导数在实际生活中的最优化应用

王益洲

【摘 要】作为高等数学的重要组成部分，微积分的学习和应用一直都备受关注。而导数又是微积分中微分学的主要构成，其在实际生活中有着广泛应用，是微积分的核心内容。就目前来讲，导数已经在医药、天文、经济、工业、物理、工程以及日常生活等多个领域中有广泛应用。现本文就通过分析导数的相关基础概念，来谈谈其在是实际生活中的最优化应用。

【关键词】导数；最优化；生活；应用

高等数学是我国高校教育的必修课程，之所以要让学生学习和掌握高等数学，是因为高等数学的很多知识内容都可以应用在实际生活中，能够帮助学生更好的应对生活和工作中的难题。其中导数就是这样一种具有很大实际应用价值的高等数学内容，其产生形成的原因和作用是为了满足生产技术与自然科学的发展需求。目前，导数已经在很多工农业生产领域和生活领域中发挥巨大作用，尤其是在解决最优化、最大值和最小值的问题时，导数更是起到关键作用。那么导数的最优化问题是如何解决的，其在实际生活中的应用又有哪些呢？以下笔者就几个实例来进行分析探讨。

1 导数的基本概念分析

1.1 导数的起源

所谓导数，是指一个函数的因变量对于自变量的变化率，即当自变量的增量趋于零时，因变量的增强和自变量的增量之商的极限就是导数。其是微积分中的一个重要基础概念。但是导数并非是与普通数学一起兴起和形成的，其是在17世纪20年代末，由法国数学家费马率先提出的一个新数学概念，最初的导数概念主要是指最大值和最小值的求值方法，并没有一个很系统的概念，直到19世纪60年代，魏尔斯特拉斯创造了ε-δ语言，才使导数形成了今天的表达形式，并被广泛接受认同。

可以说，导数是源于生活而服务于生活的，其在很大程度上促进了生产技术与自然科学的快速发展，因为在自然现象中，有很多事物的数量关系并不能用一个准确的数值来表示，这会给研究带来一定的不便。而通过利用导数来表达其变化率结构，则可以很好的解决这一问题，也正因为导数的这一应用优势，使得其在很多科研领域和生活生产领域中有了广泛应用。例如经济学中利润的变化率、物理运动的瞬时速度、人口增长率研究等等，这些问题都可以用导数来解决。

1.2 导数的最优化问题

一般来讲，若一个函数存在导数，那么该函数就一定可导或可微分，这是其解决最优化问题的基本前提。在实际的生活中，导数的最优化问题比比皆是，随处可见。例如如何用料最省，如何生产效率最高等等，都是最优化问题，都可以用导数来加以解决。在实际的应用中，导数最优化问题的解决主要有四个步骤。第一，要对实际问题中所体现出的各个关键量进行分析，并理清这些量的关系，根据所得出的数据建立数学模型，并列出各个变量间的函数关系式，然后再结合具体情况划定自变量的范围，也就是其定义域。第二，对所列出的函数关系式进行求导，结合定义域的要求确定实根、极值点与不可导点。第三，计算函数在不同区间的端点、极值点与不可导点的函数值，并对这些函数值进行对比，从而获得所需的最大值或最小值。第四，将最大值与最小值回归到具体的实际问题中，得出实际问题的最优解。

值得一提的是，在用导数来处理实际生活中的最优化问题时，一定要充分结合实际，对于那些不符合实际的值可以直接舍弃，不考虑在内。这就要求在确定函数关系式时，还要正确的确定定义域，即自变量的有效区间，这是保证函数值有效的前提。另外，实际生活的最优化问题中有时候出现一个区间内仅有一个点是有效值的情况，那么此时可以直接判定该点的值就是最值。

2 导数在实际生活中的最优化应用

本文一再强调导数在实际生活中有着很大的应用价值，那么其具体表现在哪些方面呢？以下笔者就举出几个实际例子，来证明导数在解决最优化问题时的应用优越性。

2.1 实例一

已知某商品生产成本C与产量q的函数关系式为C=100+4q，价格p与产量q的函数关系式为p=25-1/8q，求产量q为何值时，利润L最大？

分析：利润L等于收入R减去成本C，而收入R等于产量乘价格.由此可得出利润L与产量q的函数关系式，再用导数求最大利润。其中收入R=q·p，利润L=R-C，定义域0

2.2 实例二

烟囱向其周围地区散落烟尘而污染环境. 已知落在地面某处的烟尘浓度与该处至烟囱距离的平方成反比，而与该烟囱喷出的烟尘量成正比，现有两座烟囱相距20km，其中一座烟囱喷出的烟尘量是另一座的8倍，试求出两座烟囱连线上的一点，使该点的烟尘浓度最小。

分析：不失一般性，设烟囱A的烟尘量为1，则烟囱B的烟尘量为8。设A到C点的距离为AC，其中定义域为0

解得在（0，20）内惟一驻点x=20/3。由于烟尘浓度的最小值客观上存在，并在（0，20）内取得，所以在惟一驻点x处，浓度y最小，即在AB间距A处20/3处的烟尘浓度最小。

2.3 实例三

在甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线河岸的岸边A处，乙厂与甲厂在河的同侧，乙厂位于离河岸40 km的B处，乙厂到河岸的垂足D与A相距50 km，两厂要在此岸边合建一个供水站C，从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米3a元和5a元，问供水站C建在岸边何处才能使水管费用最省？

分析：这一问题可以使用三角函数来解决。根据题意列出相应的函数公式，并求得函数最小值。可知AC=50-40cotθ=20（km），即供水站建在A、D之间距甲厂20 km处，可使水管费用最省。

2.4 实例四

某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量为y（升），关于行驶速度x（千米/小时）的函数解析式可以表示为：

y=■x■-■x+8（0

（I）当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？

（II）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？

分析：（I）当x=40时，汽车从甲地到乙地行驶了100/40=2.5小时，代入上述函数解析式计算后可得知要耗油17.5（升）。

答：当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油17.5升。

（II）当速度为x千米/小时的情况下，汽车从甲地到乙地行驶了100/x小时，设耗油量为h（x）升，其中0

3 结束语

综上所述，在实际的生活中，导数是应用是非常广泛且十分有用的，只要我们在面对实际问题时能够找出问题中各个自变量和因变量之间的关系，并列出相应的函数关系式，确定合理的定义域，就可以通过求导的方式求得最值，从而解决实际问题的最优化问题。本文中所提出的导数最优化问题解决步骤与注意事项是笔者在实际的工作中总结出来的，文中所举的几个案例也均是较为典型的导数应用案例，希望能够为读者了解和应用导数来解决实际生活问题提供一些参考和帮助。

【参考文献】

[1]刘荣花，杨春艳，孙艳伟.导数理论在经济分析中的应用[J].高师理科学刊， 2010（04）.

[2]崔宜兰.导数在经济领域中的最优化问题的应用[J].安庆师范学院学报：自然科学版，1997（01）.

[3]周學勤.例说导数的应用[J].牡丹江教育学院学报，2009（04）.

[责任编辑：杨玉洁]