定律KCL和基尔霍夫电压定律KVL）为依据，建立电路方程，进而分析电路的电流、电压、功率等。网孔电流法属于电阻电路的一般分析，是以网孔电流为变量，列写方程分析电路的方法。在理解网孔电流的概念和网孔电流法基本思想的基础上，如何掌握应用网孔电流法分析电路是十分重要的。

一、设计思路

回顾网孔电流法。网孔电流是假想的电流，网孔电流与支路电流之间通过基尔霍夫电流定律体现，网孔电流又是独立变量，因此可以作为变量来列写电路方程。由支路电流法和网孔电流与支路电流之间的关系，推导出网孔电流方程。剖析所得方程，建立方程与电路的联系：观察电路，通过自电阻、互电阻即可直接列写以网孔电流为变量的方程，求解方程得到网孔电流，而支路电流由基尔霍夫电流定律体现，进而求得电路的电压、功率等。

应用网孔电流法分析电路。有了网孔电流法的基本思想和分析思路，对于仅由电压源和电阻构成的电路，可以直接列写网孔电流方程，进行电路分析。但是，当电路中含有理想电流源时，根据网孔电流方程的实质及电流源的特性，此时无法直接列写网孔电流方程。分析过程中紧紧抓住方程的本质和电流源的特性，归纳总结处理思路。

二、网孔电流法

网孔电流是设想在每个网孔中沿着各自网孔循环往复流动的假想的电流。这种假想的电流不仅与真实存在的支路电流之间由基尔霍夫电流定律体现，而且是独立变量，因此可以以网孔电流为变量列写方程。虽然是由支路电流法推导出了网孔电流方程，但是经过剖析方程的实质，完全可以抛开支路电流法，由电路的拓扑结构，通过自电阻、互电阻直接列写电路的网孔电流方程，对于具有m个网孔的电路，其网孔电流方程的标准形式为：

（1）

方程组以网孔电流为变量，左边按未知数顺序排列，右边是常数项。Imm第一个下标表示网孔，第二个下标表示网孔数。具有相同下标的电阻Rkk是网孔k的自电阻，自电阻总为正，有不同下标的电阻 是网孔j与网孔k之间的互电阻，互电阻的正负视流过公共支路的两个网孔电流的方向来判断，如果流过公共支路的两个网孔电流方向相同，互电阻为正，反之互电阻为负，如果两个网孔之间没有公共支路，或者有公共支路但其电阻为零（例如共有支路间只有电压源），则互电阻为零。注意若所有网孔电流都取为顺时针（或逆时针）方向，流过公共支路的网孔电流方向必定相反，此时互电阻总是负的。[2]

在不含受控源的情况下，根据电路的拓扑结构，相邻两个网孔公共支路上的电阻必定相同，，即方程的系数矩阵是对称阵。方程右边是各网孔中所有电压源电压的代数和（电压升之和），根据基尔霍夫电压定律，与网孔电流一致的电压源取为“—”号，反之取为“+”号。

三、应用网孔电流法分析含有独立电流源的电路

仅由电压源和线性电阻构成的电路，通过方程的标准形式，由自电阻、互电阻列写网孔电流方程，求解方程，继而分析电路。但是实际电路中除了电压源和电阻之外，还可能含有理想电流源。

1.理想电流源

理想电流源是另一种理想电流源，它也是一些实际电源抽象、理想化的模型。通常也简称为电流源。

不论外部电路如何，其输出电流总能保持定值或一定的时间函数，其值与它的两端电压u无关的元件叫理想电流源，其模型用图1表示。

理想电流源的伏安关系为：

①电流源的输出电流由电源本身决定，与外电路无关;与它两端电压的方向、大小无关。

②电流源两端的电压由电流源及外电路共同决定。

可见，如图2所示直流电流源的伏安特性曲线，是平行于u轴其值为IS的直线，其发出的电流IS与其两端电压大小、方向无关。如果理想电流源IS=0，则伏安关系为U-i平面上的电压轴，它相当于开路。

2.含有理想电流源的电路

网孔电流方程的实质是列写网孔的基尔霍夫电压（KVL）方程，即列写网孔中各元件电压的约束方程。但是，根据理想电流源的特点，其两端的电压无法确定，所以无法直接列写方程。

当然，理想电流源时如果和电阻并联（称作有伴电流源），可利用电源等效变换，变换为电压源和电阻的串联，此时电路就是由电压源和电阻构成的，可直接列写网孔电流方程。如果没有电阻支路和电流源并联（称为无伴电流源），[3]就无法等效变换，下面就对含有无伴电流源的电路进行重点讨论。

电流源必定在电路中某条支路上，那么就存在两种情况：要么电流源所在支路独属于某一网孔，要么电流源所在支路是两个网孔的公共支路。

（1）理想电流源独属于某一网孔。如果电流源所在支路是某一網孔所独有的，不含电流源的网孔显然可以直接列写网孔电流方程，由电流源的性质，就决定了它所在支路的支路电流已知且等于该电流源的电流。根据网孔电流和支路电流之间的KCL关系，可以直接确定独自包含电流源支路的网孔电流，也就是说，独自包含电流源支路的网孔电流是已知的，其值就等于该网孔所包含电流源的电流，取“正”还是取“负”要看网孔电流和支路电流的参考方向，如果两者参考方向一致，取为“正”，反之取为“负”。

例1：列写图3所示电路的网孔电流方程。

分析：列写网孔电流方程首先标定网孔电流。图3、图4所示电路，由电压源、线性电阻和电流源组成。不含电流源的网孔，可以直接列写网孔电流方程，对于含有理想电流源的网孔，观察电路发现，理想电流源IS独属于该网孔，那么根据基尔霍夫电流定律，该网孔只需列写基尔霍夫电流方程（KCL方程）。

解：标定网孔电流，均取为顺时针方向，如图4所示。

根据电路的拓扑结构和网孔电流方程的标准形式，电路具有3个网孔时，标准方程为：

（2）

自电阻总为正，网孔电流均取为顺时针方向，互电阻总为负。对网孔1，自电阻，与网孔2的互电阻为，与网孔3的互电阻为，网孔1中电压源US与网孔电流方向相反，取为正。同理，列写网孔2的网孔电流方程。电流源IS独属于网孔3，根据基尔霍夫电流定律，列写KCL方程，且Im3与IS方向相同，取为“正”。

（3）

上式中有3个未知数，3个方程，其中网孔3的方程是KCL方程，显然，求解方程得到网孔电流，支路电流由KCL体现，进而求解电路的电压、功率等。

（2）理想电流源在两个网孔的公共支路上。如果电流源所在支路是两个网孔的公共支路，无法直接列写KCL方程，因此只能列写KVL方程。但是，在列写网孔电流方程时会遇到电流源，而电流源的伏安特性表明其两端电压由电流源和外电路共同决定，是未知的，无法列写方程。为了解决这个矛盾，必须从电路的拓扑和电流源的特性出发。当电路的结构和参数不变时，显然可以唯一确定电流源两端的电压，换句话说，对某一确定的电路虽然电路中电流源两端的电压无法计算，但是可以明确的是这个电压是个定值，即常数。这就为列写网孔电流方程打开了思路：为了列写网孔电流方程可以先将电流源两端确定不变的电压假设出来，此时列写的方程中多了一个未知数，要求解方程只能增加一个与之独立的方程。问题进一步变为如何增加这个补充方程。同样，根据电流源的伏安特性，电流源的输出电流是个定值，这就决定了电流源所在支路电流是已知的就等于电流源的电流。支路电流已知了，根据KCL就可以列写已知的支路电流与未知的网孔电流之间的方程，这就是求解方程需要的补充方程。

例2：列写图5所示电路的网孔电流方程。

分析：图5所示电路由电压源、电流源和电阻构成，与例1不同的是，电流源IS不再独属于某一网孔，而是两个网孔共有。网孔电流方程的实质是基尔霍夫电压方程（KVL方程），在绕行过程中必然会遇到理想电流源，根据理想电流源的特性，电流源两端的电压由该电流源和外电路共同决定，显然电流源两端的电压未知。因此，为了列写网孔电流方程，首先设电流源两端电压为U，列写含有未知数U的网孔电流方程。但是，在电路的结构和参数都确定的情况下，电流源两端电压为定值即为常量。所列方程含有未知数U，多了一个未知数，必须增加补充方程。电流源的电流已知为IS，根据基尔霍夫电流定律，建立电流源电流IS和与其关联的网孔电流之间的关系方程，方程数等于未知数，求解方程进而分析电路。

解：标定网孔电流，均取为顺时针方向，设电流源两端的电压为U，如图6所示。

根据网孔电流方程的标准形式，及例1的分析，可列写网孔1的网孔电流方程。网孔2的自电导是，与网孔1之间的互电导是，与网孔3之间的关系由U体现。同理，网孔3自电阻是，与网孔1之间的互电导是，与网孔2之间的关系由U体现。

（4）

式中假设的电流源两端电压U是常量，整理方程，将其移到方程右边，如式（5）所示。

（5）

观察方程，未知数U是常量，移到等号的右边，此方程与网孔电流方程的标准方程形式一致。此外，当电路的结构和参数确定时，电路中的电压源和电流源对外电路而言作用时等同的，因此，假设出电流源两端的电压U后，将电流源IS看作电压源U，直接按照网孔电流方程的标准形式列写方程。

只是所列方程数少于未知数，需要增加与之相互独立的补充方程。由基尔霍夫电流定律，建立电流源电流IS与网孔电流Im2、Im3之间的关系方程，Im2和Im3同时流过IS所在支路，Im2和IS同向取为正，Im3和IS反向为负。

增补方程：。

方程数与未知数相等，求解方程就可以进一步分析电路。

综上所述，当电路中含有电流源时：如果电流源独属于某一网孔，由基尔霍夫电流定律只需列写该网孔的KCL方程;如果电流源支路在两个网孔的公共支路上，根据理想电流源的特性，首先设出电流源两端的电压U。在电路的结构和参数都确定的情况下，电流源两端电压为定值即常量，移到方程的右边，也就是说列写方程时把电流源IS当作电压源U处理。多了一个未知数，必须增加补充方程，补充方程的原则是：建立已知的电流源电流IS与未知量（网孔电流）之间的关系方程，即根据基尔霍夫电流定律，建立电流源电流与其关联的网孔电流之间的关系方程。方程数等于未知数，求解方程进而分析电路。

四、总结

对于由独立电压源和线性电阻构成的电路，根据标准网孔电流方程，由自电阻、互电阻能够较容易的列写方程，进行电路的分析。但是应用网孔电流法分析含有理想电流源的电路时，核心是紧紧抓住方程的实质（KVL方程）和电流源的特性，使得含有理想电流源的电路也能按照标准形式列写方程，从而标准化方程的列写。在列写方程时，引入了未知数，必须增加方程，原则是建立未知量和与之相关的网孔電流之间的关系方程。

参考文献：

[1]邱关源，罗先觉.电路（第五版）[M].北京：高等教育出版社，2009.

[2]张永瑞.电路分析基础[M].西安西安电子科技大学出版社， 2006.6

[3]刘敏华，贾仙宇.“电路分析基础”课程教学方法探索[J].电气电子教学学报，2009（1）： 90-91.

（责任编辑：王意琴）