基于二分法和三分法的圆度误差评定

李秀梅 刘爱平

山东中烟工业有限公司青州卷烟厂  刘爱平

【摘要】本文提出了最小外接圆二分法和最大内接圆三分法的圆度误差评定法，并分别给出了最小外接圆和最大内接圆的评定算法，该算法经过试验验证，可有效地解决最小外接圆和最大内接圆的评定问题。

【关键词】最小外接圆;最大内接圆;二分法;三分法

1.引言

圆度误差是指实际轮廓相对于理想圆的变动量。评定圆度常用4种方法：最小二乘圆法、最小外接圆法、最大内接圆法和最小区域圆法。最小外接圆适用于轴类零件的圆度评定;最大内接圆则适用于孔类零件的圆度评定。最小外接圆和最大内接圆的判别准则为：锐角三角形准则和直径准则。

Jywe等[1]提出了最小外接圆按照从大到小排列的极径中不断选取特征点;最大内接圆则从小到大排列的极径中不断选取特征点。林家春等[2]提出了最小外接圆选取特征点的搜索方向和步长的计算方法。张春阳等[3]提出了基于几何优化的圆度误差评定算法。

本文基于“小偏差假设”和“小误差假设”条件下利用二分法将测量数据划分为两部分，从这两部分选取最小外接圆的特征点;利用三分法将测量数据划分为三部分，根据向量数量积，舍弃其中一部分，从另外两部分数据中选取最大内接圆的特征点，实现圆度误差评定。

2.最小外接圆——二分法

設测量点，n为测量点数。如图1（a）所示，特征点A、B、C满足最小外接圆锐角三角形准则。点是最小外接圆圆心。过点A和圆心的直线将测量数据Ⅰ和Ⅱ，最小外接圆的另外候选点分别从Ⅰ、Ⅱ中选取。

具体算法如下：

（1）如图1（b）所示，根据测量点计算最小二乘圆心，并计算测量点至最小二乘圆心的距离：

第一候选点A满足：

（2）如图1（c）所示，测量点被直线OA分为Ⅰ和Ⅱ。确定过点A与其它测量点的垂直平分线与直线OA的交点，再计算该交点至点A的距离（对应数据Ⅰ）和（对应数据Ⅱ）为：

式中：

第二、三候选点满足：和

如图上述三个候选点满足锐角三角形准则，并且过这三点的外接圆包容所有的测量点，则这三个候选点是最小外接圆的特征点;如果有测量点位于过这三点的外接圆之外，之外最大距离点代替三个候选点中的一点，再构造外接圆，直至确定满足最小外接圆的特征点。

3.最大内接圆——三分法

如图2所示，点A、B、C满足最大内接圆锐角三角形准则，是最大内接圆的特征点。点是最大内接圆圆心。过点A做直线A的垂线，该垂线与直线A将测量数据分成Ⅰ、Ⅱ和Ⅲ，最大内接圆的另外候选点分别从Ⅰ、Ⅱ中选取，数据Ⅲ中的被舍去。

设测量点，被舍去数据Ⅲ满足：

具体算法如下：

（1）根据测量点计算最小二乘圆心，并计算测量点至最小二乘圆心的距离：

第一候选点A满足：

（2）测量点分为：

Ⅰ，和数据Ⅲ（舍去）。计算（对应数据Ⅰ）和（对应数据Ⅱ），第二、三候选点满足：和。

图1 最小外接圆

图2 最大内接圆

如图上述三个候选点满足锐角三角形准则，并且所有测量点位于过这三点的内接圆之外，则这三个候选点是最小外接圆的特征点;如果有测量点位于过这三点的内接圆之内，之内最小距离点代替三个候选点中的一点，再构造内接圆，直至确定满足最大内接圆的特征点。

4.验证

为了验证本文提出方法的有效性，以文献[4]中的数据作为实验数据，计算结果如表1所示。最小外接圆的特征点为10、15和28;最大内接圆的特征点为16、19和1。特征点与文献[4]中的结果一致。

5.结论

本文使用二分法和三分法原理来解决最小外接圆和最大内接圆的评定过程，并给出了最小外接圆和最大内接圆的评定算法，经过试验验证，所得到的结果与其它评定算法完全一致，从而说明该方法可有效地解决最小外接圆和最大内接圆的评定。

参考文献

[1]Wen-Yuh Jywe，Chien-Hong Liu，Chao-Kuang Chen.The min-max problem for evaluating the form error of a circle.Measurement，1999，26（4）：273-282.

[2]林家春，石照耀.基于力学思想的最小外接圆度误差评定[J].仪器仪表学报，2010，31（6）：1405-1410.

[3]张春阳，雷贤卿，李济顺，段明德.基于几何优化的圆度误差评定算法[J].机械工程学报，2010，46（12）：8-12.

[4]Gadelmawla ES.Simple and efficient algorithms for roundness evaluation form the coordinate measurement data.Measurement 2010，43（2）：223-235.