曲面的主曲率高斯曲率和平均曲率

李红珍

【摘要】本文作者在给出了曲面的主曲率、高斯曲率、平均曲率之后，又对主曲率是法曲率的最大值和最小值进行了证明。

【关键词】法曲率；主曲率；高斯曲率；平均曲率

曲面上一点P的两个方向，如果他们既正交又共轭，则称为曲面在P点的主方向。曲面上一点处主方向上的法曲率成为曲面在此点的主曲率。由于曲面上一点处的主方向是过此点的曲率线的方向，因此主曲率也就是曲面上一点处沿曲率线方向的法曲率。

我们要研究在曲面上一点（非脐点），法曲率随着方向而变化的规律，还要证明主曲率是法曲率的最大值和最小值。在曲面S：r=r(u,v)上选曲率线网为曲纹坐标网，则F=M=0,这时对于曲面的任一方向 (d)=du︰dv，它的法曲率公式就简化成

kn=（1）

沿u-曲线（dv=0）的方向对应的主曲率是k1= L-E （2）

沿v-曲线（du=0）的方向对应的主曲率是k2= N-G （3）

设θ为任意方向du-dv和u-曲线（δv=0）方向的夹角，则

cosθ==

所以cos2θ= （4）

而sin2θ=1-cos2θ= （5）

由于（1）可表示为

kn=+

将（2）（3）（4）（5）代入上式得2

这个公式被称为欧拉公式。在脐点这个公式仍然正确，因为这时有k1=k2,而沿任意方向的法曲率kn= k1=k2。

欧拉公式表明，只要知道了主曲率，则任意方向（d）的法曲率就可以由（d）和u-曲线的方向之间的夹角θ来确定。

下面介绍有关主曲率的一个命题：

曲面上一点（非脐点）的主曲率是曲面在这点所有方向的法曲率中的最大值和最小值。

证明：设k1＜k2(如果k1＞k2，可以交换坐标u和v)，由欧拉公式可知

kn=k1cos2θ＜k2(1-cos2θ)=k2+(k1-k2)cos2θ

则k2-kn=(k2-k1)cos2θ≥0

因此k2≥kn

同理kn-k1=(k2-k1)sin2θ≥0

因此kn≥k1

即k1≤kn≤k2

这说明，主曲率k2,k1是法曲率kn的最大值和最小值。

下面来导出主曲率的计算公式。

由罗德里格定理，沿主方向（d）有dn= -kNdr其中kn为主曲率，即k1和k2 ，该式又可以写成 nudu+nvdv=-kN (rudu+rvdv)

把上式两边分别点乘 ru ,rv得

ru· nudu+ru·nvdv=-kN (rv·rudu+rv·rvdv)

即得到-Ldu-Mdv=-kN(Edu+Fdv)

-Mdu-Ndv=-kN(Fdu+Gdv)

整理得(L-EkN)du+(M-FkN)dv=0 （7）

(M-FkN)du+(N-GkN)dv=0 （8）

从（7）、（8）两式中消去du、dv，得到主曲率的计算公式

＝ 0

即 (EG-F2)kN2-(LG-2MF+NE)kN+(LN-M2) = 0 （9）

以下介绍在曲面论的许多问题中起重要作用的两种曲率。

设k1、k2为曲面上一点的两个主曲率，则它们的乘积k1k2称为曲面在这一点的高斯曲率，通常用K表示。它们的平均数1-2 (k1+k2)称为曲面在这一点的平均曲率，通常用H表示。由方程（9）利用二次方程的根与系数的关系，得

高斯曲率 K=k1k2=

平均曲率 H= 1-2 (k1+k2)=

对于曲面的特殊参数表示z=z(x,y)，由于E=1+p2，F=pq，G=1+q2

L= ，M= ，N=

因此k= H=

一个曲面，如果它每一点处的平均曲率H=0,称为极小曲面。我们可以证明，以空间闭曲线为边界的曲面域中，面积最小的曲面必是极小曲面，即平均曲率为零的曲面。极小曲面的实际模型是将在空间中弯曲的铅丝浸入肥皂溶液中，取出时所得的皂膜曲面。

参考文献：

[1]《微分几何》，1987．3