用几何方法分析求解概率问题

刘婧 李奎

【摘要】本文对几何概型中常见的两类典型问题进行了研究，在以往结果的基础上，通过设定参数，得到参数的取值范围与结果之间的关系，将此类问题的研究更一般化，并深化了几何概型的求解技巧，创新了实际问题中应用几何概型的灵活性和方便性.

【关键词】几何概率;数学模型;平面区域;几何方法

一、引 言

古典概型的样本空间只有有限个样本点，每个样本点的出现都是等可能的.但是人们逐渐认识到，只考虑有限个等可能样本点对于实际应用是不够的，现实生活中还存在大量的“无限等可能”问题.为解决这类问题，后来引入了几何概型，由此也产生了概率的一种计算方法——几何方法.

本文给出了几个比较典型的几何概型问题，通过设定合适的参数，利用几何分析方法，结合平面和立体图形的直观性，找到参数的取值范围，使得此类概率问题的求解更加一般化，对比以往的结果和方法得到此文的优势和创新.

二、预备知识

几何概型是一种最基本的数学模型，也是一种特殊的数学模型，在概率论中有着相当重要的地位.

1.几何概型的特点

（1）每次实验的结果（基本事件）有无限多个;

（2）每次实验的各种结果是等可能的.

2.“等可能”的意义

设有限测度为L（Ω）的区域Ω中有任意一个小区域A，如果它的测度为L（A），则点落入A中的可能性大小与它的测度成正比，而与A的位置及形状无关.

3.利用几何方法确定几何概型中概率的计算的基本思想

（1）如果一个随机现象的样本空间Ω充满某个区域，其测度（长度、面积、体积等）大小可以用L（Ω）表示;

（2）任意一点落在测度相同的子区域内是等可能的;

（3）若事件A为Ω中的某个子区域，其测度大小可以用L（A）表示，则事件A发生的概率为P（A）=L（A）L（Ω）.

三、主要问题及结论

问题1 在线段[0，1]上随机地投入三个点，由点O至三点形成三条线段，试分析三点的排布与三条线段构成三角形的概率之间的关系.

解 令A=“三线段能构成一个三角形”.

设任意放入一点的线段长度为a，其他两点所形成线段分别为x，y，因此三条线段能构成三角形的条件是：x+y>a，x+a>y，y+a>x，如图所示：当点落入图示阴影部分时，三线段能构成三角形，此时应用几何概型计算公式可得概率为

P（A）=S阴影S正方形=1-12a2-2×12（1-a）21=-32a2+2a.

从结果中可以看到，三线段构成三角形的概率与其中一条线段的长度有着紧密的联系，即点的放法决定了概率的大小，分析如下：

（1）当a=23时，即其中一条线段在23点处，构成三角形的概率达到最大值23;

（2）当a=13或a=1时，构成三角形的概率是12;

（3）当a=12或a=56时，构成三角形的概率是58;

现实意义：

（1）要增加构成三角形的概率，只需将其中一点放到总长的23处即可，这时无论如何放置另外两个点，构成三角形的几率都是最大的，此方法可以适用于中小学三角形部分的学习;

（2）文献[3，4]的计算方法是一种特殊情况，此文将以往的结果一般化，更有实用价值;

（3）若要使构成三角形的概率大于12，只需将其中一点放置于线段的13，1之间即可.

引例 （Buffon投针问题）平面上画有等距离的平行線，平行线间的距离为d，向平面任意投掷一枚长为l（l

利用引例一般化可以得到如下我们所要研究的问题.

问题2 平面上画有等距离的平行线，平行线间的距离为d，向平面任意投掷一个凸n边形，该n边形的边长分别为x1，x2，…，xnxi

解 略.

四、结束语

几何概型是一类在可测集中均匀投点，计算这些点落在某一区域的概率问题，好多实际问题我们又都可以将它用几何图形表示出来，而这些几何图形的长度、面积等又能计算，我们就可以用几何概率模型进行计算.因此，几何概率是一种简单、直观的数学模型.