高三数学概念“函数周期性”复习教学刍议

陈之领

摘要：函数的周期性在高中教学起点较低，但关于这一知识点的解题能力要求较高，两者在能力要求上相差较大。本文从概念课复习出发，从两个层次上谈如何有效地实现这一跨越。

关键词：起点；理解；迁移；文思；原形

中图分类号：G427文献标识码：A 文章编号：1992-7711（2014）18-092-1苏教版高中数学教材中，函数的周期性这一概念出现在必修四《三角函数》中，《江苏省普通高中课程标准教学要求》指出：了解三角函数的周期性，知道三角函数y=Asin（ωx+φ），y=Acos（ωx+φ）的周期为T=2π|ω|。关于三角函数的教学，应注意要根据学生的生活经验，创设丰富的情境，使学生体会三角函数模型的意义。面对各地模拟试卷中经常出现难度较大的关于函数周期性的试题，学生解决起来颇有困难。因此，高三的数学概念复习中一定要把握文思，超越原形。把握文思就是要立足起点，加强理解，超越原形就是要巧妙迁移，拓展延伸，使学生的能力得到提升。

一、立足起点，加强理解——把握文思

结合新授课的教学与课前的预习，学生会对函数周期性有如下理解：

感知层面：①对于值域中的每一个函数值总会不断重复出现；②函数值重复出现的“跨度”就是函数的周期；③函数的周期可能不止一个。

理解层面：①对定义域中只需存在一个值x不满足f（x+T）=f（x），就不能说f（x）是周期函数；②周期性是函数的一个整体性质；③周期函数的周期不止一个，若T是周期，则kT（k∈Z，k≠0）一定也是周期，周期中最小的正数称为最小正周期；④并不是所有的周期函数都有最小正周期。

在教学过程中，教师要抓住概念表述中的文思“函数值等距离重复出现”，进行剖析：函数值重复出现能否用另一种形式表达，把学生的理解进一步引向深入。

加强理解①（以相反数的形式重复出现）：一般地，对于函数f（x），如果存在一个不为零的常数T，使得定义域内的每一个x值，都满足f（x+T）=-f（x），则f（x+2T）=f[（x+T）+T]=-f（x+T）=f（x），函数f（x）为周期函数。

加强理解②（以倒数的形式重复出现）：一般地，对于函数f（x），如果存在一个不为零的常数T，使得定义域内的每一个x值，都满足f（x+T）=1f（x），则f（x+2T）=f[（x+T）+T]=1f（x+T）=f（x），函数f（x）为周期函数。

当然可以将两者结合在一起，已是水到渠成的事。

二、巧妙迁移，拓展延伸——超越原形

在高三数学复习的教学实践中，学生若对周期性的理解止于此的话，那么函数周期性的概念复习才算完成了一半，甚至是一小半！我们必须让学生思考：函数周期性，在求画函数图像、研究函数性质等方面有什么效用？使学生明白：因为每一个周期的图像特征是一致的，因此只需研究一个特殊周期的图像和性质即可。这也点明了周期性的本质功能是实现了图像在不同区间上的转移。再进一步思考：函数周期性体现出来图像转移的方式是“横向的平移”、图像的基本形状不改变。从这一点上来讲，对数学概念的理解一定要超越原形

若改变图像转移的方式，函数周期性的概念就可以进一步拓展迁移。基于这种理解，笔者与学生研究了如下两种性质并给出相应的练习：

1.一般地，对于函数f（x），如果存在一个不为零的常数T，使得定义域内的每一个x值，都满足f（x+T）=f（x）+A，那么函数f（x）可以理解成双等差周期函数，非零的常数T叫做这个函数的周期。练习（略）。

2.一般地，对于函数f（x），如果存在一个不为零的常数T，使得定义域内的每一个x值，都满足f（x+T）=Af（x），那么函数f（x）可以理解成横等差纵等比周期函数，非零的常数T叫做这个函数的周期。练习（略）。

通过两个新概念的引入，学生会了解到函数图像的“转移”不仅可以沿x轴水平的“移”，还可以沿着x轴、y轴同时变化的移：横向等差移，纵向等差移；横向等差移，纵向等比移。学生自然就会提问：横向是否可以等比移呢？在函数周期性概念学习的基础上，学生的思维一下子打开了，笔者连同学生接着研究下面两道习题：

3.设函数f（x）=1-|x-1|，x<2

12f（x-2），x≥2，则方程xf（x）-1=0的根的个数为。

4.定义在[1，+∞）上的函数f（x）满足①f（2x）=cf（x）（c为正常数）；②当2≤x≤4时f（x）=1-|x-3|。若函数所有的极大值点均落在通一条直线上，则c=。

两道习题的顺利解决促使学生思考对函数周期性定义的理解不应仅仅停留在“函数值周而复始重复出现”这样简单的理解水平上，对数学概念的理解应重点在于对其本质的理解、迁移与拓展。

有了上述的基础，笔者给出了一道较难的习题，作为课后思考。

在复习过程中，教师应指导学生对概念的文思做深入的理解，本质的把握。若能在概念原有的基础上有所拓展，适当地进行一些迁移，概念的应用空间可能会急剧地扩展，课堂教学可能会取得事半功倍的效果。endprint

摘要：函数的周期性在高中教学起点较低，但关于这一知识点的解题能力要求较高，两者在能力要求上相差较大。本文从概念课复习出发，从两个层次上谈如何有效地实现这一跨越。

关键词：起点；理解；迁移；文思；原形

中图分类号：G427文献标识码：A 文章编号：1992-7711（2014）18-092-1苏教版高中数学教材中，函数的周期性这一概念出现在必修四《三角函数》中，《江苏省普通高中课程标准教学要求》指出：了解三角函数的周期性，知道三角函数y=Asin（ωx+φ），y=Acos（ωx+φ）的周期为T=2π|ω|。关于三角函数的教学，应注意要根据学生的生活经验，创设丰富的情境，使学生体会三角函数模型的意义。面对各地模拟试卷中经常出现难度较大的关于函数周期性的试题，学生解决起来颇有困难。因此，高三的数学概念复习中一定要把握文思，超越原形。把握文思就是要立足起点，加强理解，超越原形就是要巧妙迁移，拓展延伸，使学生的能力得到提升。

一、立足起点，加强理解——把握文思

结合新授课的教学与课前的预习，学生会对函数周期性有如下理解：

感知层面：①对于值域中的每一个函数值总会不断重复出现；②函数值重复出现的“跨度”就是函数的周期；③函数的周期可能不止一个。

理解层面：①对定义域中只需存在一个值x不满足f（x+T）=f（x），就不能说f（x）是周期函数；②周期性是函数的一个整体性质；③周期函数的周期不止一个，若T是周期，则kT（k∈Z，k≠0）一定也是周期，周期中最小的正数称为最小正周期；④并不是所有的周期函数都有最小正周期。

在教学过程中，教师要抓住概念表述中的文思“函数值等距离重复出现”，进行剖析：函数值重复出现能否用另一种形式表达，把学生的理解进一步引向深入。

加强理解①（以相反数的形式重复出现）：一般地，对于函数f（x），如果存在一个不为零的常数T，使得定义域内的每一个x值，都满足f（x+T）=-f（x），则f（x+2T）=f[（x+T）+T]=-f（x+T）=f（x），函数f（x）为周期函数。

加强理解②（以倒数的形式重复出现）：一般地，对于函数f（x），如果存在一个不为零的常数T，使得定义域内的每一个x值，都满足f（x+T）=1f（x），则f（x+2T）=f[（x+T）+T]=1f（x+T）=f（x），函数f（x）为周期函数。

当然可以将两者结合在一起，已是水到渠成的事。

二、巧妙迁移，拓展延伸——超越原形

在高三数学复习的教学实践中，学生若对周期性的理解止于此的话，那么函数周期性的概念复习才算完成了一半，甚至是一小半！我们必须让学生思考：函数周期性，在求画函数图像、研究函数性质等方面有什么效用？使学生明白：因为每一个周期的图像特征是一致的，因此只需研究一个特殊周期的图像和性质即可。这也点明了周期性的本质功能是实现了图像在不同区间上的转移。再进一步思考：函数周期性体现出来图像转移的方式是“横向的平移”、图像的基本形状不改变。从这一点上来讲，对数学概念的理解一定要超越原形

若改变图像转移的方式，函数周期性的概念就可以进一步拓展迁移。基于这种理解，笔者与学生研究了如下两种性质并给出相应的练习：

1.一般地，对于函数f（x），如果存在一个不为零的常数T，使得定义域内的每一个x值，都满足f（x+T）=f（x）+A，那么函数f（x）可以理解成双等差周期函数，非零的常数T叫做这个函数的周期。练习（略）。

2.一般地，对于函数f（x），如果存在一个不为零的常数T，使得定义域内的每一个x值，都满足f（x+T）=Af（x），那么函数f（x）可以理解成横等差纵等比周期函数，非零的常数T叫做这个函数的周期。练习（略）。

通过两个新概念的引入，学生会了解到函数图像的“转移”不仅可以沿x轴水平的“移”，还可以沿着x轴、y轴同时变化的移：横向等差移，纵向等差移；横向等差移，纵向等比移。学生自然就会提问：横向是否可以等比移呢？在函数周期性概念学习的基础上，学生的思维一下子打开了，笔者连同学生接着研究下面两道习题：

3.设函数f（x）=1-|x-1|，x<2

12f（x-2），x≥2，则方程xf（x）-1=0的根的个数为。

4.定义在[1，+∞）上的函数f（x）满足①f（2x）=cf（x）（c为正常数）；②当2≤x≤4时f（x）=1-|x-3|。若函数所有的极大值点均落在通一条直线上，则c=。

两道习题的顺利解决促使学生思考对函数周期性定义的理解不应仅仅停留在“函数值周而复始重复出现”这样简单的理解水平上，对数学概念的理解应重点在于对其本质的理解、迁移与拓展。

有了上述的基础，笔者给出了一道较难的习题，作为课后思考。

在复习过程中，教师应指导学生对概念的文思做深入的理解，本质的把握。若能在概念原有的基础上有所拓展，适当地进行一些迁移，概念的应用空间可能会急剧地扩展，课堂教学可能会取得事半功倍的效果。endprint

摘要：函数的周期性在高中教学起点较低，但关于这一知识点的解题能力要求较高，两者在能力要求上相差较大。本文从概念课复习出发，从两个层次上谈如何有效地实现这一跨越。

关键词：起点；理解；迁移；文思；原形

中图分类号：G427文献标识码：A 文章编号：1992-7711（2014）18-092-1苏教版高中数学教材中，函数的周期性这一概念出现在必修四《三角函数》中，《江苏省普通高中课程标准教学要求》指出：了解三角函数的周期性，知道三角函数y=Asin（ωx+φ），y=Acos（ωx+φ）的周期为T=2π|ω|。关于三角函数的教学，应注意要根据学生的生活经验，创设丰富的情境，使学生体会三角函数模型的意义。面对各地模拟试卷中经常出现难度较大的关于函数周期性的试题，学生解决起来颇有困难。因此，高三的数学概念复习中一定要把握文思，超越原形。把握文思就是要立足起点，加强理解，超越原形就是要巧妙迁移，拓展延伸，使学生的能力得到提升。

一、立足起点，加强理解——把握文思

结合新授课的教学与课前的预习，学生会对函数周期性有如下理解：

感知层面：①对于值域中的每一个函数值总会不断重复出现；②函数值重复出现的“跨度”就是函数的周期；③函数的周期可能不止一个。

理解层面：①对定义域中只需存在一个值x不满足f（x+T）=f（x），就不能说f（x）是周期函数；②周期性是函数的一个整体性质；③周期函数的周期不止一个，若T是周期，则kT（k∈Z，k≠0）一定也是周期，周期中最小的正数称为最小正周期；④并不是所有的周期函数都有最小正周期。

在教学过程中，教师要抓住概念表述中的文思“函数值等距离重复出现”，进行剖析：函数值重复出现能否用另一种形式表达，把学生的理解进一步引向深入。

加强理解①（以相反数的形式重复出现）：一般地，对于函数f（x），如果存在一个不为零的常数T，使得定义域内的每一个x值，都满足f（x+T）=-f（x），则f（x+2T）=f[（x+T）+T]=-f（x+T）=f（x），函数f（x）为周期函数。

加强理解②（以倒数的形式重复出现）：一般地，对于函数f（x），如果存在一个不为零的常数T，使得定义域内的每一个x值，都满足f（x+T）=1f（x），则f（x+2T）=f[（x+T）+T]=1f（x+T）=f（x），函数f（x）为周期函数。

当然可以将两者结合在一起，已是水到渠成的事。

二、巧妙迁移，拓展延伸——超越原形

在高三数学复习的教学实践中，学生若对周期性的理解止于此的话，那么函数周期性的概念复习才算完成了一半，甚至是一小半！我们必须让学生思考：函数周期性，在求画函数图像、研究函数性质等方面有什么效用？使学生明白：因为每一个周期的图像特征是一致的，因此只需研究一个特殊周期的图像和性质即可。这也点明了周期性的本质功能是实现了图像在不同区间上的转移。再进一步思考：函数周期性体现出来图像转移的方式是“横向的平移”、图像的基本形状不改变。从这一点上来讲，对数学概念的理解一定要超越原形

若改变图像转移的方式，函数周期性的概念就可以进一步拓展迁移。基于这种理解，笔者与学生研究了如下两种性质并给出相应的练习：

1.一般地，对于函数f（x），如果存在一个不为零的常数T，使得定义域内的每一个x值，都满足f（x+T）=f（x）+A，那么函数f（x）可以理解成双等差周期函数，非零的常数T叫做这个函数的周期。练习（略）。

2.一般地，对于函数f（x），如果存在一个不为零的常数T，使得定义域内的每一个x值，都满足f（x+T）=Af（x），那么函数f（x）可以理解成横等差纵等比周期函数，非零的常数T叫做这个函数的周期。练习（略）。

通过两个新概念的引入，学生会了解到函数图像的“转移”不仅可以沿x轴水平的“移”，还可以沿着x轴、y轴同时变化的移：横向等差移，纵向等差移；横向等差移，纵向等比移。学生自然就会提问：横向是否可以等比移呢？在函数周期性概念学习的基础上，学生的思维一下子打开了，笔者连同学生接着研究下面两道习题：

3.设函数f（x）=1-|x-1|，x<2

12f（x-2），x≥2，则方程xf（x）-1=0的根的个数为。

4.定义在[1，+∞）上的函数f（x）满足①f（2x）=cf（x）（c为正常数）；②当2≤x≤4时f（x）=1-|x-3|。若函数所有的极大值点均落在通一条直线上，则c=。

两道习题的顺利解决促使学生思考对函数周期性定义的理解不应仅仅停留在“函数值周而复始重复出现”这样简单的理解水平上，对数学概念的理解应重点在于对其本质的理解、迁移与拓展。

有了上述的基础，笔者给出了一道较难的习题，作为课后思考。

在复习过程中，教师应指导学生对概念的文思做深入的理解，本质的把握。若能在概念原有的基础上有所拓展，适当地进行一些迁移，概念的应用空间可能会急剧地扩展，课堂教学可能会取得事半功倍的效果。endprint