丰富感悟 自然体会

张楼军

苏教版小学数学六年级上册第七单元的例题１，教学的是运用替换策略解决实际问题。教材首先安排一道可以利用倍数关系进行替换解决问题的例题，之后又安排了一道可以利用相差关系进行替换解决问题的练习题。通过两种不同类型题目的教学，引导学生在解决问题的过程中体会替换策略，发展学生的解题策略。那么，教师教学中如何让学生体会替换策略的价值，感悟替换策略中所隐含的解决问题的思路与方法，感受其中所隐藏的数学思想呢？

教学过程：

一、怎么办

投影出示题目与具体的示意图（略）：两个相同的小杯子，容量总和是１００毫升，每个小杯子的容量是多少毫升？三个相同的大杯子，容量总和是６００毫升，每个大杯子的容量是多少毫升？（学生口答）

师：为什么可以直接除以２、除以３呢？（生答略）

师：原来题目中说的是相同的一种杯子，所以可直接计算。

出示题目：如果一个大杯子和一小杯子的容量共是１２０毫升，那大杯子、小杯子的容量各是多少？

师：这一题能直接除以２吗？为什么？

生１：不能，因为是两种不同的杯子。

师：如果要能直接除以２，要怎样修改题目？

生２：２个全是小杯，或者２个全是大杯。

师：哦，如果替换成同一种杯子就可以直接计算了。

二、怎么换

１．倍数关系

（１）师：如果告诉你“一个大杯的容量是小杯的２倍”，你想到了什么？

生３：１个大杯可以换成２个小杯，２个小杯可以换成１个大杯。

师：那这里的１个大杯和１个小杯可以怎么替换呢？请画一画，写一写换的结果。（生画出示意图，并写出算式）

（２）师：如果有１个大杯和４个小杯，那该怎么换呢？（生画出示意图，并写出算式）

生４：可以把大杯换成小杯，也可以把小杯换成大杯。

师：我们先来看大杯换成小杯的这种方法。

师（根据学生的解法追问）：第一个算式１×２＝２，表示的是什么意思？接下来的２＋４＝６呢？

师：这样就把两种杯子替换成一种杯子，即６个小杯。

师：那如果把小杯替换成大杯，该怎样列算式呢？

生５：４÷２＝２，１＋２＝３。

师：请同桌互相说一说两个算式的意义。

（３）师：请运用刚刚学习的替换方法解答下面一题。

出示题目：小明把７２０毫升果汁倒入６个小杯和１个大杯，正好都倒满。小杯的容量是大杯的■。小杯和大杯的容量各是多少毫升？

师：“小杯的容量是大杯的■”是什么意思？可以怎么替换？

生６：１个大杯替换成３个小杯。

师：请写出你的思考过程，如果能用两种方法来解答则更好。（学生思考交流后展示解法）

师：如何确定自己做得对不对呢？（生答略）

师：答案需要同时满足“７２０毫升果汁倒入６个小杯和１个大杯，正好都倒满”和“小杯的容量是大杯的■”这两个条件，才能说明是正确的。

师：刚才我们是怎样解决这个问题的？可以怎样进行替换？替换后有怎样的变化？

生７：可以把两种杯子替换成一种杯子。

生８：替换后，杯子的数量变化了，总的容量没有变化。

师：为什么要这样替换呢？（生思考）我们是根据哪个条件进行替换的？（生答略）

师：刚才我们研究的是倍数关系的两个量，接下来我们研究相差关系的两个量。

２．相差关系

出示题目：在２个同样的大盒和５个同样的小盒里装满球，正好是１００个。每个大盒比小盒多装８个，每个大盒和小盒各装多少个？（师读题，根据题目的意思展示用方块表示的盒子示意图，学生独立解答）

师：我发现很多同学在解答的过程中遇到了困难，我们不妨先停一停，研究研究这一题。

师：首先，题目中既有大盒子又有小盒子，该怎么办呢？

生９：进行替换，变成一种盒子。

师：那该怎么替换呢？

生１０：把小盒子换成大盒子。

师：那会发生怎样的变化呢？请同学们先独立思考，再同桌交流讨论。

生１１：把每个小盒子都增加８个球，所以总共增加了４０个球，变成７个大盒子。

师：也就是说，总量发生了变化。那总量发生怎样的变化呢？（师根据学生的解说，板书算式：１００＋５×８＝１４０，１４０÷７＝２０，２０－８＝１２）

师：还可以怎样替换呢？请同学们把思考过程写在作业纸上。（展示学生的替换方法）

师：这一种方法是怎样替换的？替换之后发生了怎样的变化？（生答略）

师：比较这两种方法，它们有什么异同？

师生总结：都替换成一种量，把大盒子替换成小盒子，总量要减少；把小盒子替换成大盒子，总量要增加。

三、为什么

师：刚才我们研究倍数关系和相差关系的两种量，解决了一些实际问题，可我们为什么要用替换的策略解决这些问题呢？

生１２：把两种量替换成一种量，可以顺利地解决问题。

师：我们可以把两种量通过替换变成为一种量，那如果有三种量呢？请大家下课后，试一试下面的题目。

出示题目：被减数、减数、差的和是４０，那么被减数是多少？

……

思考：

１．替换策略的价值在哪里？

数学教育家米山国藏曾说过：“在学校学的数学知识，毕业后没什么机会去用，一两年后很快就忘掉了。然而，不管他们从事什么工作，唯有深深铭记在心中的数学精神、数学思想、研究方法和看问题的着眼点等，却随时随地发生作用，使他们受益终身。”是的，现实生活中并不一定用到替换策略解决问题，但替换策略中所体现的解决问题的方式、所蕴含的数学思想方法等都将被学生铭记。

那么，替换策略的价值究竟在哪里呢？首先是根据两个未知量之间的关系，将复杂的两个未知量替换成简单的一个未知量，即化繁为简，直至解决问题的核心。其次，在替换的过程中，教师多次引导学生利用画图的方式理解替换的过程与变化，通过数形结合，使学生的理解更深刻。这样就将复杂的两个未知量的问题通过变换转化为简单的只有一个未知量的问题，将难解的问题通过变换转化为容易解决的问题，即复杂变简单、抽象的数变为直观的图，这便是数学中化归思想的体现。

２．学生如何体会替换策略的价值？

学生如何体会替换策略的价值？这来源于教师多次的追问：“为什么要替换？”对这一问题，在第一个环节中，学生起初可能只有一点点的感受，因为学生只是初步积累了替换的经验。而在第二个环节中，学生解答倍数关系的问题时已经有了深刻的感受，因为替换后可以很顺利地解决问题；在解答相差关系时，学生的体会更深了，因为进行替换后，发现题目真的变简单了，特别是通过替换居然可以一下子算出大盒的个数。至此，几乎所有的学生都深刻地感受到了替换的奇妙之处。第三个环节更是向外进行拓展——“三个未知量该怎么办呢”，有了之前的丰富体验和感悟，学生不约而同地想到了替换的策略。

创设学生生活中熟知的、简单的问题情境，引导学生时时感悟、题题反思，使学生对替换策略的价值、数学的思想方法随着习题的解答从朦胧到清晰、从陌生到亲切、从单薄到丰厚，真正让学生内化所学知识，获得不同的发展。

（责编杜华）

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苏教版小学数学六年级上册第七单元的例题１，教学的是运用替换策略解决实际问题。教材首先安排一道可以利用倍数关系进行替换解决问题的例题，之后又安排了一道可以利用相差关系进行替换解决问题的练习题。通过两种不同类型题目的教学，引导学生在解决问题的过程中体会替换策略，发展学生的解题策略。那么，教师教学中如何让学生体会替换策略的价值，感悟替换策略中所隐含的解决问题的思路与方法，感受其中所隐藏的数学思想呢？

教学过程：

一、怎么办

投影出示题目与具体的示意图（略）：两个相同的小杯子，容量总和是１００毫升，每个小杯子的容量是多少毫升？三个相同的大杯子，容量总和是６００毫升，每个大杯子的容量是多少毫升？（学生口答）

师：为什么可以直接除以２、除以３呢？（生答略）

师：原来题目中说的是相同的一种杯子，所以可直接计算。

出示题目：如果一个大杯子和一小杯子的容量共是１２０毫升，那大杯子、小杯子的容量各是多少？

师：这一题能直接除以２吗？为什么？

生１：不能，因为是两种不同的杯子。

师：如果要能直接除以２，要怎样修改题目？

生２：２个全是小杯，或者２个全是大杯。

师：哦，如果替换成同一种杯子就可以直接计算了。

二、怎么换

１．倍数关系

（１）师：如果告诉你“一个大杯的容量是小杯的２倍”，你想到了什么？

生３：１个大杯可以换成２个小杯，２个小杯可以换成１个大杯。

师：那这里的１个大杯和１个小杯可以怎么替换呢？请画一画，写一写换的结果。（生画出示意图，并写出算式）

（２）师：如果有１个大杯和４个小杯，那该怎么换呢？（生画出示意图，并写出算式）

生４：可以把大杯换成小杯，也可以把小杯换成大杯。

师：我们先来看大杯换成小杯的这种方法。

师（根据学生的解法追问）：第一个算式１×２＝２，表示的是什么意思？接下来的２＋４＝６呢？

师：这样就把两种杯子替换成一种杯子，即６个小杯。

师：那如果把小杯替换成大杯，该怎样列算式呢？

生５：４÷２＝２，１＋２＝３。

师：请同桌互相说一说两个算式的意义。

（３）师：请运用刚刚学习的替换方法解答下面一题。

出示题目：小明把７２０毫升果汁倒入６个小杯和１个大杯，正好都倒满。小杯的容量是大杯的■。小杯和大杯的容量各是多少毫升？

师：“小杯的容量是大杯的■”是什么意思？可以怎么替换？

生６：１个大杯替换成３个小杯。

师：请写出你的思考过程，如果能用两种方法来解答则更好。（学生思考交流后展示解法）

师：如何确定自己做得对不对呢？（生答略）

师：答案需要同时满足“７２０毫升果汁倒入６个小杯和１个大杯，正好都倒满”和“小杯的容量是大杯的■”这两个条件，才能说明是正确的。

师：刚才我们是怎样解决这个问题的？可以怎样进行替换？替换后有怎样的变化？

生７：可以把两种杯子替换成一种杯子。

生８：替换后，杯子的数量变化了，总的容量没有变化。

师：为什么要这样替换呢？（生思考）我们是根据哪个条件进行替换的？（生答略）

师：刚才我们研究的是倍数关系的两个量，接下来我们研究相差关系的两个量。

２．相差关系

出示题目：在２个同样的大盒和５个同样的小盒里装满球，正好是１００个。每个大盒比小盒多装８个，每个大盒和小盒各装多少个？（师读题，根据题目的意思展示用方块表示的盒子示意图，学生独立解答）

师：我发现很多同学在解答的过程中遇到了困难，我们不妨先停一停，研究研究这一题。

师：首先，题目中既有大盒子又有小盒子，该怎么办呢？

生９：进行替换，变成一种盒子。

师：那该怎么替换呢？

生１０：把小盒子换成大盒子。

师：那会发生怎样的变化呢？请同学们先独立思考，再同桌交流讨论。

生１１：把每个小盒子都增加８个球，所以总共增加了４０个球，变成７个大盒子。

师：也就是说，总量发生了变化。那总量发生怎样的变化呢？（师根据学生的解说，板书算式：１００＋５×８＝１４０，１４０÷７＝２０，２０－８＝１２）

师：还可以怎样替换呢？请同学们把思考过程写在作业纸上。（展示学生的替换方法）

师：这一种方法是怎样替换的？替换之后发生了怎样的变化？（生答略）

师：比较这两种方法，它们有什么异同？

师生总结：都替换成一种量，把大盒子替换成小盒子，总量要减少；把小盒子替换成大盒子，总量要增加。

三、为什么

师：刚才我们研究倍数关系和相差关系的两种量，解决了一些实际问题，可我们为什么要用替换的策略解决这些问题呢？

生１２：把两种量替换成一种量，可以顺利地解决问题。

师：我们可以把两种量通过替换变成为一种量，那如果有三种量呢？请大家下课后，试一试下面的题目。

出示题目：被减数、减数、差的和是４０，那么被减数是多少？

……

思考：

１．替换策略的价值在哪里？

数学教育家米山国藏曾说过：“在学校学的数学知识，毕业后没什么机会去用，一两年后很快就忘掉了。然而，不管他们从事什么工作，唯有深深铭记在心中的数学精神、数学思想、研究方法和看问题的着眼点等，却随时随地发生作用，使他们受益终身。”是的，现实生活中并不一定用到替换策略解决问题，但替换策略中所体现的解决问题的方式、所蕴含的数学思想方法等都将被学生铭记。

那么，替换策略的价值究竟在哪里呢？首先是根据两个未知量之间的关系，将复杂的两个未知量替换成简单的一个未知量，即化繁为简，直至解决问题的核心。其次，在替换的过程中，教师多次引导学生利用画图的方式理解替换的过程与变化，通过数形结合，使学生的理解更深刻。这样就将复杂的两个未知量的问题通过变换转化为简单的只有一个未知量的问题，将难解的问题通过变换转化为容易解决的问题，即复杂变简单、抽象的数变为直观的图，这便是数学中化归思想的体现。

２．学生如何体会替换策略的价值？

学生如何体会替换策略的价值？这来源于教师多次的追问：“为什么要替换？”对这一问题，在第一个环节中，学生起初可能只有一点点的感受，因为学生只是初步积累了替换的经验。而在第二个环节中，学生解答倍数关系的问题时已经有了深刻的感受，因为替换后可以很顺利地解决问题；在解答相差关系时，学生的体会更深了，因为进行替换后，发现题目真的变简单了，特别是通过替换居然可以一下子算出大盒的个数。至此，几乎所有的学生都深刻地感受到了替换的奇妙之处。第三个环节更是向外进行拓展——“三个未知量该怎么办呢”，有了之前的丰富体验和感悟，学生不约而同地想到了替换的策略。

创设学生生活中熟知的、简单的问题情境，引导学生时时感悟、题题反思，使学生对替换策略的价值、数学的思想方法随着习题的解答从朦胧到清晰、从陌生到亲切、从单薄到丰厚，真正让学生内化所学知识，获得不同的发展。

（责编杜华）

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苏教版小学数学六年级上册第七单元的例题１，教学的是运用替换策略解决实际问题。教材首先安排一道可以利用倍数关系进行替换解决问题的例题，之后又安排了一道可以利用相差关系进行替换解决问题的练习题。通过两种不同类型题目的教学，引导学生在解决问题的过程中体会替换策略，发展学生的解题策略。那么，教师教学中如何让学生体会替换策略的价值，感悟替换策略中所隐含的解决问题的思路与方法，感受其中所隐藏的数学思想呢？

教学过程：

一、怎么办

投影出示题目与具体的示意图（略）：两个相同的小杯子，容量总和是１００毫升，每个小杯子的容量是多少毫升？三个相同的大杯子，容量总和是６００毫升，每个大杯子的容量是多少毫升？（学生口答）

师：为什么可以直接除以２、除以３呢？（生答略）

师：原来题目中说的是相同的一种杯子，所以可直接计算。

出示题目：如果一个大杯子和一小杯子的容量共是１２０毫升，那大杯子、小杯子的容量各是多少？

师：这一题能直接除以２吗？为什么？

生１：不能，因为是两种不同的杯子。

师：如果要能直接除以２，要怎样修改题目？

生２：２个全是小杯，或者２个全是大杯。

师：哦，如果替换成同一种杯子就可以直接计算了。

二、怎么换

１．倍数关系

（１）师：如果告诉你“一个大杯的容量是小杯的２倍”，你想到了什么？

生３：１个大杯可以换成２个小杯，２个小杯可以换成１个大杯。

师：那这里的１个大杯和１个小杯可以怎么替换呢？请画一画，写一写换的结果。（生画出示意图，并写出算式）

（２）师：如果有１个大杯和４个小杯，那该怎么换呢？（生画出示意图，并写出算式）

生４：可以把大杯换成小杯，也可以把小杯换成大杯。

师：我们先来看大杯换成小杯的这种方法。

师（根据学生的解法追问）：第一个算式１×２＝２，表示的是什么意思？接下来的２＋４＝６呢？

师：这样就把两种杯子替换成一种杯子，即６个小杯。

师：那如果把小杯替换成大杯，该怎样列算式呢？

生５：４÷２＝２，１＋２＝３。

师：请同桌互相说一说两个算式的意义。

（３）师：请运用刚刚学习的替换方法解答下面一题。

出示题目：小明把７２０毫升果汁倒入６个小杯和１个大杯，正好都倒满。小杯的容量是大杯的■。小杯和大杯的容量各是多少毫升？

师：“小杯的容量是大杯的■”是什么意思？可以怎么替换？

生６：１个大杯替换成３个小杯。

师：请写出你的思考过程，如果能用两种方法来解答则更好。（学生思考交流后展示解法）

师：如何确定自己做得对不对呢？（生答略）

师：答案需要同时满足“７２０毫升果汁倒入６个小杯和１个大杯，正好都倒满”和“小杯的容量是大杯的■”这两个条件，才能说明是正确的。

师：刚才我们是怎样解决这个问题的？可以怎样进行替换？替换后有怎样的变化？

生７：可以把两种杯子替换成一种杯子。

生８：替换后，杯子的数量变化了，总的容量没有变化。

师：为什么要这样替换呢？（生思考）我们是根据哪个条件进行替换的？（生答略）

师：刚才我们研究的是倍数关系的两个量，接下来我们研究相差关系的两个量。

２．相差关系

出示题目：在２个同样的大盒和５个同样的小盒里装满球，正好是１００个。每个大盒比小盒多装８个，每个大盒和小盒各装多少个？（师读题，根据题目的意思展示用方块表示的盒子示意图，学生独立解答）

师：我发现很多同学在解答的过程中遇到了困难，我们不妨先停一停，研究研究这一题。

师：首先，题目中既有大盒子又有小盒子，该怎么办呢？

生９：进行替换，变成一种盒子。

师：那该怎么替换呢？

生１０：把小盒子换成大盒子。

师：那会发生怎样的变化呢？请同学们先独立思考，再同桌交流讨论。

生１１：把每个小盒子都增加８个球，所以总共增加了４０个球，变成７个大盒子。

师：也就是说，总量发生了变化。那总量发生怎样的变化呢？（师根据学生的解说，板书算式：１００＋５×８＝１４０，１４０÷７＝２０，２０－８＝１２）

师：还可以怎样替换呢？请同学们把思考过程写在作业纸上。（展示学生的替换方法）

师：这一种方法是怎样替换的？替换之后发生了怎样的变化？（生答略）

师：比较这两种方法，它们有什么异同？

师生总结：都替换成一种量，把大盒子替换成小盒子，总量要减少；把小盒子替换成大盒子，总量要增加。

三、为什么

师：刚才我们研究倍数关系和相差关系的两种量，解决了一些实际问题，可我们为什么要用替换的策略解决这些问题呢？

生１２：把两种量替换成一种量，可以顺利地解决问题。

师：我们可以把两种量通过替换变成为一种量，那如果有三种量呢？请大家下课后，试一试下面的题目。

出示题目：被减数、减数、差的和是４０，那么被减数是多少？

……

思考：

１．替换策略的价值在哪里？

数学教育家米山国藏曾说过：“在学校学的数学知识，毕业后没什么机会去用，一两年后很快就忘掉了。然而，不管他们从事什么工作，唯有深深铭记在心中的数学精神、数学思想、研究方法和看问题的着眼点等，却随时随地发生作用，使他们受益终身。”是的，现实生活中并不一定用到替换策略解决问题，但替换策略中所体现的解决问题的方式、所蕴含的数学思想方法等都将被学生铭记。

那么，替换策略的价值究竟在哪里呢？首先是根据两个未知量之间的关系，将复杂的两个未知量替换成简单的一个未知量，即化繁为简，直至解决问题的核心。其次，在替换的过程中，教师多次引导学生利用画图的方式理解替换的过程与变化，通过数形结合，使学生的理解更深刻。这样就将复杂的两个未知量的问题通过变换转化为简单的只有一个未知量的问题，将难解的问题通过变换转化为容易解决的问题，即复杂变简单、抽象的数变为直观的图，这便是数学中化归思想的体现。

２．学生如何体会替换策略的价值？

学生如何体会替换策略的价值？这来源于教师多次的追问：“为什么要替换？”对这一问题，在第一个环节中，学生起初可能只有一点点的感受，因为学生只是初步积累了替换的经验。而在第二个环节中，学生解答倍数关系的问题时已经有了深刻的感受，因为替换后可以很顺利地解决问题；在解答相差关系时，学生的体会更深了，因为进行替换后，发现题目真的变简单了，特别是通过替换居然可以一下子算出大盒的个数。至此，几乎所有的学生都深刻地感受到了替换的奇妙之处。第三个环节更是向外进行拓展——“三个未知量该怎么办呢”，有了之前的丰富体验和感悟，学生不约而同地想到了替换的策略。

创设学生生活中熟知的、简单的问题情境，引导学生时时感悟、题题反思，使学生对替换策略的价值、数学的思想方法随着习题的解答从朦胧到清晰、从陌生到亲切、从单薄到丰厚，真正让学生内化所学知识，获得不同的发展。

（责编杜华）

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