基于Lotka—Volterra模型的中国股票市场非线性特征研究

刘辉煌　莫宪　饶彬

摘 要：股票市场是一个非线性的复杂动力系统，将生态学的多种群LotkaVolterra竞争模型进行改进后引入到股票市场，通过系统仿真，模拟中国股市运行，得出了类似于股票市场运行的非线性特征，为研究股市复杂性提供了新思路。

关键词： 复杂性；演化金融学；计算机金融；竞争；混沌；多分形

中图分类号：F830.9 文献标识码： A 文章编号：1003-7217（2014）01-0033-05

一、引 言

大量研究表明股票市场是一个非线性的复杂动力系统，其时间上的不可逆性、线路上的多重因果反馈及不确定性使其呈现巨大的复杂性，国内外专家学者对此进行了深入的研究。徐绪松、陈彦斌利用沪深股市的数据，对我国股票市场进行了正态性检验，证明了沪深股市各阶段对数收益率序列偏离正态分布，通过对关联维和Lyapunov指数的检验，得出沪深股市存在的混沌特性[1]；徐龙炳研究了中国股票收益尖峰厚尾的稳态特征，认为对于具有“状态持续特性”的时间序列而言，资本资产定价模型、套利定价模型将不会适应[2]；伍海华等研究了利用自相关函数和李雅普洛夫指数进行证券市场研究的科学性，并进行了实证检验[3]；张晓莉、严广乐利用ARFIMA模型检验了沪深股市收益率的长期记忆性[4]；刘宇利用LSTAR模型研究了上证A指的动态周期行为，实证分析了上证A指具有明显的非线性逻辑转换特征[5]；孙彬、李铁克等对人工神经网络模型进行改进，建构了结构修剪神经网络模型和模型预测指标体系对上证指数进行仿真预测，这是计算机金融在国内应用的最新成果，但是文章并没有对预测结果进行实证检验，其预测的有效性值得探讨[6]。国内学者主要是立足于实证经济学，利用实证模型研究中国股市的非线性特征，这些工作为我国股市研究打下了良好的基础，但是由于过于注重实证，也忽视了学科间的理论联系，大部分研究还是站在传统经济学的立场，鲜有跨学科的理论开创。

相比而言，国外学者有更多的尝试。一些非线性方法、复杂性科学甚至物理学、生态学中的理论被引入股票市场研究领域，并取得了一定的进展。Hersh Shefrin， Meir Statman提出了“行为资产组合理论”，将行为金融学和金融工程相结合研究证券市场[7]；Dietrich S、Didier S在physica A 上发文，提出自组织渗透模型，用物理学的方法为我们扩展了金融研究的视角[8]；Anderson P W， Arrow K J， David P将经济系统看作不断演化的复杂系统（evolving complex system），从生物演化论的角度研究经济问题[9]。除以上新兴研究视角外，还有ARCH模型、分形（fractal）、相变（transition）、试验经济学等[10-13]。这些理论和方法从不同侧面揭示了证券市场的复杂性，开拓了证券市场研究的新思路。

本文从演化金融学的角度，通过系统仿真方法类比研究中国股票市场。基于Agent的计算金融学（Agentbased Computational Finance）是演化金融学的重要流派之一[14]，它放弃了“股票投资者个体同质和完全理性”的假定，借鉴生物演化的思想，通过系统仿真建立人工金融市场开展研究。基于这一理论背景，本文将多种群LotkaVolterra模型引入到中国股票市场中进行分析。假定众多的上市公司是为争夺有限资源而相互竞争的主体，竞争的结果会导致股价的涨落。由于基本的LotkaVolterra模型最终会进入一种稳定状态，只剩下少数适应度较高的种群，不利于系统持续有效地演化，所以本文对模型进行了改进，当一个种群即将灭绝的时候，对它的系统参数进行变异，以维持种群的多样性，种群的诞生和灭绝可以类比于公司的上市和破产，这和真实的股票市场类似。并以种群规模N=30的情况为例进行验证，通过调节系统参数，可以观察到和真实股票市场类似的程式化效应（stylized facts），即“尖峰厚尾”性、混沌特性、长期记忆性，以及多分形等现象。

二、LotkaVolterra模型简介

三、LotkaVolterra模型运用于股票市场的合理性分析

证券市场具有极为复杂的非线性特征。非对称的供给和需求、非对称的经济周期波动、非对称的信息、经济变量迭代过程的时滞、人的行为的“有限理性”以及突发的政治事件等都是非线性因素的体现。正是由于这些非线性作用，导致系统出现吸引、分叉、突变、锁定、混沌等复杂现象。因此，建立非线性的微分方程或差分方程符合证券市场的内在规律。但是，由于经济系统本身的复杂性，要想准确建立系统的演化方程是不可能的。该模型是一种理想化的情况，把众多的上市公司看成是相互作用的主体，而且假设上述的各种非线性因素都已经融进了这种作用当中，即市场的所有信息都融进了参数体Ω={N，bi，aij，ci，（1≤i≤N）}当中。公司间的相互作用也可以仿生物学的观点分为三种：竞争、掠夺和共生。竞争和掠夺体现为价格的反向变化；共生体现为价格的共同增长。

另外，在进行实验时发现“综合指数”一般都小于5%，即公司的平均密度小于5%，说明尽管对模型进行了改进，使系统能够持续有效地进行，但还是有一部分公司“灭绝”了。从D（t）的走势图可以看出，系统的多样性还是比较低，这是由于建立的是竞争模型，所以，必然有公司要在竞争中“灭绝”，只不过“灭绝”现象在不同公司间转移而已，即公司在演化过程中会出现高潮和低谷，并不是一直处于强劲势头，这也和实际情况相符。

（三）“尖峰厚尾”特性

已有大量文献表明股市收益具有“尖峰厚尾”特性，即收益并不是满足有效市场下的高斯分布。尖峰表明收益在零附近的交易日非常多，市场经常处于均衡状态；厚尾则表明市场也会遇到大的波动事件，且发生的概率比在正态分布假设下的概率大得多。以上证综合指数为例，计算出1992年5月～2010年5月间的峰度为k=27.9566，如果时间范围取为1997年1月～2010年5月，则峰度变为k=9.1116。峰度有较大的变化，这是因为我国证券市场在1997年以前还不大完善，股价大起大落的现象还比较严重（见图4的前半部分），1997年以后证券市场逐渐走向成熟，所以波动没有那么剧烈。但是，股价收益仍不服从有效市场意义下的高斯分布（高斯分布的峰度为3），其他国家的一些指数也有类似的行为[16]。模型中取同样计算量的数据，得出市场“综合收益”的峰度为k= 34.1028，这与上证股市的结果类似。图4是真实数据、相同均值和方差下的高斯噪声以及模型收益的比较图。由图可以看出，模型收益和真实收益都明显不同于高斯噪声，收益具有波动聚集行为，即一些地方变化剧烈，而另外一些地方变化相对平缓。

五、结 论

由于已有大量文献研究股市的非线性特征，本文没有注重对中国股市的非线性特征进行实证分析，而是换一个角度，选取生态学中经典的LotkaVolterra模型，通过定义相关变量并利用仿真技术构造一个多种群竞争系统（计算机模拟股票市场），模拟股票市场运行，并与现实股票市场进行类比分析。众多的上市公司可以看成是为了争夺有限资源而相互作用的主体，竞争的结果会影响股票价格。研究结果表明，模型中可以观察到和真实股票市场类似的程式化效应，即“尖峰厚尾”性、混沌特性、标度行为、长期记忆性和多分形等。

股票市场是一个复杂的适应性系统，传统的线性研究方法陆续被非线性研究方法取代，生物学、物理学等的研究方法陆续被引入股票市场的研究体系，本文即是跨学科研究股票市场的尝试之一，主要目的在于提供一种研究股票市场的新视角。当然，我们的模型还只是一种理想化的情况，真实的演化方程不一定是这样。尽管如此，实验结果和真实数据的如此相似使模型具有较高的可信度。进一步地，还可以对模型进行改进，加入随机扰动项，研究其他一些变量间的关系，如自相关函数、功率谱等统计量，这将是我们日后的研究方向。

参考文献：

[1]徐绪松，陈彦斌.沪深股票市场非线性实证研究[J].数量经济技术经济研究，2001，（3）：110-113.

[2]徐龙炳.中国股票市场股票收益稳态特性的实证研究[C].中国会计与财务问题国际研讨会，2001， 252（6）：478-488.

[3]伍海华. 论证券市场的复杂性：以上海股票市场为例[J]. 系统仿真学报，2002，14（11）：1486-1490.

[4]张晓莉，严广乐.中国股票市场长期记忆性特征的实证研究[J].系统工程学报，2006，22（2）：190-194.

[5]刘宇.中国股票市场的非线性研究基于LSTAR模型[J].管理工程学报，2008，22（1）：82-85.

[6]孙彬，李铁克，张文学. 基于结构修剪神经网络的股票指数预测模型[J].计算机应用研究，2011，28（8）：2840-2843.

[7]Hersh Shefrin， Meir Statman. Behavioral portfolio theory[J]. Journal of Financial and Quantitative Analysis， 2000， 35（2）：127-151.

[8]Dietrich S， Didier S， Selforganized percolation model for stock market fluctuations[J]. Physica A， 1999，（271）：496-506.

[9]Anderson P W， Arrow K J， David P. The economy as an evolving complex system[M]. Addison Wesley Longman， 1988：139-148.

[10]Z.I. Dimitrova， N.K. Vitanov. Adaptation and its impact on the dynamics of a system of three competing populations[J]， Physica A， 2001，（300）：9.

[11]A. Arneodo， P. Coullet， J. Peyraud， C. Tresser.Strange attractors in Volterrra equations for species in competition[J]. Math. Biol. 1982， 14： 153-154.

[12]R.M. May， W.J. Leonard. Nonlinear aspects of competition between three species [J].SIAM Appl. Math. 1975，（29）：243.

[13]R.M. May. Theoretical Ecology[J]： Principles and Applications， seconded.， Blackwell Scientific， Oxford， 1981：221-243.

[14]Black L.Agentbased Coputational Finance[M]. Handbook of computational Economics，Volume，2：1187-1223.

[15]A.J. Lotka. Elements of Physical Biology[M]， Williams and Wilkins， Baltimore， 1925：168-177.

[16]B. Mandelbrot， Fractals and Scaling in Finance[J] .Physics Today， 1998：51（8）：59-60.

（责任编辑：王铁军）

Abstract：Stock market is a complex nonlinear dynamical system. Our paper applied the multigroup Lotka-Volterra competition model to the stock market and found that it can simulate the operation of the stock market perfectly. This paper provided a new idea for studying the complexity of the stock market.

Key words：Complexity； Evolutionary Finance； Computational Finance； Competition； Chaos； Multifractality

五、结 论

由于已有大量文献研究股市的非线性特征，本文没有注重对中国股市的非线性特征进行实证分析，而是换一个角度，选取生态学中经典的LotkaVolterra模型，通过定义相关变量并利用仿真技术构造一个多种群竞争系统（计算机模拟股票市场），模拟股票市场运行，并与现实股票市场进行类比分析。众多的上市公司可以看成是为了争夺有限资源而相互作用的主体，竞争的结果会影响股票价格。研究结果表明，模型中可以观察到和真实股票市场类似的程式化效应，即“尖峰厚尾”性、混沌特性、标度行为、长期记忆性和多分形等。

股票市场是一个复杂的适应性系统，传统的线性研究方法陆续被非线性研究方法取代，生物学、物理学等的研究方法陆续被引入股票市场的研究体系，本文即是跨学科研究股票市场的尝试之一，主要目的在于提供一种研究股票市场的新视角。当然，我们的模型还只是一种理想化的情况，真实的演化方程不一定是这样。尽管如此，实验结果和真实数据的如此相似使模型具有较高的可信度。进一步地，还可以对模型进行改进，加入随机扰动项，研究其他一些变量间的关系，如自相关函数、功率谱等统计量，这将是我们日后的研究方向。

参考文献：

[1]徐绪松，陈彦斌.沪深股票市场非线性实证研究[J].数量经济技术经济研究，2001，（3）：110-113.

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[3]伍海华. 论证券市场的复杂性：以上海股票市场为例[J]. 系统仿真学报，2002，14（11）：1486-1490.

[4]张晓莉，严广乐.中国股票市场长期记忆性特征的实证研究[J].系统工程学报，2006，22（2）：190-194.

[5]刘宇.中国股票市场的非线性研究基于LSTAR模型[J].管理工程学报，2008，22（1）：82-85.

[6]孙彬，李铁克，张文学. 基于结构修剪神经网络的股票指数预测模型[J].计算机应用研究，2011，28（8）：2840-2843.

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[8]Dietrich S， Didier S， Selforganized percolation model for stock market fluctuations[J]. Physica A， 1999，（271）：496-506.

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[11]A. Arneodo， P. Coullet， J. Peyraud， C. Tresser.Strange attractors in Volterrra equations for species in competition[J]. Math. Biol. 1982， 14： 153-154.

[12]R.M. May， W.J. Leonard. Nonlinear aspects of competition between three species [J].SIAM Appl. Math. 1975，（29）：243.

[13]R.M. May. Theoretical Ecology[J]： Principles and Applications， seconded.， Blackwell Scientific， Oxford， 1981：221-243.

[14]Black L.Agentbased Coputational Finance[M]. Handbook of computational Economics，Volume，2：1187-1223.

[15]A.J. Lotka. Elements of Physical Biology[M]， Williams and Wilkins， Baltimore， 1925：168-177.

[16]B. Mandelbrot， Fractals and Scaling in Finance[J] .Physics Today， 1998：51（8）：59-60.

（责任编辑：王铁军）

Abstract：Stock market is a complex nonlinear dynamical system. Our paper applied the multigroup Lotka-Volterra competition model to the stock market and found that it can simulate the operation of the stock market perfectly. This paper provided a new idea for studying the complexity of the stock market.

Key words：Complexity； Evolutionary Finance； Computational Finance； Competition； Chaos； Multifractality

五、结 论

由于已有大量文献研究股市的非线性特征，本文没有注重对中国股市的非线性特征进行实证分析，而是换一个角度，选取生态学中经典的LotkaVolterra模型，通过定义相关变量并利用仿真技术构造一个多种群竞争系统（计算机模拟股票市场），模拟股票市场运行，并与现实股票市场进行类比分析。众多的上市公司可以看成是为了争夺有限资源而相互作用的主体，竞争的结果会影响股票价格。研究结果表明，模型中可以观察到和真实股票市场类似的程式化效应，即“尖峰厚尾”性、混沌特性、标度行为、长期记忆性和多分形等。

股票市场是一个复杂的适应性系统，传统的线性研究方法陆续被非线性研究方法取代，生物学、物理学等的研究方法陆续被引入股票市场的研究体系，本文即是跨学科研究股票市场的尝试之一，主要目的在于提供一种研究股票市场的新视角。当然，我们的模型还只是一种理想化的情况，真实的演化方程不一定是这样。尽管如此，实验结果和真实数据的如此相似使模型具有较高的可信度。进一步地，还可以对模型进行改进，加入随机扰动项，研究其他一些变量间的关系，如自相关函数、功率谱等统计量，这将是我们日后的研究方向。

参考文献：

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[9]Anderson P W， Arrow K J， David P. The economy as an evolving complex system[M]. Addison Wesley Longman， 1988：139-148.

[10]Z.I. Dimitrova， N.K. Vitanov. Adaptation and its impact on the dynamics of a system of three competing populations[J]， Physica A， 2001，（300）：9.

[11]A. Arneodo， P. Coullet， J. Peyraud， C. Tresser.Strange attractors in Volterrra equations for species in competition[J]. Math. Biol. 1982， 14： 153-154.

[12]R.M. May， W.J. Leonard. Nonlinear aspects of competition between three species [J].SIAM Appl. Math. 1975，（29）：243.

[13]R.M. May. Theoretical Ecology[J]： Principles and Applications， seconded.， Blackwell Scientific， Oxford， 1981：221-243.

[14]Black L.Agentbased Coputational Finance[M]. Handbook of computational Economics，Volume，2：1187-1223.

[15]A.J. Lotka. Elements of Physical Biology[M]， Williams and Wilkins， Baltimore， 1925：168-177.

[16]B. Mandelbrot， Fractals and Scaling in Finance[J] .Physics Today， 1998：51（8）：59-60.

（责任编辑：王铁军）

Abstract：Stock market is a complex nonlinear dynamical system. Our paper applied the multigroup Lotka-Volterra competition model to the stock market and found that it can simulate the operation of the stock market perfectly. This paper provided a new idea for studying the complexity of the stock market.

Key words：Complexity； Evolutionary Finance； Computational Finance； Competition； Chaos； Multifractality