众里寻她千百度

莫静波

在数学一轮复习课中，存在学案选题随意、目的不清、起点过高、选题过难的误区，要打破这一误区，就要从学案选题入手.然而，选什么样的题目，由于教师的知识、经验、能力不同，对学案内容理解不同，所以，所选的题目带有教师个人色彩的独特性.笔者认为，一道题目的价值并不在于它的深奥，而在于它的示范作用，一道试题的选择并不在于它的精巧，而在于它的功能.一道优秀的题目，一般满足两个条件：一是背景平和，表述简洁而严谨，解法灵活而不求特技；二是能很好地体现要实现的教学目的，也就是所说的“题平常，意无限”.下面笔者将就一轮复习学案选择那些类型题目谈几点认识.

1选择可以再现知识、理解概念的题目

学生解题过程是一个数学知识、概念的再现、再认识的过程，题目选择立足于学生学习过的定义、定理、公式、法则等基础知识和基本技能，要求学生解答时对所需知识内容进行再现和确认.这类题目是为了基础知识习题化.题目的选取能小勿大、能单一勿综合、能易勿难、能少勿多.这些题目的价值主要表现在两方面，一是原有知识再一次强化，使学生在原来认识的基础上再加深认识，从而进一步巩固；另一个是为解决本节较高要求题目做准备，在原有的基础上认识的更清晰、更完整、更深刻.

例1（1）若函数f（x）=x2，定义域A={0，1，2}，则值域B为.

（2）若函数f（x）=x2，值域B={0，1，4}，则定义域A为.

（3）若函数定义域A={0，1，2}，值域B={0，1，4}，则满足条件的函数个数为.

点评通过这道题目，不仅将函数的概念及函数的三要素认识清楚.同时使学生进一步理解和掌握概念的原理、规律、数量关系、解题方法，会极大开拓思维空间，从而达到对概念完整深刻理解的目的.

2选择能突出主干、透视对通性通法考查的“常规题目”

特点就是平铺直叙，开门见山，突出主干，突出全面考虑.通过这类题目，培养学生“见题寻知，见题识法”的能力.目的是深化对基础知识的理解，并熟练基本技能，形成解决一类问题的通性通法.

例2（常规中档题）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知cosA=23，sinB=5cosC.

（Ⅰ）求tanC的值；

（Ⅱ）若a=2，求△ABC的面积.

点评此题主要考查三角恒等变换，正弦定理，余弦定理及三角形面积求法等主干知识点，通过题目设计，让学生形成解题经验，形成解决这一类问题的方法和思路.

例3（平常的压轴题）已知函数f（x）满足f（x）=f′（1）ex-1-f（0）x+12x2；

（1）求f（x）的解析式及单调区间；

（2）若f（x）≥12x2+ax+b，求（a+1）b的最大值.

点评本题直观透视对通性通法的考查：考查导数的概念及应用，解法入口多样，解题思路常规.

3选择适量的“能力立意”及“创新背景”的题目

近年高考数学试题，在命题上有一个显著变化，就是突出了“能力立意类型”试题.这类题目以能力立意为指导，以考查能力和素质为导向，特点是将知识、能力和素质融为一体，既考查学生对“双基”的掌握程度，又考查对数学思想方法和数学本质的理解水平，以及进入高校继续学习的潜能.结果是题不是很难，但“考倒”大批学生.原因在于，这类题目大多考生感觉“非常规”，有雾里看花的感觉，解题信心、能力不足.因此，我们在学案选择少量这类题目，目的是让学生有所了解，减少陌生感，熟悉题目的立意点，让我们的学生在日常复习中有意识地认识这类“能力立意类型”试题，探索它的解决策略，增强解题信心和能力.

3.1动态函数型能力题图1

例4如图1，一个正五角星薄片（其对称轴与水面垂直）匀速地升出水面，记t时刻五角星露出水面部分的图形面积为S（t）（S（0）=0），则导函数y=S′（t）的图像大致为（）.

A.B.C.D.

点评此题最大的特色是把物体运动与函数图像自然地融合在一起，实现了动与静的交汇，考查学生的抽象概括、合情推理和运用运动变化的观点分析问题的能力.这类运动中现本质，思维上求创新的动态函数问题，将持续是高考能力题的立意点.

3.2动手操作型能力题

图2

例5如图2，在矩形ABCD中，点E，F分别在线段AB，AD上，

AE=EB=AF=23FD=4.沿直线EF将△AEF翻折成△A′EF，

使平面A′EF⊥平面BEF.

（1）求二面角A′-FD-C的余弦值；

（2）点M，N分别在线段FD，BC上，若沿直线MN

将四边形MNCD向上翻折，使C与A′重合，求线段FM的长.

点评此题的特色是把动手操作和数学实验融入到题目之中，体现新课改提出增强学生动手能力要求的考查，因此仍然是以后一个阶段高考能力题的立意点.

3.3新背景型能力题

例6某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表，那么，各班可推选代表人数y与该班人数x之间的函数关系用取整函数y=[x]（[x]表示不大于x的最大整数）可以表示为（）

A.y=x10B.y=x+310

C.y=x+410D.y=x+510

点评此题的特色是给出了这个具有高等数学背景的取整函数y=[x]，对多数学生来说对它知之甚少，需要学生自主认识和分析新学案，灵活运用知识和方法解决问题.题目视角新颖背景公平，难度恰当区分度高.因此这类背景新颖，考查知识又不“超纲”的题目，可谓高考能力题立意的绝佳点.

4选择可以检验复习效果的一组题目

学生对基本概念、基本方法的理解和掌握是一个从感性到理性、从具体到抽象、从模糊到清晰逐渐过渡的过程.这种理解不可能一次完成，因此需要选取一些题目，对学生所学的知识进行检测和评价，达到反馈评定的效果.学生通过对这组题目的解答，巩固课堂学习效果，发现自己学习中存在的问题，目的在于全面反馈课堂教学效果.

例7（1）下列集合恰有2个元素的集合是（）.

A.{x2-x=0}B.{yy2-y=0}

C.{xy=x2-x}D.{yy=x2-x}

（2）对于复数a，b，c，d，若集合S={a，b，c，d}具有性质“对任意x，y∈S，必有xy∈S”，则当a=1

b2=1

c2=b时，b+c+d等于（）.

A.1B.-1C.0D.i

（3）设P，Q为两个非空实数集合，定义集合P+Q={a+ba∈P，b∈Q}，若P={0，2，5}，Q={1，2，6}，则P+Q中元素个数是（）.

A.9B.8C.7D.6

（4）如果U={x|x是小于9的正整数}，A={1，2，3，4}，B={3，4，5，6}，那么 瘙 綂 UA∩ 瘙 綂 UB=（）.

A.{1，2}B.{3，4}

C.{5，6}D.{7，8}

（5）已知集合A={1，3，m}，B={3，4}，A∪B={1，2，3，4}，则m=.

点评通过解答这组题目，有效地检测了学生的学习效果，作用不只是得出结果，纠正错误，而是引导学生以理解性和发展性标准来认识自己的解题收获，自觉对题目的本质进行重新剖析，总结解题过程的经验和教训，反思解题过程的成败与得失，完善对知识理解和方法使用的认识.

5关注和渗透几类高考导向题

“高考指挥棒”是客观存在的，高考的导向始终是高中数学教学应关注的问题.

5.1突出几何直观的题目

新课程标准重视图形语言，多画一些图，既直观又有逻辑，好的高考题都蕴含着丰富的图形.

例8函数y=cos6x2x-2-x的图像大致为（）.

点评题中y=cos6x是偶函数且值域为[-1，1]，y=2x-2-x是奇函数且单调递增，从而可得y=cos6x2x-2-x为奇函数，并且随着|x|的增大，y→0，用这样的考查对教与学中重视基础知识的理解和运用都有好的引导.

5.2融入数学文化的题目

高考题中融入数学文化，是近几年高考试题一个重要特色.

例9已知f（x）=11+x，各项均为正数的数列{an}满足a1=1，an+2=f（an），若a2010=a2012，则a20+a11的值是.

点评本题依托分式函数和正项数列的交汇，融入了函数不动点、黄金分割比和斐波那契数列等文化，构思巧妙.根据条件可求出a2010=5-12（恰好是黄金分割数），容易得到偶数项是常数列，而奇数项的分子和分母都是斐波那契数列.这种文化底蕴深厚的题目，我们可以选用，这样不仅能提高学生的数学素养，也能培养学生的解题灵感.

5.3来源于高等数学的题目

因为高考数学命题组的核心成员是高校教师，他们更理解初等数学与高等数学之间的密切关系，他们命题时能够使高考试题隐含或直接体现高等数学的一些知识、思想和方法，这样的试题背景公平，夺人眼球.

例10对于平面上的点集Ω，如果连接Ω中任意两点的线段必定包涵Ω，则称Ω为平面上的凸集，给出平面上4个点集的图形如下（阴影区域及其边界）：

①②③④

其中为凸集的是（写出所有凸集相应图形的序号）.

点评凸集是一个抽象概念，实际上它是高等数学中的点集拓扑学中的一个基本概念，这道高考题以凸集概念为背景考查学生对新概念理解能力，一旦我们“剥开”了高等数学的外套，学生就会发现它考查的知识和思路非常基础.

5.4体现出阅读能力的题目

数学不仅是一门科学，也是一种文化，更是一种语言——描述科学的语言.它通常是文字语言、符号语言、图形语言的交融.数学阅读重在理解，它是内部语言的转化过程，最终是要用自己的语言来理解数学定理和定义，是对新知识的同化和顺应的过程.在阅读文字语言的过程中，往往需要数形结合，再转化为符号语言达到理解的目的.

例11商家通常依据“乐观系数准则”确定商品销售价格，及根据商品的最低销售限价a，最高销售限价b（b>a）以及常数x（0

经验表明，最佳乐观系数x恰好使得（c-a）是（b-c）和（b-a）的等比中项，据此可得，最佳乐观系数x的值等于.

点评此题很多学生一看到题目就懵，不知从何下手.然而此题只要正确理解材料意思，通过列方程组即可求出题目答案.因此通过这类题目，锻炼学生的阅读能力，有效的提取阅读信息.

综上，一轮题，重“三基”，知再现，突主干，题平常，意无限.能立意，“动”体现，新背景，要常见，选适量，忌多贪.达标题，成组现，巩成果，检缺陷，善反思，形经验.导向题，“图”直观，渗文化，喜“高”参，能阅读，转“语言”，体真谛，解法显.题价值，教师判，勤思考，认真研，众寻“她”，在心间.

学生对基本概念、基本方法的理解和掌握是一个从感性到理性、从具体到抽象、从模糊到清晰逐渐过渡的过程.这种理解不可能一次完成，因此需要选取一些题目，对学生所学的知识进行检测和评价，达到反馈评定的效果.学生通过对这组题目的解答，巩固课堂学习效果，发现自己学习中存在的问题，目的在于全面反馈课堂教学效果.

例7（1）下列集合恰有2个元素的集合是（）.

A.{x2-x=0}B.{yy2-y=0}

C.{xy=x2-x}D.{yy=x2-x}

（2）对于复数a，b，c，d，若集合S={a，b，c，d}具有性质“对任意x，y∈S，必有xy∈S”，则当a=1

b2=1

c2=b时，b+c+d等于（）.

A.1B.-1C.0D.i

（3）设P，Q为两个非空实数集合，定义集合P+Q={a+ba∈P，b∈Q}，若P={0，2，5}，Q={1，2，6}，则P+Q中元素个数是（）.

A.9B.8C.7D.6

（4）如果U={x|x是小于9的正整数}，A={1，2，3，4}，B={3，4，5，6}，那么 瘙 綂 UA∩ 瘙 綂 UB=（）.

A.{1，2}B.{3，4}

C.{5，6}D.{7，8}

（5）已知集合A={1，3，m}，B={3，4}，A∪B={1，2，3，4}，则m=.

点评通过解答这组题目，有效地检测了学生的学习效果，作用不只是得出结果，纠正错误，而是引导学生以理解性和发展性标准来认识自己的解题收获，自觉对题目的本质进行重新剖析，总结解题过程的经验和教训，反思解题过程的成败与得失，完善对知识理解和方法使用的认识.

5关注和渗透几类高考导向题

“高考指挥棒”是客观存在的，高考的导向始终是高中数学教学应关注的问题.

5.1突出几何直观的题目

新课程标准重视图形语言，多画一些图，既直观又有逻辑，好的高考题都蕴含着丰富的图形.

例8函数y=cos6x2x-2-x的图像大致为（）.

点评题中y=cos6x是偶函数且值域为[-1，1]，y=2x-2-x是奇函数且单调递增，从而可得y=cos6x2x-2-x为奇函数，并且随着|x|的增大，y→0，用这样的考查对教与学中重视基础知识的理解和运用都有好的引导.

5.2融入数学文化的题目

高考题中融入数学文化，是近几年高考试题一个重要特色.

例9已知f（x）=11+x，各项均为正数的数列{an}满足a1=1，an+2=f（an），若a2010=a2012，则a20+a11的值是.

点评本题依托分式函数和正项数列的交汇，融入了函数不动点、黄金分割比和斐波那契数列等文化，构思巧妙.根据条件可求出a2010=5-12（恰好是黄金分割数），容易得到偶数项是常数列，而奇数项的分子和分母都是斐波那契数列.这种文化底蕴深厚的题目，我们可以选用，这样不仅能提高学生的数学素养，也能培养学生的解题灵感.

5.3来源于高等数学的题目

因为高考数学命题组的核心成员是高校教师，他们更理解初等数学与高等数学之间的密切关系，他们命题时能够使高考试题隐含或直接体现高等数学的一些知识、思想和方法，这样的试题背景公平，夺人眼球.

例10对于平面上的点集Ω，如果连接Ω中任意两点的线段必定包涵Ω，则称Ω为平面上的凸集，给出平面上4个点集的图形如下（阴影区域及其边界）：

①②③④

其中为凸集的是（写出所有凸集相应图形的序号）.

点评凸集是一个抽象概念，实际上它是高等数学中的点集拓扑学中的一个基本概念，这道高考题以凸集概念为背景考查学生对新概念理解能力，一旦我们“剥开”了高等数学的外套，学生就会发现它考查的知识和思路非常基础.

5.4体现出阅读能力的题目

数学不仅是一门科学，也是一种文化，更是一种语言——描述科学的语言.它通常是文字语言、符号语言、图形语言的交融.数学阅读重在理解，它是内部语言的转化过程，最终是要用自己的语言来理解数学定理和定义，是对新知识的同化和顺应的过程.在阅读文字语言的过程中，往往需要数形结合，再转化为符号语言达到理解的目的.

例11商家通常依据“乐观系数准则”确定商品销售价格，及根据商品的最低销售限价a，最高销售限价b（b>a）以及常数x（0

经验表明，最佳乐观系数x恰好使得（c-a）是（b-c）和（b-a）的等比中项，据此可得，最佳乐观系数x的值等于.

点评此题很多学生一看到题目就懵，不知从何下手.然而此题只要正确理解材料意思，通过列方程组即可求出题目答案.因此通过这类题目，锻炼学生的阅读能力，有效的提取阅读信息.

综上，一轮题，重“三基”，知再现，突主干，题平常，意无限.能立意，“动”体现，新背景，要常见，选适量，忌多贪.达标题，成组现，巩成果，检缺陷，善反思，形经验.导向题，“图”直观，渗文化，喜“高”参，能阅读，转“语言”，体真谛，解法显.题价值，教师判，勤思考，认真研，众寻“她”，在心间.

学生对基本概念、基本方法的理解和掌握是一个从感性到理性、从具体到抽象、从模糊到清晰逐渐过渡的过程.这种理解不可能一次完成，因此需要选取一些题目，对学生所学的知识进行检测和评价，达到反馈评定的效果.学生通过对这组题目的解答，巩固课堂学习效果，发现自己学习中存在的问题，目的在于全面反馈课堂教学效果.

例7（1）下列集合恰有2个元素的集合是（）.

A.{x2-x=0}B.{yy2-y=0}

C.{xy=x2-x}D.{yy=x2-x}

（2）对于复数a，b，c，d，若集合S={a，b，c，d}具有性质“对任意x，y∈S，必有xy∈S”，则当a=1

b2=1

c2=b时，b+c+d等于（）.

A.1B.-1C.0D.i

（3）设P，Q为两个非空实数集合，定义集合P+Q={a+ba∈P，b∈Q}，若P={0，2，5}，Q={1，2，6}，则P+Q中元素个数是（）.

A.9B.8C.7D.6

（4）如果U={x|x是小于9的正整数}，A={1，2，3，4}，B={3，4，5，6}，那么 瘙 綂 UA∩ 瘙 綂 UB=（）.

A.{1，2}B.{3，4}

C.{5，6}D.{7，8}

（5）已知集合A={1，3，m}，B={3，4}，A∪B={1，2，3，4}，则m=.

点评通过解答这组题目，有效地检测了学生的学习效果，作用不只是得出结果，纠正错误，而是引导学生以理解性和发展性标准来认识自己的解题收获，自觉对题目的本质进行重新剖析，总结解题过程的经验和教训，反思解题过程的成败与得失，完善对知识理解和方法使用的认识.

5关注和渗透几类高考导向题

“高考指挥棒”是客观存在的，高考的导向始终是高中数学教学应关注的问题.

5.1突出几何直观的题目

新课程标准重视图形语言，多画一些图，既直观又有逻辑，好的高考题都蕴含着丰富的图形.

例8函数y=cos6x2x-2-x的图像大致为（）.

点评题中y=cos6x是偶函数且值域为[-1，1]，y=2x-2-x是奇函数且单调递增，从而可得y=cos6x2x-2-x为奇函数，并且随着|x|的增大，y→0，用这样的考查对教与学中重视基础知识的理解和运用都有好的引导.

5.2融入数学文化的题目

高考题中融入数学文化，是近几年高考试题一个重要特色.

例9已知f（x）=11+x，各项均为正数的数列{an}满足a1=1，an+2=f（an），若a2010=a2012，则a20+a11的值是.

点评本题依托分式函数和正项数列的交汇，融入了函数不动点、黄金分割比和斐波那契数列等文化，构思巧妙.根据条件可求出a2010=5-12（恰好是黄金分割数），容易得到偶数项是常数列，而奇数项的分子和分母都是斐波那契数列.这种文化底蕴深厚的题目，我们可以选用，这样不仅能提高学生的数学素养，也能培养学生的解题灵感.

5.3来源于高等数学的题目

因为高考数学命题组的核心成员是高校教师，他们更理解初等数学与高等数学之间的密切关系，他们命题时能够使高考试题隐含或直接体现高等数学的一些知识、思想和方法，这样的试题背景公平，夺人眼球.

例10对于平面上的点集Ω，如果连接Ω中任意两点的线段必定包涵Ω，则称Ω为平面上的凸集，给出平面上4个点集的图形如下（阴影区域及其边界）：

①②③④

其中为凸集的是（写出所有凸集相应图形的序号）.

点评凸集是一个抽象概念，实际上它是高等数学中的点集拓扑学中的一个基本概念，这道高考题以凸集概念为背景考查学生对新概念理解能力，一旦我们“剥开”了高等数学的外套，学生就会发现它考查的知识和思路非常基础.

5.4体现出阅读能力的题目

数学不仅是一门科学，也是一种文化，更是一种语言——描述科学的语言.它通常是文字语言、符号语言、图形语言的交融.数学阅读重在理解，它是内部语言的转化过程，最终是要用自己的语言来理解数学定理和定义，是对新知识的同化和顺应的过程.在阅读文字语言的过程中，往往需要数形结合，再转化为符号语言达到理解的目的.

例11商家通常依据“乐观系数准则”确定商品销售价格，及根据商品的最低销售限价a，最高销售限价b（b>a）以及常数x（0

经验表明，最佳乐观系数x恰好使得（c-a）是（b-c）和（b-a）的等比中项，据此可得，最佳乐观系数x的值等于.

点评此题很多学生一看到题目就懵，不知从何下手.然而此题只要正确理解材料意思，通过列方程组即可求出题目答案.因此通过这类题目，锻炼学生的阅读能力，有效的提取阅读信息.

综上，一轮题，重“三基”，知再现，突主干，题平常，意无限.能立意，“动”体现，新背景，要常见，选适量，忌多贪.达标题，成组现，巩成果，检缺陷，善反思，形经验.导向题，“图”直观，渗文化，喜“高”参，能阅读，转“语言”，体真谛，解法显.题价值，教师判，勤思考，认真研，众寻“她”，在心间.