悖论的数学教育功能

赵建红

【摘要】通过日常教学经验，总结了数学悖论的几种教育功能.巧用悖论进行教学提高了学生解决数学问题的能力， 也有助于数学教育目标的实现.

【关键词】悖论;数学;教育过程;教育功能

“数学=计算+证明”，学数学只要会做题就行了，这是当今社会许多人所普遍认为的观点.然而真正的数学是对现实世界的一种思考、描述、刻画、解释、理解，其目的是发现数学中所蕴藏的一些数与形的规律，为社会进步与人类发展服务.我们可以自由探索数学世界，正是这种自由探索才是数学美的体现.笔者认为，数学学习应该是一种广泛的思维空间和实践空间的元认知体验过程，是学生可以用心体悟的生动有趣的学习活动.因此，在数学教学中适当应用悖论这一特殊工具将使我们更容易达到我们的教育目的.

悖论也叫逆论、反论，其意义较丰富.它是一种看起来好像是错的，但实际上却是对的，或者看起来好像肯定是对的，但实际上却错了的论断，是一系列看起来好像无懈可击的推理，可却导致逻辑上的自相矛盾.

数学悖论的教育是元认知的体验过程.元认知的体验过程是伴随并从属于智力活动的有意识的认知体验或情感体验.而体验一般是没有明确编码，甚至难以编码的信息，近似于通常所说的感觉、意会.心理图像隐约的类似、朦胧的情境、难以明言的预期等都是元认知的体验.下面就谈谈数学悖论的几种教育功能.

1.有利于培养学生学习数学的兴趣

在数学教学中合理利用数学悖论有利于培养学生学习数学的兴趣.如在教学分母不能为零时，学生大多不好理解为什么分母不能为零，分母为零则分数无意义.此时恰当引入相应悖论，激发学生对数学学习的兴趣.还有不等式两边乘以负数要变号，悖论1元钱哪儿去了，如何证明悖论“-1=1”等许多例子都能引发学生去思考，从而增强了学生的解题能力，使学生注意到解分式时分母不能为零，不等式两边乘以负数要变号等.学生在解题过程中，不容易出现这样那样的问题，使学生能够解许多关于这方面的题，让学生享受到解数学题的快乐，从思考问题中感受到学习成功的喜悦，从而培养学生勤于思考、善于思考的习惯.

2.有利于提高学生数学学习的能力

数学知识的学习过程不仅是对所学材料的识别、加工和理解的认知过程，而且也是一个对学习活动自我调节和自我监控的元认知的体验过程.这当然在很大程度上取决于学习者的元认知水平.如怎样利用“加一减一”来解决生活中的实际问题？如何分牛？怎样证明“0与i大小？”等问题.从实践中发现数学学习成绩优异与数学学习成绩欠佳的学生在元认知方面有着明显的差异.善于解题的学生对问题有比较自觉的思维意识和良好的思维习惯，他们十分重视审题，仔细分析已知条件和要达到的目标，他们在探求思路时，对数学问题的性质、特点和难度，以及解题的基本思路和前景作出大致的选择、判断和估计，在解题过程中，密切关注解题过程，随时对解题的方法和结果进行评价，及时控制调节自己的思维航道.而不善于解题的学生在这些方面有明显的差距.

这些在数学悖论认知水平上表现出来的差别，也正是学生之间善于学习和不善于学习的差别.因此，培养学生数学悖论认知能力是使学生學会学习，提高学习效率，发展数学学习能力的有效途径.

3.有利于优化学生的思维品质

在人的思维活动中，无论是目标的确定和修正，材料的选择与组织，操作加工策略的采用与改变，产品结果的检查与信息反馈，都需要监控系统综合各方面的信息，进行分析判断作出决策，发出协调作用，它的发展水平直接影响思维水平的深层结构，思维品质的形成直接受控于元认知这个深层结构的影响.

在学习中，由于学生元认知水平存在差异，因而对数学学习活动的目标、任务的意识和领悟程度就很不一样，各人所具备的策略数量、策略水平，选择相应的策略的自觉性、灵活性，以及选择最佳策略的能力也很不一样.

在这样的意义上，对数学悖论的认知能力的培养和训练是提高思维品质的关键所在.在教育中应当十分关注学生认知能力的培养与提高，从而促进学生知识和技能水平的提高，促进学生思维水平的提高.

4.有利于发挥学生的主体作用

所谓主体能量是任何心理活动.心理发展都需要的心理能量，就像机器运转所需要的能源一样.美国教育学家加罗拂指出：如果我们希望学生成为主动学习者和行动者，那么我们必须设计好数学使之有助于发展学生的元认知，培养学生随时监控自己的学习过程，可以使学生对自己正在干什么和为什么这样干有着清醒的自我认识.在此过程中，学生观念上的平衡状态不断受到破坏，这种新的不平衡激发于学生内部新的心理能量，使学生积极主动地寻找新的更高水平的平衡，这就需要学生主动去调整计划、目标、检验结果，从而大大提高学生学习的主动性、积极性、自主性和创造性.

5.促使学生的学习向更自觉的状态转变

这样的元认知活动能使学生对已有的概念和命题的认知更加清晰，加强了知识之间的联系性，使已有知识获得新的意义.又如，在解题实践中提高元认知活动可以逐步体会到，要解决一个较为抽象的数学问题，如果直接去解有困难，不妨先用特例去探索解决，然后再将解决问题的思路推广到一般情形，这样问题往往迎刃而解.

学习活动不仅是对所学材料的识别、加工、理解，而且包括对认知过程的自我监控和调节，甚至包括对学习兴趣、态度、动机水平的注意程度，情绪状态等非智力因素的调控，从而使它们协调一致地有效地推动学习活动，这就为数学教学指出一个新的努力方向，即通过对学生元认知能力的培养，使学生的数学活动向着高度自觉的状态转变.

基于以上几点“悖论”的数学教育功能，笔者认为，如能将悖论恰当地运用于数学教学实践，将有助于现行教育改革，有助于学生更加深入地理解和学习数学，也有助于数学教育目标的实现.