微分求积法在轴向流中圆柱体稳定性分析中的应用

张硕

摘 要：微分求积法（DQM）在求解过程中，微分求积法计算量小、求解精度高，随着计算机科学的发展得到了广泛的推广。本文就是應用微分求积法分析轴向流中圆柱体的稳定性和失稳临界速度，并与其他方法得出的结果进行对比分析。

关键词：微分求积法；轴向流；圆柱体；临界流速

1 微分求积法求解失稳临界流速

圆柱体运动的无量纲化微分方程式为：

（1）

轴向流中两端铰支圆柱体的无量纲边界条件为：

（2）

得到方程（1）和边界条件（2）的微分求积法的模拟方程和相应的边界条件为：

（3）

（4）

并将（3）式与（4）式合写为以下的形式：

（5）

其中下标b表示边界上的量，d表示非边界上的量。

轴向流中圆柱体的自激振动导致了不稳定现象，所以将式（5）改写为：

（6）

在上式中，Ω在多数情况下是一个复数，其虚部Im（Ω）表示圆柱体的振动频率。继续将方程进行整理，得到：

（7）

式中，[G]和[K]两个矩阵包含流速u等参数在内，将这些参数赋值，只留下流速u作为变量。方程（7）的特征值也在随之变化。当特征值的实部Re（Ω）>0时，圆柱体就处于失稳状态，此时的流速u就是圆柱体的失稳临界速度。

给定参数，，，，，，，，，，，，并根据两端铰支的边界条件，有。经计算，流速u=3.3828时，特征值的实部第一次出现正值，故圆柱体在此时失稳（如图1所示）。

2 伽辽金法求解临界失稳流速

通过伽辽金法[1]计算式（1）得到特征值与流速之间的关系如图2所示：当u=3.14时，第一阶特征值出现了一个正值，表明系统发生一阶屈曲失稳。

3 结论

结合微分求积法和伽辽金法所得到的系统的临界流速值可以判断：轴向流中两端铰支圆柱体随着流体速度逐渐加快，会发生一阶屈曲失稳现象；微分求积法求解临界失稳流速u=3.3828，伽辽金法求解临界失稳流速u=3.14，二者结论相接近。

参考文献：

[1]秦朝红.轴向流中圆柱体的动力分析（硕士学位论文）[D].硕士学位论文，沈阳：沈阳航空工业学院，2007.

[2] M.P. Paidoussis.Dynamics of cylindrical structures subjected to axial flow [J]. Journal of Sound and Vibration， 1973（29）： 365-385.