例谈高考对“坐标系与参数方程”的考查

铁志荣

新课标高考试卷中，作为三选一内容之一的“坐标系与参数方程”在历年的考试中，试题的形式和难度逐渐发生着变化，但由于其内容基础，方法基本，且与三角函数、直线 与圆以及圆锥曲线的联系较为紧密，故此考试中试题的难度不大.因此，在学习中，掌握考试要求，注重基本内容和方法，以基础为重点，抓住知识要点，少做难题，达到灵活转换即可.

一、考查点或曲线的极坐标与直角坐标的互化

例1 （2007年新课标）⊙O1和⊙O2的极坐标方程分别为ρ=4cosθ，ρ=-4sinθ.

（1）把⊙O1和⊙O2的极坐标方程化为直角坐标方程;

（2）求经过⊙O1和⊙O2交点的直线的直角坐标方程.

解析 以极点为原点，极轴为x轴正半轴，建立平面直角坐标系，两坐标系中取相同的长度单位.

（1）x=ρcosθ，y=ρsinθ，由ρ=4cosθ得ρ2=4ρcosθ.所以x2+y2=4x.

即x2+y2-4x=0为⊙O1的直角坐标方程.同理x2+y2+4y=0为⊙O2的直角坐标方程.

（2）由x2+y2-4x=0，

x2+y2+4y=0，解得x1=0，

y1=0，x2=2，

y2=-2.即⊙O1，⊙O2交于点（0，0）和（2，-2）.过交点的直线的直角坐标方程为y=-x.

方法总结 1.要抓住极坐标与直角坐标互化公式x=ρcosθ

y=ρsinθ和ρ2=x2+y2

tanθ=yx（ρ≥0，

0≤θ≤2π）这个关键点，这样就可以把极坐标问题转化为直角坐标问题解决.2.对点的极坐标与直角坐标的互化要抓住公式，但要注意把点的直角坐标化为极坐标，求极角θ时，应注意判断点P所在的象限，以便正确地求出角θ，当点位于直角坐标轴上时，可以充分利用数形结合的思想直接写出点的极坐标.

二、考查曲线的参数方程和普通方程的互化

例2 （2008年新课标）已知曲线C1：x=cosθ，

y=sinθ（θ为参数），曲线C2：x=22t-2，

y=22（t為参数）.

（1）指出C1，C2各是什么曲线，并说明C1与C2公共点的个数;

（2）若把C1，C2上各点的纵坐标都压缩为原来的一半，分别得到曲线C′1，C′2.写出C′1，C′2的参数方程.C′1与C′2公共点的个数和C1与C2公共点的个数是否相同？说明你的理由.

解析 （1）C1是圆，C2是直线.C1的普通方程为x2+y2=1，圆心C1（0，0），半径r=1.C2的普通方程为x-y+2=0.因为圆心C1到直线x-y+2=0的距离为1，所以C2与C1只有一个公共点.

（2）压缩后的参数方程分别为C′1：x=cosθ，

y=12sinθ（θ为参数）; C′2：x=22t-2，

y=24t（t为参数）.化为普通方程为：C′1：x2+4y2=1，C′2：y=12x+22，联立消元得2x2+22x+1=0，其判别式Δ=（22）2-4×2×1=0，故压缩后的直线C′2与椭圆C′1只有一个公共点，和C1与C2公共点个数相同.

方法总结 将参数方程化为普通方程的关键是消去参数：一要熟练掌握常用的消参方法（如整体代换、代入消去法、加减消去法、恒等式（三角的或代数的）消去法），二要注意参数的取值范围的一致性.

三、考查点的轨迹的参数方程

例3 （2010年新课标卷）已知直线C1：x=1+tcosα，

y=tsinα（t为参数），C2：x=cosθ

y=sinθ（θ为参数）.

（1）当α=π3时，求C1与C2的交点坐标;

（2）过坐标原点O作C1的垂线，垂足为A，P为OA中点，当α变化时，求P点的轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线.

解析 （1）当α=π3时，C1的普通方程为y=3（x-1），C2的普通方程为x2+y2=1.联立方程组，解得C1与C2的交点为（1，0），（12，-32）.

（2）C1的普通方程为xsinα-ycosα-sinα=0.A点坐标为sin2α-cosαsinα，故当α变化时，P点轨迹的参数方程为x=12sin2α，

y=-12sinαcosαα为参数，P点轨迹的普通方程为（x-14）2+y2=116，故P点轨迹是圆心为14，0，半径为14的圆.

方法总结 用参数法求点的轨迹方程，是通过已知条件把所求的点的横、纵坐标分别表示为某个参数（该参数通常是角度）的函数，但要注意参数的取值范围.

四、考查曲线参数方程的应用

例4 （2013年浙江）在直角坐标系xOy中，曲线C：x=2cosθ，

y=sinθ（θ为参数），过点P（2，1）的直线与曲线C交于A，B两点.若PA·PB=83，求AB的值.

解析 由题意，曲线C的直角坐标方程为x2+2y2=2.设过点P（2，1）且倾斜角为α的直线的参数方程为x=2+tcosα，

y=1+tsinα（t为参数），设点A，B对应的参数分别为t1，t2.将直线的参数方程代入x2+2y2=2，化简得（1+sin2α）t2+4（sinα+cosα）t+4=0，

则Δ=16（2sinαcos2α-sin2α）>0 且t1+t2=4（sinα+cosα）1+sin2α，t1t2=41+sin2α.

由PA·PB=83得t1t2=41+sin2α=83，故sin2α=12，又由Δ>0得0

423.

方法总结 1.曲线的参数方程为x=f（θ），

y=g（θ） （θ是参数）时，曲线上任一点的坐标即可设为（f（θ），g（θ））.2.在选修教材中，只考查过定点P（x0，y0）且倾斜角为α的直线的参数方程x=x0+tcosα，

y=y0+tsinα（t是参数），因其参数t 有实际的几何意义，故对直线的参数方程的考查会逐渐加强.3.根据直线的参数方程的标准式中参数t的几何意义，有如下常用结论：（1）直线与圆锥曲线相交于点A，B，设点A，B对应的参数分别为t1，t2，则弦长AB=t1-t2;（2）若定点P是弦AB的中点，则t1+t2=0;（3）设弦AB中点为M，则点M对应的参数值t=t1+t22（由此可求AB及中点M的坐标）.