自适应变系数EV模型系数函数估计的模拟

陈汝杰　陈石生　周英晚　周丽

【摘 要】本文主要介绍了自适应变系数EV模型的由来，并讨论一种特殊形式的自适应变系数EV模型，然后利用MATLAB将两步核估计出来的结果进行了检验.

【关键词】变系数EV模型；参数估计；MATLAB软件

模型是现在很流行的一个词，在各行各业中，只要涉及数据，就要建立模型，每年国家都会组织数学建模竞赛，目的在于用数学模型解决现实生活中的实际问题.现在最流行的就是线性模型，非线性模型，变系数模型等等，这里在现有的基础上给出一类新的模型-自适应变系数EV模型.

1 自适应变系数EV模型

1.1 自适应变系数模型

變系数模型（Varying-coefficient Models）由Cleveland Grosse and Shyu（1991）在将局部回归方法从一元推广到多元的情形时提出.Jianqing Fan，QIweiYao和Zongwu Cai（2000）提出了自适应变系数模型并对其性质进行了研究. 在实践中，该模型已被广泛地应用于生物、医学、经济学、金融保险等方面.

变系数模型（Varying-coefficient model）一般形式为：

该模型中的系数均为函数，其他许多模型如：线性模型、部分线性模型、可加模型以及动态广义线性模型等都可以看成变系数模型特殊形式.例如：

的独立同分布（i.i.d）的随机变量.gj（·）（j≤p）是有界连续、足够光滑的函数，且gj（·）≠0（j=0，1，…，p）.

1.2 EV模型

EV（errors-in-variables）模型，又称测量误差（measurement error）模型，其一般形式如下：

由于EV模型的特殊结构，在讨论问题时考虑了测量误差，对它的研究要比经典的回归模型（4）困难，EV模型的参数估计的存在性及其相合性问题比经典的回归模型要复杂的多.

Stone（1977），OHagan（1978）[2]和Cleverland（1979）讨论了自适应模型. 关于自适应变系数模型的讨论还处在起步阶段. 2003年，Jianqing Fan[1]等研究了这类模型； 将自适应变系数模型与EV模型结合起来就得到了一类新的变系数EV模型，关于自适应变系数EV模型研究的文章目前还少见.

2 自适应变系数EV模型系数函数估计及模拟

2.1 自适应变系数EV模型系数函数估计

本文我们考虑如下形式的自适应变系数EV模型：

态随机变量，且ε，e与x相互独立.我们使用Epanechnikov核函数.

窗宽取固定窗宽hn=0.01.样本数据我们用Matlab随机产生样本容量n=1000.

（1）第一步核估计模拟[5]的结果：

t0=linspace（0，1，100）；%guji de shijian dian lie向量

n=1000；

t=normrnd（0，1，n，1）；%suiji shijian dian lie向量

x1=normrnd（5，1，n，1）；%bian liang yi lie向量

x2=normrnd（1，1，n，1）；%bian liang er lie向量

u1=normrnd（0，1，n，1）；%lie向量

u2=normrnd（0，1，n，1）；%lie向量

e=normrnd（0，0.1，n，1）；%lie向量

X1=x1+u1；

X2=x2+u2；

for i=1：n；

Y0（i）=sin（32*t（i））*X1（i）+exp（t（i））*X2（i）+e（i）；

i=i+1；

end；

Y=Y0'；

l=ones（n，1） ；I=eye（n）； %gei chu danwei xiangliang he danwei juzhen

X=X2；

S=X'*X；

P=X*（S^（-1））*X'；

dn=n+l'*P*l；

a=dn^（-1）*（l'*（I-P）*Y）；

b=（S^（-1））*X'*Y-（S^（-1））*X'*l*a；

for q=1：100；

hn=1/100；

for r=1：n；

T（r）=（t0（q）-t（r））/hn；

if （T（r）>-1） & （T（r）<1）

K（r）=（3/4）*（1-（T（r））^2）；

else

K（r）=0；

end；

end；% gei chu he hanshu

k0=0；

for j=1：n

k0=K（j）+k0；j=j+1；

end；% gei chu he hanshu de he

for m=1：n；

wn（m）=K（m）/k0；

end；

b0（q）=0；%dui b0 chushi zhi fu zhi

for r=1：n；

b0（q）=wn（r）*（Y（r）-X（r）'*b）/5+b0（q）；

r=r+1；

end；

q=q+1；

end；

b0；

y2=sin（32.*t0）；

cha=[t0'，y2'，b0'，b0'-y2'，]

plot（t0，y2，t0，b0，'r*'，'MarkerSize'，5）；

t0=linspace（0，1，150）；%guji de shijian dian lie向量

n=1000；%yang ben de rong liang

t=normrnd（0，1，n，1）；%suiji shijian dian lie向量

x1=normrnd（5，1，n，1）；%bian liang yi lie向量

x2=normrnd（1，1，n，1）；%bian liang er lie向量

u1=normrnd（0，1，n，1）；%lie向量

u2=normrnd（0，1，n，1）；%lie向量

e=normrnd（0，1，n，1）；%lie向量

X1=x1+u1；%di yi ge bian liang de chu shi zhi

X2=x2+u2；%di er ge bian liang de chu shi zhi

for i=1：n；

Y0（i）=sin（32*t（i））*X1（i）+exp（t（i））*X2（i）+e（i）；

i=i+1；

end；

Y=Y0'；%bian liang Y de chu shi zhi

l=ones（n，1） ；I=eye（n）； %gei chu danwei xiangliang he danwei juzhen

X=X2；

S=X'*X；

P=X*（S^（-1））*X'；

dn=n+l'*P*l；

a=dn^（-1）*（l'*（I-P）*Y）；% a de gu ji zhi

b=（S^（-1））*X'*Y-（S^（-1））*X'*l*a；%xi shu b de gu ji zhi

for q=1：n； %dui 150 ge shi jian dian jin xing gu ji

hn=1/100； %chuang kuan

for r=1：n；

T（r）=（t（q）-t（r））/hn；

if （T（r）>-1） & （T（r）<1）

K（r）=（3/4）*（1-（T（r））^2）；

else

K（r）=0；

end；

end；% gei chu he hanshu

k0=0；

for j=1：n

k0=K（j）+k0；j=j+1；

end；% gei chu he hanshu de he

for m=1：n；

wn（m）=K（m）/k0；

end； % gei chu quan zhong

b0（q）=0；%dui b0 chushi zhi fu zhi

for r=1：n；

b0（q）=wn（r）*（Y（r）-X（r）'*b）/5+b0（q）；

r=r+1；

end；

q=q+1；

end；

b0；%xi shu han shu de di er bu gu ji zhi

for h=1：n

g（h）=X1（h）*b0（h）；

h=h+1；

end；

g；%gei chu yi zhong ti dai

b1=（S^（-1））*X'*（Y0-g）'；%gei chu xi shu de di er bu gu ji

for q1=1：150； %dui 150 ge shi jian dian jin xing gu ji

hn1=1/100； %chuang kuan

for r1=1：n；

T1（r1）=（t0（q1）-t（r1））/hn1；

if （T1（r1）>-1） & （T1（r1）<1）

K1（r1）=（3/4）*（1-（T1（r1））^2）；

else

K1（r1）=0；

end；

end；% gei chu he hanshu

k10=0；

for j1=1：n

k10=K1（j1）+k10；j1=j1+1；

end；% gei chu he hanshu de he

for m1=1：n；

wn1（m1）=K1（m1）/k10；

end； % gei chu quan zhong

b10（q1）=0；%dui b0 chushi zhi fu zhi

for r1=1：n；

b10（q1）=wn1（r1）*（Y（r1）-X（r1）'*b1）/5+b10（q1）；

r1=r1+1；

end；

q1=q1+1；

end；

b10；%xi shu han shu de gu ji zhi

%cha=[b1'，b10'，b1'-b10']；

y2=sin（32*t0）；%yi zhi de xi shu han shu

cha=[t0'，y2'，b10'，b10'-y2'，] %qiu chu guji zhi yu zhen shi zhi de cha

plot（t0，y2，t0，b10，'r*'，'MarkerSize'，5）% hua chu tu xing

【参考文献】

[1]Fan，J.Q.&O.w.Yao&Z.W，Cai.Adaptive Varying-coefficient linear models [J].RStatist.SOC.B， 2003，65（1）：57-80.

[2]周丽，张智顺，周道军.自适应变系数EV模型系数函数的估计[J].湖南文理学院学报：自然科学版，2010，22（3）：3-4，11.

[3]周丽，张智顺，许健，刘万荣.自适应变系数EV模型系数函数中β的估计[J].吉首大学学报：自然科学版，2009，30（2）：17-18.

[4]王沫然.MATLAB與科学计算[M].北京：电子工业出版社，2006.

[5]李泽华，刘万荣.变系数EV模型系数参数的一步核估计[J].湖南师范大学学报：自然科学版，2006（1）：14-17.

[责任编辑：杨玉洁]