一类利用从属关系定义的双单叶函数类

李小飞, 秦 川

（长江大学 工程技术学院,湖北 荆州434020）

本文用A表示单位圆盘U＝｛z∈C:｜z｜＜1｝内解析且具有如下展开式的函数族

记S表示A中满足（1）式且单叶的子族.设f（z）和g（z）在 U 内解析,称 f（z）从属于 g（z）,记作 f（z）≺g（z）,若存在U内的Schwarz函数ω满足ω（0）＝0,｜ω（z）｜＜1,使得 f（z） ＝g（ω（z））.

对任意具有（1）形式的函数f（z）∈S均存在其逆函数 f-1（z）定义为 f-1（f（z））＝z,f（f-1（w）） ＝w（｜w｜＜r0（f）,r0（f）≥1/4）,这里 f-1（w） ＝w-a2函数f（z）∈A称为U内的双单叶函数当且仅当f（z）和f-1（z）均为U的单叶函数,现记Σ表示U具有（1）式的双单叶函数族.D.A.Brannan等［1］（也可参见文献［2-3］）引入了双单叶函数族Σ中的α阶强星形函数类（α）和α阶凸函数类KΣ（α）如下:

这里0≤α＜1,g（w） ＝f-1（w）.由于双单叶函数族具有良好的性质,所以在理论上有许多学者对其系数进行过研究.对于 f（z）∈Σ,M.Lewin［4］证明了｜a2｜＜1.51,D.A.Brannan 等［5］证明了E.Netanyahu［6］证明了 max｜a2｜＝4/3,但都没有给出精确的上限估计,所以至今仍有许多学者［7-10］对双单叶函数族及其子族的系数｜a2｜及｜a3｜的上界进行研究.

用P表示通常意义下的正实部函数族,即若φ（z）∈P,则 Reφ（z） ＞0,φ（0）＝1,φ（z）∈A.为了后续讨论的需要,现假设 φ′（0）＞0,φ（U）关于实轴对称,不失一般性,不妨设φ（z）具有如下展式

记满足上述不等式的函数类为BΣ（α,λ）,由B.A.Frasin等在文献［13］中引入,若再令λ＝1,则函数类即为S*Σ（α）,该函数类由 D.A.Brannan等在文献［1］中引入,这2个文献目前已成为众多学者研究双单叶函数必读的经典文献之一.另外,对于其他更多更特殊类型的函数类,读者可以查阅文献［14-17］,限于篇幅这里省略.

1 主要结论

证明在推论4中令λ＝1即可.

致谢长江大学工程技术学院科研发展基金（13J0802）对本文给予了资助,谨致谢意.

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