面积法让你柳暗花明

杨全明　张晓艳

所谓面积法是指借助图形面积自身相等的性质、可拆分的性质和可比的性质进行解题的一种方法.在中学阶段它是数学中一种常用的解题方法，并且具有解题便捷快速、简单易懂等特点.现分类举例如下：

一、利用面积自身相等的性质解题

例1.如图，在直角△ABC中，AB=13，AC=12，BC=5，求AB边上的高CD的长.

小结：利用图形面积相等的性质解题，就是从不同的角度使用面積公式来表示同一个图形的面积，列出等式求出未知的量.

二、利用面积的可比性解题

例2.如图在△ABC中，D是BC上一点，DF⊥AB于F，DE⊥AC于E，DE=DF，求证AB∶AC=BD∶DC

解析：过A做BC上的高AG，过D分别作AB，AC的垂线

由于底边相等的三角形，高的比等于面积的比

高相等的三角形，底边的比等于面积的比

所以，S△ABD∶S△ADC=BD∶DC=AB∶AC

小结：我们知道等底等高的两三角形的面积相等，等底不等高的两三角形面积的比等于其对应高的比，等高而不等底的两三角形面积的比等于其对应底的比.

三、利用面积的可分性解题

解析：连接PA、PB、PC，由题意得S△PBC+S△PAC+S△PAB=S△ABC，所以 ■BC·PD+■AC·PE+■AB·PF=■BC·h，又因为AB=AC=BC，

所以，PD+PE+PF=h.

小结：用面积的可分性解题，一般要将图形分成若干个小三角形，利用其整体等于部分之和建立关于条件和结论的关系式，从而方便快捷地解决问题.

许多数学问题，表面上看来似乎与面积无关，但灵活运用面积法，往往能使问题顺利获解，下面举例介绍面积法的巧妙运用，会让你有柳暗花明之感.

1.如图，已知在△ABC中，BD∶DC=2∶1，E为AD的中点，连结BE并延长交AC于F，求AF∶FC.

按以往的解题经验，使用面积法就要先做高.

这道题就向我们反映了使用面积法不必非得做高.

解：连接EC

设△EDC的面积为x

∵BD∶DC=2∶1

∴△BED的面积为2x

同理：△AEB的面积也等于2x

△AEC的面积为x

设△EFC的面积为y

则△AEF的面积就是x-y

即：△ABF的面积就是2x+x-y=3x-y 同理，△BFC的面积是3x+y

∴AF∶FC=3x-y∶3x+y

又∵AF∶FC=x-y∶y

故：AF∶FC=x-y∶y=3x-y∶3x+y

化简：x=5/3y

把x=5/3y带入AF∶FC=x-y∶y

就得到：AF∶FC=2∶3

我们知道，三角形的面积的求法不只是用底和高那一种，还可以用三角函数解决.

三角形的面积等于两边之积乘以夹角的正弦值。既然三角形的面积我们可以用三角函数解决，那么在面积比的问题中，是不是也可以借用一下三角函数呢？

2.例：在矩形ABCD中，有一个菱形BFDE（点E，F分别在线段AB，CD上），DE2=BD·EF，求证：DF=2AD

解析：易得DE2=2DE2·sin∠EDF

即DF=2AD

面积法虽然在做题中有很多妙用，但一定要分清题目的特征，从题目的已知和所求问题中找到切入点，才能活用.在此中考前夕我写下此法望能够起到抛砖引玉之效，望同行斧正.

（作者单位 湖北省郧西县店子初级中学）

？誗编辑 温雪莲