可信性空间上变动生存年金的精算现值模型

杨 静

(北京航空航天大学，北京100191)

一、问题的提出

传统的寿险精算模型是建立在概率空间上，视人的寿命为随机变量，用概率测度进行度量［1-3］.然而，在现实世界，寿险中的不确定性往往表现为模糊性不确定性.如文献［4］指出，就寿命分布而言，由于人的生存和死亡的不确定性是十分复杂的，而概率是一种满足可加性(可列可加性)的测度，要描述一个人在某年龄的生存或死亡的可能性，概率的可加性条件是难以满足，因此用模糊测度——可信性测度代替概率测度，建立了可信性空间上的寿险精算模型.可信性测度是描述模糊性的新方法，文献［5］视寿险中的生命为可信性空间上的模糊变量，用具有自对偶、次可加性、正定性的可信性测度去度量，讨论了其中的一些基本问题，将寿险精算理论扩展到可信性空间上.本文在在可信性空间上，基于文献［5-6］讨论可信性空间上变动生存年金的精算现值模型，分别建立每年期初支付变动终身年金，期初支付变动n年年金，期末支付变动终身年金，期末支付变动n年年金.

二、预备知识

定义1［6］设Θ是一非空集合，P(Θ)为Θ的幂集，P(Θ)中每一个元素称为一个事件.若集函数Cr:P(Θ)→[0，1]满足:

(i)Cr{Θ}=1;

(ii)当 A⊂ B 时，Cr{A}≤Cr{B};

(iii)对于任意A∈P(Θ)，Cr{A}+Cr{Ac}=1;

(iv)对于任何Ai∈P(Θ)，若，有.则称Cr为一个可信性测度.

三元组(Θ，P(Θ)，Cr)称为可信性空间［7］.

定义2［7］设ξ为一从可信性空间 (Θ，P(Θ)，Cr)到实直线R上的函数，则称ξ为一模糊变量.

定义3［8］设ξ为模糊变量，函数Φ:R→ [0，1]满足

则称Φ为模糊变量ξ的可信性分布.

定义4［7］设ξ是定义在可信性空间(Θ，P(Θ)，Cr)上的模糊变量.那么，由可信性测度Cr可以导出其隶属度函数为

定理1［9］设ξ为模糊变量且可信性分布为Φ，假设Cr{ξ≤x}≠Cr{ξ≤x+t}(t＞0 )，则有

定义5 设T(x)为x岁的人的余寿，则称Φx(t)=Cr{T(x)≤t}(t＞0)为余寿分布函数

Φx(t)表示x岁的人在未来的t年内死亡的可信性，实际反映0岁的人活过x岁的条件下在x+t岁前死亡的可信性.

可信性空间中国际精算符号的定义［8］:

tqx表示x岁的人活不过x+t岁的可信性，即tqx=Φx(t)=Cr{T(x)≤t}

tpx表示x岁的人活过x+t岁的可信性，即tpx=1-tqx=Cr{T(x)＞t}=Sx(t)当t=1时，我们记1qx=qx，1px=px

t|uqx表示x岁的人在x+t岁与x+t+u岁之间死亡的可信性，即

当u=1时，我们记

定理2［7］ξ为可信性空间上的离散型模糊变量，若其隶属度函数为

不失一般性，不妨假设a1≤a2≤…≤an.则模糊变量ξ的期望值

三、主要结果

(一)期初付变动终身生存年金的精算现值模型

一些符号规定如下:

K——x岁的被保人自保单生效后的取整余寿

Y——到被保险人死亡之时保险人所付的年金现值

v——折现因子

这里的K，Y均为可信性空间的离散型模糊变量

变动的生存年金:

在第一年支付1单位元的现值，第二年支付2单位元的现值，以此下去直至被保险人死亡.

需要说明的是人的寿命是有限的，我们假设被保人在整数极限年[W]岁上死亡，另对被保人来说，其第k+1年死亡的可信性为

x岁的被保人取整余寿K，则到死亡发生时为止的所有已支付的年金现值

这里的模糊事件{Y=yk+1}等介于事件{k(x)=k}

故有uk+1=[2cr{Y=yk+1}]∧1=[2cr{K(x)=k}]∧1=(2k|qx)

不失一般性，不妨假设y1≤y2≤…≤yk+1≤….于是由定理2的结论，得该年金的精算现值模型

(二)期初付变动n年生存年金的精算现值模型

(三)期末付变动终身生存年金的精算现值模型

(四)期末付变动n年生存年金的精算现值模型

四、结论

通过对可信性空间上年金的讨论，给出了可信性空间上生存年金精算现值模型，分别建立了年初，年末支付变动终身生存年金精算现值模型和年初，年末支付n年变动生存年金精算现值模型.从而使得可信性空间上寿险精算模型进一步得到完善.

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