例谈高中数学“有效数学活动”的构建

熊春华

【摘要】基本数学活动经验是我国义务阶段教育在原来“二基”目标的基础上提出“四基”目标的一个基本目标.学生数学活动经验的获得离不开数学活动参与，高中数学课堂应该是活动的课堂，加强学生的活动意识是数学教学的核心问题.然而，一些高中教师在组织数学活动的过程中，缺少对数学活动有效性的把握，导致其重要目标——数学活动经验无法实现.

【关键词】数学活动参与;活动意识;数学活动有效性

笔者通过对高中数学教师公开课观摩，发现高中数学教学中数学活动存在以下问题：一是教师精心设计的数学活动得不到学生的积极响应;二是数学具有浓厚的功利色彩，课堂教学只侧重于显性的知识与技能，忽视过程性知识的生成，三维目标达成不够全面;三是缺少数学活动的整体性、有机性.基于此，笔者就有效的数学活动实施策略谈一谈个人看法.

一方面，数学活动是围绕数学问题开展的活动，学生是教学活动的主体，只有学生积极投入才能避免出现“被动参与”.另一方面，高中数学课程设立“数学探究”“数学建模”等学习活动，为学生积极参与创造了有利的条件，进而激发学生的数学学习兴趣，在知识掌握的过程中，培养学生掌握获取知识的思想方法以及帮助学生养成独立思考、积极探索的习惯.因此，笔者认为，高中数学活动的实施应从注重思维参与、彰显思想方法、突出同化演绎、加强反馈评价四个方面来加以落实.下面，笔者将就这四个方面结合教学案例加以剖析.

1.课堂活动注重思维参与

学生参与数学活动能够培养学生的自主意识、合作意识.没有学生积极投身思考的数学活动是无效的，没有学生积极参与的数学活动是低效的.教师在活动过程中应该创设良好的人际关系和学习氛围，激发学生的参与意识，努力提高学生的参与質量.这种活动参与应该从激发学生的学习动机出发、构建良好的师生关系、形成高效的活动评价三个方面来调动学生的主观参与.

案例1 “对数函数”活动片段

《庄子·天下篇》：“一尺之棰，日取其半，万世不竭.”它说明一尺的棰子是有限的物体却可以无限地分割下去.下面大家结合庄子的这句话思考如下问题：

问题1 一尺之棰，日取其半，取五次还剩多长呢？

师：不妨设有一尺长的棰子，每天取它的一半，五次之后剩下的那部分还有多长呢？可以先看看第一次剩下的那部分有多长，再看第二次……

生1：结合已经学习过的指数函数的模型，容易得剩下的长度为125=132.

问题2 取多少次以后还剩0.125尺？

生2：设x次以后还剩0.125尺，列方程有12x=0.125=18.经过代入x=1，2，3发现x=3方程成立.

师：非常好！用设未知量的方法建立等式方程，是我们解决未知函数应用问题的一般方法.解12x=0.125=18时利用特殊值的方法也能够求出来.但有些时候我们用特殊值却不方便.

问题3 取多少次以后剩下的长度刚好小于1100尺呢？

生3：12x-1≥1100且12x≥1100，但不知道该怎么求解.

师：嗯，很好，那这节课我就教大家如何解12x≥1100.

本节活动能够做到贴近学生的“最近发展区”，学生对于问题3，口欲言而不能，把学生置于“愤”“悱”境地，学生思维活动被充分地调动起来.指数函数教学位于对数函数教学之前，起到了前后呼应的效果.“一尺之棰，日取其半，万世不竭”让抽象的数学语言变得具体，更贴近生活实际，为学生数学探究营造了良好的数学氛围.教师在活动中多以鼓励为主，注意合适引导加上及时鼓励，能够增强学生参与的积极性，树立参与活动的自信心.

2.知识形成彰显思想方法

数学活动既是一个肢体上的活动，也是思维上的活动，活动的过程必须体现数学的思想方法.缺少了数学思想的活动，数学活动就没有了“灵魂”，对学生的数学经验的获取无法产生深刻的影响.因而，数学活动的有效体现在活动过程中经历了数学思想方法的认识与理解.

案例2 “二项式定理”活动片段

我们知道（a+b）2=a2+2ab+b2，那么将（a+b）3，（a+b）4，…，（a+b）n展开后，结果是多少？

探究1：从特殊入手，推导（a+b）3展开式，学生顺利给出（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3.教师引导学生把每一项及其对应的系数表达出来，每一项的字母的指数和展开式的幂存在什么关系？每一项系数用组合数可以如何表示？

（a+b）3展开式中的项

a3

a2b

ab2

b3

各项的系数

1

3

3

1

每一项的系数

C03

C13

C23

C33

展开式中的项由学生归纳：a3-rbr，r∈0，1，2，3;每一项的系数归纳：Cr3.容易写出其展开式：（a+b）3=C03a3+C13a2b+C23ab2+C33b3.

探究2：用（a+b）3展开式的表达形式，写出（a+b）4展开式.教师启发学生观察上述等式，寻找其项数、各项次数及展开式中各项系数的特点.

探究3：猜想（a+b）n （n∈N）展开式，并加以验证.

探究1属于引导学生积极参与的过程，具有知识学习的针对性，探究2与探究3在原来的基础上分别提升活动的难度，这种分层次学习让学生经历数学思想建构过程.如果让学生直接思考（a+b）n展开式，就大大增加了教学的难度.以上数学活动师生共同探究，让学生在归纳和猜想中培养抽象概括能力，二项式定理的形成过程中体现了从特殊到一般的思想.它使得学生在掌握知识的过程中获得能力，从而为学生提供解决问题的一般方法.数学活动的目标实现应该体现了简单到复杂的原则，学生在数学活动的过程中不仅要学习数学知识和技能，还要掌握科学的数学思想方法.

3.概念获得突出同化演绎

数学认知结构是一个不断变化的动态组织.随着数学认知活动的进行，学生的认知结构不断分化和重组，并逐渐地变得更加精确和完善.正是数学认知存在了这样的特性，教师在数学活动中应充分利用学生已经学习的数学知识，建立与新知识之间的关系.对于数学概念性知识的学习突显同化演绎的过程，利用新旧知识的共性以及认知冲突，在活动的过程中让学生自主建构数学概念.

案例3 “复数的概念及定义”活动片段

问题1 在实数范围内，求方程10x-x2=21的解.

大部分学生利用求根公式的方法，很快能够求出方程的解.少数学生利用十字交叉相乘的方法也能够求出方程的解.

问题2 解方程10x-x2=40.

按照已经存在于自己解题习惯的思路，大部分学生通过检验“Δ”的方法发现Δ=-15<0，判断方程无解.一部分学生由于提前预习了教材，认为此方程的根是x=5±-15.

问题3 在正整数范围内，方程x+2=0有解吗？类似地，在有理数范围内，x2=2有解吗？我们又让它怎样有解？

生1：在正整数范围内方程x+2=0是没有解的，在整数范围内有解，且解为x=2;在有理数范围内，x2=2也是没有解的，在实数范围内有解，且解为x=2.

师：正整数与整数之间的集合关系是怎样的？有理数与实数之间的集合关系又是怎样的呢？

生2：正整数是整数的子集，整数包含正整数、负整数和零;有理数是实数的子集，实数包含有理数和无理数.

问题4 x（10-x）=40在实数域无解，根据以上经验将实数域也进行扩充，方程在新的定义域有解.要使得方程有解为x=5±-15，需要满足什么条件呢？

生3：要满足-1有意义，事实上x=5±15-1.

师：非常好！这节课我们就是在特殊数域内解决-1有意义的问题，也就是我们今天要学习的复数域.

发现问题、解决问题是实现学生数学能力提高的基本步骤.问题1与问题2属于同一条件、不同问题同化演绎过程，这种知识层面的冲突能够刺激学生的活动激情.问题3与问题4都体现了数系的扩充过程，也体现了概念学习的同化演绎过程.这种知识的不断过渡，能够引导学生从已知的学习冲突中发现和认识问题，（x-5）2=-15要有解必须满足-15能够开方，也即是任意的负数可以开方，由此就必须在实数域的基础上学习复数的基本概念.

4.克服难点依赖反馈评价

数学活动经验的获得是检验数学活动成功的重要表现.曹才翰和蔡金法认为“要让学生自己总结数学活动经验比较难，所以作为学生学习指导的教师应当帮助学生总结数学活动经验，使他们能够快速、直接地掌握数学活动技能”，也就是说数学活动效果有待于教师在活动的过程中适时地加以诊断和评价，进而给出有目的性、有针对性的反馈.提醒学生充分地重视本节课所应掌握的活动经验，让学生进行总结，进而反思.

案例4 “圆的标准方程”反馈活动片段

问题1 综合平面几何的知识，从方程的角度探究：过点A（1，0）能确定圆吗？为什么？

生1：不能，从几何知识可知，过平面内的一点可以画出无数个圆.

生2：不能，圆的标准方程（x-a）2+（y-b）2=R2，存在a，b，R三个未知量，将A（1，0）代入标准方程只能得到一个方程.求三个未知量应该建立三个方程才有唯一解，因此，过一点A（1，0）不能确定圆.

问题2 过点A（1，0），B（3，0）能確定圆吗？为什么？

生3：不能，因为将这两点代入圆的标准方程只能得到两个方程，方程中存在三个未知量，两个方程组不能算出方程的唯一解.

问题3 在问题2中增加什么条件可以确定一个圆？试写出增加的条件，并说明解题的思路.

生4：已知圆上不同于A（1，0），B（3，0）的另一点，可以分别代入圆的标准方程得到三个方程，解出a，b，R.

生5：已知圆的半径，将A（1，0），B（3，0）代入圆的标准方程，求出a，b.

生6：存在一条已知直线与该圆相切，利用圆心（a，b）到该直线的最短距离d等于半径R.

“圆的标准方程”教学重点就是让学生会写圆的标准方程以及确定一个圆的标准方程的三要素，教学难点是求圆的标准方程条件确定.设计这样的数学反馈活动，对于纠正学生的学习误区、巩固难点是十分必要的.借助这几个问题既要检验学生在活动的过程中是否理解确定圆的方程需要哪些要素，又要以开放的角度养成学生探究性学习的经验.这种活动的反馈，对于经验的总结、错误经验的诊断起到了良好的作用.

促进学生的全面发展是数学活动的重要目标，数学活动不应该只是停留在表面“活动”.从现阶段数学课堂教学重点建设课程引入、教学重难点、数学思想方法、课后反思等几个方面来看，只有在活动参与的过程中积极引导学生思维参与、思想方法上的进步，多利用同化演绎的理论来学习数学概念，最终才能让学生成为活动的主人，在反馈和评价中形成数学能力，实现数学活动的有效性.

【参考文献】

[1]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准[M].人民教育出版社，2013.

[2]曹才翰，蔡金法.数学教育学概论[M].江苏教育出版社，1989.

[3]屠桂芳，孙四周.什么样的活动是“数学活动”[J].数学教育学报，2012：21（5）.