图形变换中视向变换的讲解要点

曹颖超

【摘 要】在计算机图形学教学中，视向变换是一个重点难点，而这部分内容又是后续学习的基础，本文根据笔者多年的教学实践，详细阐述了绕任意直线旋转的讲解要点及其与视向变换的关系。使学生易于理解视向变换，间接降低三维图形显示的难度，对于学生掌握三维图形的显示有着极为重要的意义。

【关键词】视向变换；三维复合变换；三维图形显示

在计算机图形学三维图形显示中，视向变换是比较抽象难理解的一部分内容[1]，而这部分内容又是三维裁剪、消隐和真实感图形的基础，因此可以说是难点也是重点。三维复合变换中的绕任意直线旋转与视向变换有着极为密切的联系，如果在教学中将绕任意直线的旋转变换讲解透彻，学生就可以自己推导理解视向变换的实现过程。本文根据作者多年的教学实践，详细阐述了绕任意直线旋转的讲解要点及其与视向变换的关系。

1 绕任意直线旋转在三维图形显示中的重要性

在三维图形的基本显示流程中（如图1）[2]，视向变换又称观察变换是最为抽象的部分，其目的是将世界坐标系中的三维图形变换到视坐标系（又称观察坐标系）。其实质是寻找一个坐标变换矩阵，使得视点为视坐标系的原点，观察方向为视坐标系的Z轴方向。由于世界坐标系是一个右手坐标系，视坐标系是一个左手坐标系，实现时，先将将观察方向变换为视坐标系的Z轴，再将X轴取反方向。这一点，与三维图形绕任意直线的旋转基本相同。

图1 三维图形基本显示流程

在三维图形绕任意直线的旋转中，因为在基本几何变换中有三维图形绕三条坐标轴的旋转变换，所以这个问题的基本思路就是将该直线变换为某一条坐标轴，再做旋转，然后依次做前面变换的逆变换。

2 绕任意直线旋转的讲解要点

设有图形绕任意一条过原点的直线（对于不经过原点直线可以作一个平移变换使之过原点）逆时针旋转θ角，如图2，直线用OE表示。A、B、C分别是E点在X、Y、Z轴的投影，也是该直线的方向矢量。

图2 绕任意直线的旋转

讲解要点一：在计算机图形学中，任何图形都是用点表示，对图形作变换也就是对表示图形的点作变换。所以要使得直线OE与Z轴重合，只要使表示直线的两个点落到Z轴上就可以了。由于O点在绕坐标轴旋转中位置不变，所以问题转化为使得E点落到Z轴上。

讲解要点二：绕坐标轴旋转过程中，该坐标保持不变，所以要找出过点E且垂直于该坐标轴的平面。

讲解要点三：绕坐标轴旋转的过程中，点到该坐标轴的距离保持不变。

图形绕任意过原点直线逆时针旋转θ角的过程：

首先使该直线与Z轴重合，即先使E落到Z轴上，第一步，将E点绕X轴逆时针旋转α角，使得E点落到XOZ平面，找出过E点且垂直于X轴的平面，再找出该平面与XOZ平面的交线，根据要点二可知，E′点在该交线上，根据要點三，可以确定E′的具体位置，在直角三角形AEE′中，可以确定α，得到旋转变换矩阵Rx（α）；第二步，将E′点绕Y轴顺时针旋转β角，使之落到Z轴上，根据要点二，XOZ平面垂直于Y轴，根据要点三，可以确定E″在Z轴上的位置，在直角三角形OE′E″中，可以确定β角，得到旋转变换矩阵Ry（-β）。至此，直线OE与Z轴重合。

其次，使图形绕该直线即Z轴逆时针旋转θ角，得到矩阵Rz（θ）。

最后，再将直线变换回原来的位置，即先绕Y轴逆时针旋转β角，得到矩阵Ry（β）。接着绕X轴顺时针旋转α角，得到矩阵Rx（-α）。

将所有变换矩阵依次相乘，得到绕任意直线旋转的组合变换矩阵 T=Rx（α）Ry（-β）Rz（θ）Ry（β）Rx（-α）。

3 三维图形显示中的视向变换

在三维图形显示中，视向变换是将世界坐标系变换为视坐标系，一般假定给出视点E后，视点到世界坐标系原点的向量EO即为观察方向，则E点为视坐标系的原点，EO为视坐标系的Z轴。

图3 视向变换

在变换过程中，要强调的是，坐标变换与物体变换是互逆的。

第一步将坐标原点平移至视点E，得到平移变换T1。

第二步，将世界坐标系的Z轴变换到EO，首先将坐标系绕X轴逆时针旋转90度，将Z轴旋转到Y轴的反方向，相当于物体变换Rx（-90）；再将坐标系绕Y轴顺时针旋转α角，将Z轴旋转至Ec，相当于物体变换Ry（α）；最后将Z轴旋转至EO，这时由于EOc平面是Z轴和Y轴所在平面，所以垂直于X轴，所以这是将坐标绕X轴逆时针旋转β角，相当于物体变换Rx（-β）。

第三步，将世界坐标系的X轴取反向，得到变换矩阵T（-x），这就是左手坐标系——视坐标系。于是得到视向变换矩阵为T=T1·Rx（-90）·Ry（α）·Rx（-β）·T（-x）。

由于三维图形显示过程复杂、抽象，步骤多，尤其是视向变换和投影变换不易理解，因次，在绕任意直线的旋转中将要点讲解清楚，从而使学生易于理解视向变换，间接降低三维图形显示的难度，对于学生掌握三维图形的基本显示流程有着极为重要的意义。

【参考文献】

[1]陈元琰，张睿哲，吴东，等.计算机图形学实用技术[M].2版.清华大学出版社，2006：147-150.

[2]杨钦，徐永安，翟红英.计算机图形学[M].清华大学出版社，2005：88-94.

[责任编辑：汤静]